利用等效復磁導率幅值對硅鋼疊片鐵心的改進均質化方法

張天淼, 李 琳

(新能源電力系統國家重點實驗室(華北電力大學), 北京 102206)

1 引言

作為輸變電路中的重要組成部分,大型變壓器中常采用多層薄疊片以及絕緣涂層來抑制渦流,減少渦流損耗,以此提升變壓器運行的安全性、可靠性和經濟性[1-4]。在變壓器有限元仿真中,多層薄疊片的直接求解存在網格剖分數多、矩陣方程維數高、內存消耗大、計算時間長等問題。商用工作站在CPU、內存、拓展性等方面相較于以往的臺式機有著質的飛躍,特別適合于圖像處理、工程計算等領域。但是實際大型電力裝備的物理尺度可以達到數米,而其中疊片鐵心的厚度只有0.3 mm或更薄,有限元剖分的單元和節點數量會非常大,對計算機內存和計算時間需求會非常高,導致無法在實際的工程設計中使用。因此通過算法上的改進,進一步減小仿真對計算機內存占用并節約計算時間,對于提高工程設計人員的工作效率至關重要。

目前,均質化方法能大幅降低有限元剖分單元數量、減少計算成本,廣泛應用于實際工程仿真中。日本的五十嵐等人針對多匝線圈提出均質化方法[5-8],但是所提公式涉及參數較多且不適用于軟磁材料;文獻[9]針對柱形和球形鐵磁性夾雜物構成的周期性軟磁材料晶胞提出了均質化方法,該方法能夠準確描述低體積分數的軟磁材料;文獻[10,11]提出了適用于高體積分數的矩形鐵磁性夾雜物的軟磁復合材料的均質化方法,同時利用復磁導率提出一種渦流損耗的預測模型,但是該預測模型無法推廣至非線性材料。上述文獻僅適用于軟磁復合材料(Soft Magnetic Composites, SMC),其參數取值并不適合包含硅鋼片在內的軟磁合金。硅鋼疊片鐵心的均質化方法分為磁導率的均質化方法以及電導率的均質化方法。對于磁導率的均質化方法,文獻[12]從疊片與片間氣隙構成的磁阻回路出發,推導出適用于疊片鐵心的磁導率均質化公式。文獻[12]指出,對垂直于疊壓方向的磁導率做均質化處理時,疊片與氣隙構成磁阻并聯關系,利用磁阻并聯定理求取等效后的均質化磁導率;平行于疊壓方向的磁導率做均質化處理時,疊片與片間氣隙構成磁阻串聯關系,相應的等效磁導率可以利用磁阻串聯定理求取。文獻[13]給出了疊片鐵心均質化后,沿垂直于疊壓方向和平行于疊壓方向的等效集膚深度公式,并將該公式應用于解決疊片鐵心的三維渦流問題。文獻[14]結合文獻[13]提出的等效集膚深度公式,將其應用于電抗器鐵心的均質化建模。電導率的均質化方法多種多樣,主要區別在于疊壓方向的電導率均質化方法,第一種方法是忽略疊壓方向的絕緣涂層,用同一個公式表示垂直于疊壓方向和平行于疊壓方向的等效電導率[15];第二種方法考慮疊壓方向絕緣涂層的存在,將平行于疊壓方向的等效電導率公式與垂直于疊壓方向的等效電導率公式作區分,形成各向異性均質化電導率公式[16-23]。在第二種方法中,分為直接視疊壓方向電導率為零[16,17]和給定一個很小的數值兩種方法[18-23]。其中,文獻[18]公式及模型復雜、待測量參數較多且在非線性情況下難以使用。王堅等人[19]提出的公式簡潔清晰,并在文獻[20]中將其應用于TEAM Problem 21的磁通求解上;周利軍等人[21]基于文獻[19]提出了一種適用于卷鐵心的等效厚度均質化方法;此外,還有學者針對片間短路[22]以及多點接地故障[23]提出了相應的電導率均質化方法。由于均質化后材料等效厚度增加,文獻[19-23]均要利用等效集膚深度公式對邊緣處作較細的網格剖分,雖然較未均質化時計算成本大幅下降,但是仍然需要占用較高的內存容量和較長的計算時間,存在進一步改進的地方。

針對當前硅鋼疊片鐵心均質化中計算內存消耗仍然較高、計算時間仍然較長的問題,本文以國際TEAM Problem 21 基準族中的21d-M(以下簡稱TEAM P21d-M)為分析對象,利用等效復磁導率幅值改進原有的均質化公式,對20層型號為30RGH120的取向硅鋼片進行建模,將計算結果與實驗測量值進行對比,驗證了改進均質化的計算準確性。在此基礎上對比未均質化、傳統均質化以及改進均質化方法的剖分單元數、內存消耗和計算時間,驗證了改進均質化的高效性。

2 磁場方程

2.1 三維渦流場方程

采用A,φ-A法并引入庫倫規范后,在渦流區的電磁場方程為[24]:

(1)

在非渦流區的電磁場方程為:

(2)

式中,A為矢量磁位;φ為標量電位;Js為源電流密度,A/m2,在變壓器中,Js可分為高壓繞組電流密度以及低壓繞組電流密度[25];μ為磁導率;σ為電導率,S/m。當材料為各向異性時,μ和σ將以對角陣的形式給出:

(3)

(4)

式中,x、y、z為坐標軸的三個方向。

2.2 損耗分離方法

疊片鐵心總損耗可分為磁滯損耗、渦流損耗以及剩余損耗。磁滯損耗與材料內部磁疇的運動有關[26];渦流損耗取決于材料的性質、排列方式以及厚度,其中材料厚度是最重要的[27]。損耗分離公式如下所示[28]:

(5)

式中,Ptot為總損耗;Phys、Pclass、Pexc分別為磁滯損耗、渦流損耗以及剩余損耗;khys、kclass、kexc分別為磁滯損耗系數、渦流損耗系數及剩余損耗系數;Bp為磁通密度峰值;m為一個常數;f為頻率。

兩邊同時除以頻率f,并令:

(6)

可得:

(7)

在給定磁通密度下測量頻率和總損耗值,并用式(7)進行損耗分離的方法稱為外推法損耗分離。

3 改進的均質化公式與損耗計算

3.1 等效復磁導率

由于材料的磁滯特性,磁通密度B與磁場強度H之間存在時間滯后。為了分析磁心中的這些現象,可以將材料的相對磁導率視為復數μr=μ′r-jμ″r,其中μ′r和μ″r是頻率f的實函數。以圖1為例,其x方向的等效復磁導率可以通過下式獲得[29]:

(8)

圖1 外施磁場下的疊片示意圖Fig.1 Schematic of lamination under external applied magnetic field

式中,d0為疊片厚度的一半,d0=d/2;為傳播常數,與集膚深度相關,表達式如下:

(9)

式中,j為虛數單位。選取一個3%SiFe晶粒取向硅鋼片,厚度為0.3 mm;電導率為2.17×106S/m;當磁通密度為1.5 T時沿x方向的相對磁導率μx=3.13×104。通過式(9)計算其各頻率下的復磁導率實部與虛部的結果如圖2所示[30]。

圖2 復磁導率實部與虛部隨頻率變化圖Fig.2 Real and imaginary parts of complex permeability change with frequency

3.2 考慮等效復磁導率的改進均質化公式

對于圖3所示的總厚度為D0、疊片寬度為D、單個疊片厚度為d的硅鋼疊片鐵心模型,準確地對疊片和片間氣隙進行有限元建模會產生大量剖分單元,計算成本極大。為了在降低計算成本的同時保證計算準確度,需要進行均質化處理。

圖3 疊片鐵心均質化示意圖Fig.3 Schematic diagram of homogenization of laminated core

設軋制方向以及切向方向的磁導率分別為μr和μt;空氣磁導率為μ0;疊片系數為F,那么式(3)和式(4)中的各變量表達式為:

(10)

(11)

在使用式(10)、式(11)進行均質化時應當考慮集膚深度,均質化后的等效集膚深度公式如下所示[13]:

(12)

式中,ω為角頻率;δpar為平行于疊片的平面所對應的等效集膚深度;δver為垂直于疊片的平面所對應的等效集膚深度。

綜上,傳統均質化分為兩大步。首先利用式(10)和式(11)將多層疊片等效為一個整體;然后利用式(12)計算出等效集膚深度,加密邊緣網格剖分。為了進一步降低網格剖分數目,簡化計算過程,將式(8)引入,對均質化公式進行改進,得:

(13)

式中,‖·‖為取幅值。通過上述改進,可直接對整體進行網格剖分,不用為集膚效應劃分額外的剖分區域。改進均質化的示意圖如圖4所示,自左向右分別代表非均質化、傳統均質化以及改進均質化的網格剖分。

圖4 改進均質化的網格剖分對比圖Fig.4 Comparison diagram of mesh generation with improved homogenization

以圖3所示的x方向為例,改進均質化流程圖如圖5所示,其中Hi為第i個H取樣點,Hmax為最大的H取樣點。

圖5 改進均質化計算流程圖Fig.5 Flow chart of improved homogenization calculation

取10片型號為30RGH120的硅鋼片,設疊片系數F=0.955,則未均質化、傳統均質化以及改進均質化后的切向方向的B-H曲線如圖6所示。

圖6 均質化處理對比圖Fig.6 Comparison of homogenization method

3.3 剖分單元的損耗分離

磁滯損耗與磁通密度峰值的對應關系可以通過實驗測量得到[31]。效仿式(7),令:

(14)

推導出如下所示的以磁通密度峰值為自變量的外推法損耗分離公式為:

(15)

總損耗表達式為:

(16)

三維有限元中一般以剖分單元重心處的Bp近似替代剖分單元內的磁通密度峰值[32]。整個硅鋼疊片鐵心的磁滯損耗、渦流損耗、剩余損耗及總損耗均可由下式表達為:

(17)

式中,n為剖分單元總數;Pi為第i個剖分單元的損耗;Bi為第i個剖分單元重心處磁通密度峰值;ρ為材料密度;Vi為第i個剖分單元的體積。

4 算例分析

4.1 國際基準問題模型與預處理

國際TEAM問題作為驗證電磁分析方法的基準,自20世紀80年代以來發展迅速。其中,TEAM Problem 21以電力變壓器為直接工程背景[31],為了探究取向硅鋼疊片的非線性三維渦流問題,采用國際TEAM P21d-M,該算例含有20個型號為30RGH120的取向硅鋼片,如圖7所示。

圖7 TEAM P21d-M模型示意圖Fig.7 Schematic diagram of TEAM P21d-M

TEAM P21d-M因線圈1和線圈2的激勵方向不同,可分為反向激勵、同向激勵與單激勵三種激勵,取向硅鋼片的相關數據可從文獻[33]中查閱。利用式(15)對取向硅鋼片的渦流損耗及剩余損耗進行擬合,擬合曲線的決定系數為0.986 6,擬合關系較好;擬合曲線與實驗測量值的對比結果如圖8所示。擬合曲線表達式為:

(18)

圖8 損耗測量與曲線擬合圖Fig.8 Loss measurement and curve fitting diagram

為了準確擬合磁滯損耗Phys,采用磁通密度峰值的多項式[34]替代式(5)中的常數m:

(19)

式中,a、b、c均為待求參量。利用工頻下的測量數據[33]擬合式(19)中的各待求參量,擬合曲線的決定系數為0.995 7,擬合關系良好;擬合曲線與實驗測量值的對比結果如圖9所示。擬合后的損耗分離公式為:

(20)

圖9 磁滯損耗隨磁通密度峰值變化圖Fig.9 Variation of hysteresis loss with magnetic density peak

將式(20)代入式(17)即可求出硅鋼疊片的磁滯損耗、渦流損耗以及剩余損耗。

4.2 計算結果與分析

4.2.1 磁通計算結果

計算激勵電流為10 A時改進均質化與傳統均質化的疊片磁通,結果如圖10所示。對比反向激勵、同向激勵和單激勵條件下10 A、15 A和25 A時未均質化、傳統均質化與改進均質化的磁通計算結果,具體見表1。當迭代步數相同時,未均質化、傳統均質化和改進均質化的平均誤差絕對值分別為3.99%、3.19%和3.18%,表明改進均質化、傳統均質化和未均質化有著同樣的求解準確度。

表1 硅鋼疊片磁通計算結果Tab.1 Magnetic flux calculation results of silicon steel laminates

圖10 磁通計算結果對比Fig.10 Comparison of flux calculation results

4.2.2 損耗計算結果

計算反向激勵下10 A、15 A和25 A的總損耗、磁滯損耗、渦流損耗以及剩余損耗,結果見表2。由表2可知,激勵電流10 A時雖然誤差略大,但是仍然在工程允許范圍之內;當激勵電流為15 A和25 A時,計算結果與測量值相吻合,證明了式(20)對于損耗計算的準確性以及改進均質化方法對于磁通計算的準確性。

表2 硅鋼疊片損耗分離計算結果Tab.2 Calculation results of silicon steel lamination loss separation

4.2.3 計算代價對比

利用處理器型號為i9-12900KF、內存為128 GB的計算機對比未均質化、傳統均質化以及改進均質化在10 A反向激勵仿真時的剖分單元數、內存消耗以及計算時間,結果如圖11所示。當迭代步數相同時,未均質化的計算時間最長、剖分單元數最多、計算成本最高;傳統均質化在計算時間上相較于未均質化時縮短了73.5%、內存消耗上減少了77.2%。進一步對比10 A反向激勵、同向激勵以及單激勵條件下傳統均質化與改進均質化的計算成本,對比結果見表3。由表3可見,相較于傳統均質化,改進均質化使得有限元網格剖分平均縮減了43.0%、計算時間平均縮減了77.4%、內存消耗平均縮減了64.8%,表明改進均質化在傳統均質化的基礎上計算成本又有大幅減少,其原因是計算時間與內存消耗均與有限元的矩陣方程求解相關,減少剖分單元將直接減少矩陣方程維數,改進均質化在傳統均質化的基礎上進一步降低了疊片邊緣處的剖分單元個數,從而減少了計算時間與內存消耗。結合磁通和渦流損耗的計算結果,證明了改進均質化不僅計算準確,計算代價也是最小的。

表3 10 A三種激勵條件下計算代價對比Tab.3 Comparison of calculated costs under three different excitation conditions in 10 A

圖11 歸一化計算代價對比Fig.11 Comparison of normalized calculated costs

4.2.4 渦流分布對比

證明了改進均質化計算的準確性和高效性后,繪制激勵電流為15 A時靠近線圈側、遠離線圈側的渦流分布情況以及二維磁通分布情況,如圖12～圖14所示。發現同向激勵時靠近線圈側與遠離線圈側硅鋼疊片鐵心的渦流分布近乎一致;反向激勵和單激勵下疊片鐵心靠近線圈側和原理線圈側的渦流分布差異較為明顯;反向激勵和單激勵均在靠近線圈側的硅鋼疊片鐵心的中心處存在一個主要的渦流回路。分析三種激勵條件下的二維磁通分布圖發現,反向激勵下靠近線圈側的磁通主要分布于疊片中心,而遠離線圈側的磁通則對稱分布于左右兩端,故其遠離線圈側的疊片鐵心渦流分布出現了兩個中心;單激勵條件下由于激勵的不對稱,靠近線圈側的磁通主要分布于有源線圈的兩側,故存在兩個較為明顯的渦流回路。同理,遠離線圈側的磁通主要分布于靠近有源線圈的一端,故存在一個較為明顯的渦流回路。

圖12 15 A反向激勵渦流及磁通分布對比圖Fig.12 Comparison of eddy current and flux distribution under 15 A reverse excitation

圖13 15 A同向激勵渦流及磁通分布對比圖Fig.13 Comparison of eddy current and flux distribution under 15 A simultaneous excitation

圖14 15 A單激勵渦流及磁通分布對比圖Fig.14 Comparison of eddy current and flux distribution under 15 A single excitation

5 結論

(1)本文指出傳統均質化在計算上因考慮集膚效應而額外進行網格剖分,計算成本相較未均質化有所減少,但仍然較高。通過引入等效復磁導率幅值,建立了考慮集膚效應的均質化公式。

(2)本文基于改進的均質化公式對TEAM P21d-M問題進行仿真分析,首先對比了未均質化、傳統均質化和改進均質化在磁通計算上的差異,結果表明改進均質化與未均質化和傳統均質化相比,計算準確度并沒有顯著劣化;改進均質化的計算誤差絕對值不超過5%,最小誤差絕對值僅為0.68%,進一步證明了改進均質化的計算準確性。

(3)在證明了改進均質化計算的準確性之后,對比了未均質化、傳統均質化以及改進均質化之間在計算代價上的改變,仿真結果表明,迭代步數相同時,傳統均質化相較于未均質化時計算時間上減少了73.54%,而改進均質化相較于傳統均質化計算時間進一步減少了77.9%,在此基礎上著重對比傳統均質化與改進均質化的網格剖分數、內存消耗、計算時間。計算結果表明,相較于傳統均質化,改進均質化在網格剖分數上平均減少了43.0%、內存消耗上平均減少了64.8%、計算時間上平均減少了77.5%,證明了改進均質化方法不僅計算準確,同時相比傳統均質化方法有著更高的效率。

(4)后續工作中,將研究包括軟磁復合材料、片間短路等情況下的均質化公式的改進。