高等數學教學中課程思政的探索與思考

胡芳芳 張永

摘?要：在大思政的背景下，各高校教師積極探索將思政元素融入高等數學課程教學中，如何將高等數學課程教學探索的結果和積累的經驗穩落地、見實效，作出更加優化教學設計，既是課程思政建設的基本要求，也是高等數學教學內涵提升的必然選擇。本文以定積分概念為例，挖掘定積分概念蘊含的思政元素，闡述教學設計思路，給出在教學過程中怎樣具體實施課程思政。

關鍵詞：高等數學；課程思政；立德樹人；定積分

中圖分類號：G4?????文獻標識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.16723198.2024.06.069

0?引言

課程思政是高校貫徹立德育人要求的關鍵環節，落實立德樹人根本任務的重要舉措，是完善全員全程全方位“傳道授業解惑”的立德樹人過程。2020年教育部印發《高等學校課程思政建設指導綱要》，強調高校思政教育工作，要充分發揮思想政治課之外的其他各類各門課程在“鑄魂育人”作用。

在大思政的背景下，各高校教師積極探索將思政元素融入高等數學課程教學中，并取得一些成果，如何將高等數學課程教學探索的結果和積累的經驗穩落地、見實效，從而作出更加的優化教學設計，這既是課程思政建設的基本要求，也是高等數學教學內涵提升的必然選擇。

本文以案例研究為基礎，以解決問題為導向，以高等數學課程為依托，將問題驅動法、教師引導法和講授法相互結合進行教學設計，調動學生充分融入課堂教學，結合數學家的精神感染力量，講好數學家的故事，從培育科學思維和職業素養的角度入手，學習踏踏實實的探索精神，樹立文化自信和認同感，激勵學生自豪感和使命感，增強愛國情懷，有效提升解決實際問題的能力。本文將高等數學與課程思政相結合，其教學方法、設計思路具有普適性，適合在各高校高等數學課程中進行嘗試，具有廣泛的參考意義。

1?教學設計思路

教師在授課過程中將課程思政融入定積分的概念，創造數學情境，以此來發現問題，提出問題，以解決課程基本問題的主要思想為主線。首先，通過播放賽里木湖的風景，介紹賽里木湖的由來，并從不規則的湖面，引出不規則圖形的面積計算問題，結合新疆歷史、生態環境，進一步增強學生的環保意識和保護環境的責任感。將不規則圖形面積的計算問題轉化為曲邊梯形面積的計算問題，借助劉徽“割圓術”的思想，啟發學生尋找思路，在領會其中所蘊含的數學思想的同時，激發學生民族自豪感。其次，用畫板動畫演示對曲邊梯形無限分割，無限逼近的過程，重點演示“直與曲的轉化，有限向無限的轉化”思想，滲透“以直代曲”的數學思想，帶領學生歸納總結定積分的定義，并給出定義中的符號說明，啟發學生感受定義所蘊含的辯證唯物主義的哲學思想。隨后，引導學生運用所學理論知識解決課前提出的實例問題，增強學生的分析能力及運用所學知識解決實際問題的能力，激勵學生為今后我國的科學、社會、經濟的發展作出貢獻。最后，對本節課進行及時的總結和反思，引領學生課后繼續深度思考，真正把所學的理論知識運用到生活實踐中，達到數學生活化。

2?教學過程

2.1?案例欣賞，問題導入

首先播放賽里木湖視頻，簡單介紹賽里木湖的形成過程及歷史文化：賽里木湖由于海拔、地形、氣候等因素造就了它的獨特魅力，如今的賽里木湖景區有珍稀瀕危和重大科研價值的關鍵動植物種類多達184種，實現了人與自然的和諧共存，由于豐富的人文資源和動植物資源，培養學生保護生態環境意識，樹立人與自然和諧共處理念，激發學生學習興趣。隨后，借助測量不規則的賽里木湖湖面面積問題，引出計算不規則圖形面積問題，培養學生善于觀察、勤于思考的能力。

2.2?引導轉化，建立模型

在我們生活中大到測量各省占地面積，小到測量湖面面積，那對于這樣不規則圖形的面積計算問題該如何解決？以賽里木湖規劃圖為例，先讓學生通過觀察獨立思考，對于這樣不規則的湖面，以我們目前掌握的方法無法直接進行求解，引導學生用水平和垂直的直線對湖面進行分割，分割后得到若干規則圖形（可求面積）和帶有曲邊的不規則圖形（引入曲邊梯形定義），將分割過程以動畫的形式展示并將靠近岸邊的不規則圖形抽象到平面直角坐標系中，湖的邊界就是曲線，帶領學生從圖形上直觀的認識由x=a，x=b，x軸，以及曲線y=f（x）（其中函數y=f（x）在區間［a，b］上非負、連續）所圍成的類似于梯形的圖形稱為曲邊梯形，此過程將生活中的實際問題化為一個數學問題并建立數學模型：求解一個曲邊梯形的面積。實際問題抽象為數學模型的過程如圖1所示。

對于圖1中曲邊梯形面積的計算，根據實際問題來建立數學模型，對數學模型來進行求解，從而解決實際問題，在此過程中培養學生的洞察力和想象力，提升學生運用數學方法解決實際問題的能力，促使學生的數學能力和其他能力協同發展。

2.3?分析模型，形成概念

要想解決靠近岸邊的不規則圖形的面積問題，引導學生回顧劉徽“割圓術”的基本思想，就是說分割越細，誤差就越小，無限細分就能逐步接近圓周率的實際值。劉徽首創“割圓術”的方法，可以說他是中國古代極限思想的杰出代表，對中國古代數學的發展研究作出了重要貢獻，激發學生愛國熱情。如今正處于數據互聯網時代，尤其是未來在人工智能這一領域的賽道中，鼓勵學生要有迎難而上、敢為人先的探索精神和刨根問底、嚴謹治學的求實精神。必須要堅持顯性教育與隱性教育相統一、課程與思政有機結合，這是實現立德樹人、育人育才有機結合的關鍵環節，這樣才能達到更好地教學效果。接著借助多媒體演示割圓術的過程，如圖2所示。

接下來借鑒“割圓術”思想，引導學生自行發現“以直代曲”方法，從而增強學生自主學習和探索信心。到目前，我們所求面積的圖形多為直邊圖形，例如：三角形、矩形等，但是對于這樣的曲邊梯形，它面積的精確值是無法直接求解的，但可以先求它的近似值，如何來求近似值呢？引導學生不妨以矩形面積來近似代替曲邊梯形面積，上方空白區域是誤差，當用兩個矩形面積來近似代替時，誤差減小了，如果用四個矩形面積代替呢，誤差更小了，受此啟發，當矩形的個數越來越多時，其面積之和與曲邊梯形的面積越來越接近，如果無限分割下去呢？所得矩形面積之和的極限就為曲邊梯形的面積。在整個過程中，借助極限思想，帶領學生體會用有限來研究無限的哲學思想，從“不變”認識“變”，從直線形認識曲線形，從近似認識精確，在授課過程中將理論知識與唯物辯證法相結合，培養學生在掌握理論知識的同時，學會用唯物辯證法的原理分析和解決實際問題，過程如圖?3。

通過上述分析，計算曲邊梯形的面積所采用的分析思路和求解方法分為四步，稱為積分“四步曲”：

第一步分割：取分點xi∈［a，b］（i=0，1，2，…，n）：

a=x0＜x1＜x2＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b，

將底邊對應區間［a，b］分成n個小區間［xi-1，xi］，其長度依次記為Δxi=xi-xi-1，（i=0，1，2，…，n）。

第二步近似：在［xi-1，xi］上任取一點ξi，并以底為［xi-1，xi］、高為f（ξi）的矩形近似代替第i個小曲邊梯形（i=0，1，2，…，n），從而整不大曲邊格形面積的近似值為∑ni=1f（ξi）·Δxi，顯然，區間分劃愈細，則該梯形面積近似值的精度愈高。

第三步求和：將這n個小矩形面積求和得到整個曲邊梯形面積的近似值，需要特別注意的是這里得到的仍然是近似值。

第四步取極限：記λ=max1

nΔxi，令λ→0，此即意味著對區間［a，b］的分割無限加密（此時必有n→∞）．于是，我們便將其極限值limn→∞∑ni=1f（ξi）·Δxi定義為曲邊梯形的面積。

綜上所述，需要特別注意的是每一次的分割均是有限分割，恰恰是用無限次的有限分割最終達到了無限細分，其中每一次的有限分割都要保證分割、取點任意，幫助學生形成良好的學習習慣和嚴謹態度。取極限的過程體現了數學的嚴謹性，分析λ的含義，循序漸進借助圖形幫助學生理解極限的思想，并將極限思想上升到哲學領域，即量變到質變。告訴學生只有腳踏實地，?持續不斷努力，才能實現質的飛躍，到達勝利彼岸。

下面帶領學生再來分析一個物理學問題，求物體從T1時刻做變速直線運動至T2時刻，所經過的路程s，對于變速直線運動這樣一個不恒定量的求解，仍然運用積分“四步曲”求解數學模型，通過上述兩個問題分析，可以看到：一個是物理學問題，一個是幾何學問題，所得的結論也具有共同特征：均為乘積的和的極限，通過概括總結上述共性得到定積分的定義，從而培養學生邏輯推理能力和知識遷移能力。著重強調積分“四步曲”的重要性，為后續學習重積分、曲線積分奠定扎實的基礎。隨后，為了幫助學生更好地理解和掌握定積分的定義，對定積分的符號進行說明，加深學生對定積分概念的理解，掌握定積分的幾何意義，逐漸形成正確的數學觀。通過?PPT?對符號進行說明，如下圖?4。

2.4?應用理論，解決問題

分析完定義，帶領學生回到課前一開始提出的問題：如何計算賽里木湖的湖面面積。進一步引導學生思考定積分還可以解決生活中哪些實際問題？讓學生積極參與到課堂教學中，了解所學知識的應用領域，幫助學生樹立學以致用的意識。通過解決實際案例，培養學生數學建模能力，讓學生在具體實踐中感知自己對知識的掌握度，培養學生學以致用的能力，進一步對定積分的概念加以鞏固和理解。作為教師要善于用生活事例豐富課堂，調動學生自主參與探究，引導學生將生活與學習聯系起來，讓學生感受生活中存在的數學，達到學以致用的目的。應該把自己的學業和職業目標與國家的發展目標緊密結合起來，提高自身能力，以便更好地為國家的發展作出貢獻。

2.5?揭示本質，落腳思政

2.6?繼續探索，課后延伸

通過學習定積分的概念，解決課堂中提出的實際問題。課后讓學生以小組為單位收集定積分在實際生活中應用案例，例如：火箭發射所做的功、“蛟龍”號載人潛水器在水下的壓強、北斗衛星所受的地球引力等，與重大科技相聯系，激勵學生勇于探索科技領域，培養勇于獻身科研的精神，并通過數學建模方法解決，增強團隊合作能力。

3?結束語

本文以定積分的概念為例，將概念的講解與課程思政元素的融入具體化，通過創設求“賽里木湖的湖面面積”問題情景，培養學生人與自然和諧共處的環保意識；通過計算曲邊梯形的面積，培養學生“細分入微、以直代曲、積零為整、拋光磨平”的思維方式，掌握定積分的實質；通過分析解決生活中的實際案例問題，培養學生知識應用能力、抽象歸納能力和數學建模能力。

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