聲波導單模光纖中后向受激布里淵散射的聲模分析*

馮云龍 侯尚林 雷景麗 武剛 晏祖勇

(蘭州理工大學理學院,蘭州 730050)

本文推導了單模光纖中的聲波亥姆霍茲方程,利用分離變量法求解并獲得正規聲波導導模的特征方程,定義了聲模的歸一化頻率,結合貝塞爾函數的宗量近似分析了聲波模式的特征值范圍、截止頻率和遠離截止,探討了聲模的色散和布里淵增益譜的多峰成因.研究結果表明單模光纖中縱向聲波基模L01 模無截止,主要被限制在纖芯中,與光基模耦合形成布里淵增益譜的主峰;高階聲模都存在低頻截止,在包層分布比基模多,與LP01 模耦合形成布里淵增益譜的次峰.只有縱向L0n 聲模對后向布里淵增益譜有貢獻,纖芯摻鍺濃度增大能使布里淵增益譜發生紅移,聲模數量增多,L01 模的增益峰值逐漸變大而高階模的貢獻減小.泵浦波長為1.55 μm,纖芯摻鍺濃度3.65%、纖芯半徑4.2 μm 的單模光纖存在4 個L0n 和16 個Lmn (m ＞ 0)聲模,聲模L01,L03,L04 與光模LP01 聲光耦合產生布里淵增益譜的1 個主峰和2 個弱峰;纖芯摻鍺濃度15%,纖芯半徑1.3 μm 的單模光纖存在3 個L0n 模和7 個Lmn (m ＞ 0)模,L01,L02,L03 模與LP01 模聲光耦合使得布里淵增益譜呈現3 個主峰.這些結論可以完全解釋相應的實驗現象,也為光纖SBS 聲波導研究及應用提供理論參考.

1 引言

受激布里淵散射(stimulated Brillouin scattering,SBS)是一種典型的三階非彈性散射.由于泵浦光使介質電致伸縮產生彈性聲波,聲波周期性地調制介質折射率而形成運動光柵,光柵散射的光波形成頻率下移的斯托克斯波.光纖中的SBS 包括后向受激布里淵散射(backward SBS,BSBS)和前向受激布里淵散射(forward SBS,FSBS),也稱為聲波導布里淵散射(guided acoustic wave Brillouin scattering,GAWBS).由于光纖中的SBS 具有低閾值、不受波長限制、布里淵增益線寬窄、聲光相互作用區長等特點,因而在高精度和高分辨率的溫度和應變傳感[1,2]、窄線寬激光器[3]、快慢光[4]、脈沖壓縮[5]等領域具有廣泛的應用前景.

光纖既可以是光學波導,也可以是聲學波導.光纖中的SBS 主要決定于泵浦光與聲波的重疊與耦合.當光波和聲波的重疊較多時,SBS 過程將被有效地激發和增強;相反,聲光重疊較少會導致SBS減弱甚至無法被觀察到.因此,光纖聲波導中的聲學模式的產生、存在條件及分布對研究SBS 特性是至關重要的.光纖中摻雜稀土離子會改變聲速[6].因此可以在包層和纖芯中摻雜不同濃度或類型的稀土離子以改變聲學波導結構.

研究表明在聲波導光纖中可以傳播徑向Rmn聲模、扭轉-徑向TRmn聲模和縱向Lmn聲模[7],而且不同類型的聲模與光模相互作用產生不同的SBS,如光學模式和縱向Lmn聲模耦合形成BSBS;光學模式和徑向R2n聲?；蚺まD-徑向TR2n聲模耦合形成FSBS.1985 年,Shelby等[8]證明了聲波導光纖中FSBS 聲波可以在光纖橫截面振蕩形成駐波,形成的聲模為徑向R0n模和扭轉-徑向TR2n模.1989 年,Shibata等[9]在理論和實驗上表明纖芯摻鍺石英單模光纖的BSBS 是由光模LP01模和縱向聲學模Lmn模相互作用產生,而且聲波能量主要分布在纖芯中.2009 年,Tartara等[10]采用有限元法對反聲波導單模光纖進行全模態分析,發現低階聲模能量主要存在于包層中,而高階聲模能量集中在纖芯,并與光場有較大的空間重疊.2013 年,Christopher等[11]通過求解聲波方程分析了聲學導模、泄漏模在光波導中對BSBS 增益的影響,但并未分析導模的截止條件與色散情況.2018 年,Xing等[12]提出了一種基于單模光纖BSBS 的多個聲模實現多參數光纖傳感器,實驗成功實現了溫度和應變的鑒別傳感并且溫度和應變精度分別為0.98 ℃和19.6 με,但文中并未解釋多個聲模存在的理論原因.2023 年,Tsvetkov 和Likhachev[13]理論研究了硅基光纖中纖芯同時摻P2O5和F 對布里淵增益的影響,通過調整摻雜濃度可實現單模光纖中高的聲學折射率,有效地激發了BSBS 過程中聲學模式并產生了寬波段的多峰布里淵增益譜(Brillouin gain spectrum,BGS),而且研究發現BGS 的最大值與聲模數量成負相關.2023 年,Huang等[14]綜述了光纖中抑制BSBS 的關鍵技術,提出通過橫向設計光纖摻雜濃度、類型和波導結構減少光學基場與聲模之間的重疊因子、增大光纖的有效模場面積,或者縱向串聯不同的光纖都可提高布里淵閾值進而抑制BSBS.2023 年,He等[15]利用有限元法分析了纖芯摻鍺和摻鋁兩種單模光纖的聲場分布以及對布里淵閾值的影響,但并未解釋聲模的存在數量以及存在條件.通過充分的文獻調研可知,目前還沒有文獻報道過光纖作為聲波導在BSBS 中形成的正規聲模的截止狀態與遠離截止情形,以及用聲學歸一化頻率判斷與光模滿足相位匹配條件的聲模數量的方法,用聲光耦合解釋BSBS 增益譜多峰結構的物理本質等內容.

本文從單模光纖中聲光相互作用的物質方程出發,推導了聲波亥姆霍茲方程,分析了BSBS 中聲波模式分布和特征方程(聲波色散方程),引入了聲模的歸一化頻率,討論了聲波模式的截止和數量,研究了光纖中的聲光耦合及對BSBS 性能的影響,計算并分析了兩種單模光纖的全聲模態的布里淵頻移(Brillouin frequency shift,BFS)、聲模模場分布以及多峰BGS,理論分析結果與已報道的實驗結論符合得非常好.本文的研究結果揭示了光纖中的BSBS 現象的物理本質,并對光纖中BSBS在傳感等領域的應用提供理論參考.

2 理論分析

2.1 光纖中聲模和光模特征方程

簡單起見,采用階躍型石英單模光纖為研究對象.光纖中BSBS 聲光相互作用的物質方程為[16]

式中,t表示時間,ρ表示相對于材料密度ρ0變化量,Γ表示阻尼因子,vl(r) 表示縱波聲速,γ是電致伸縮系數,?2為Laplace 算子.電場強度E滿足[16]:

式中ez和e-z是光波前向傳播的和后向傳播的單位矢量,Aj(z,t)(j=p,s) 是泵浦光和斯托克斯光場的慢變振幅,βj,ωj為光波的傳播常數和角頻率,c.c 是復共軛.f(r,θ) 為線偏振模的光場二維分布,滿足二維波動方程[17]:

由邊界條件可得特征方程為[18]

其中ωa為聲波角頻率,βa為聲波的傳播常數,M是ρ未擾動時(γ=0,Γ=0 )的聲模個數,ξm(r,θ)是振幅為(z,t) 的聲模二維空間分布,并滿足以下聲波亥姆霍茲方程[16]:

式中vl,1為纖芯縱波聲速,vl,2為包層縱波聲速.(13)式的解具有沿圓周方向駐波狀態的變化形式,即

對于石英光纖,引入聲學折射率的概念,定義纖芯聲折射率na,1=/vl,1,包層聲折射率na,2=/vl,2,其中為二氧化硅的縱向聲速.因此(17)式可寫為

根據Crammer 法則,可得到其特征方程:

其中m階LHX(Ua)和RHX(Ua) 函數的交點橫坐標即為Lmn聲模的特征值.由于BSBS中βa=2βo[19],所以vl,1βa＜ωa＜vl,2βa,即

定義有效聲速[3]va,eff=ωa/βa和有效聲折射率[19]na,eff=/va,eff,假設聲波以 exp(-ΓBt) 衰減,BGS會呈現Lorentz 線型[20],即:

式中,f為聲頻率,下標i表示聲模階數,no,eff為光模的 有效折射率,滿足no,eff=βo,eff/k0,p12為縱向彈光系數,c為真空中的光速,ΔfB為布里淵增益線寬,gP為布里淵增益系數,Aao為聲光有效面積,是表征光纖中光模與聲模間SBS 相對強度的重要參數,可表示為[16]

光模的有效模場面積Aeff可表示為[21]

聲光重疊因子I滿足[10]:

反映了BSBS 過程的散射效率,其值越接近1 則表明聲模的散射效率越強.(29)式需要利用(5)式和(25)式在纖芯、(6)式和(26)式在包層中分區間積分.如果光纖中聲模的階數m＞0 時,角向變量cos(mθ)或sin(mθ)對θ在0到2π 的積分則為0,這將導致聲光重疊因子為0,所以單模光纖中只有L0n模對BGS 有貢獻,即在BSBS 過程中聲模必須滿足m=0 .這與文獻[3]研究結論相符.

2.2 截止條件和遠離截止情形

在特征方程(21)式中令Wa→0 可以得到聲模的截止條件,即ωa=vl,2βa是聲模截止的臨界狀態.

1) 當截止時,Wa→0,(21)式右邊為

特征方程變為

定義截止函數:

2)當遠離截止時,Wa→∞,(21)式右邊為

特征方程變為

定義遠離截止函數:

Lmn模的Ua應介于m階C1(Ua) 的零點和m階C2(Ua) 的零點之間.相比于目前運用有限元法[10,22,23]求解BSBS 的聲學模式以及分析BGS,其難以解釋光纖中光場激發的聲模種類、數量以及截止特性,本文通過定義聲模的歸一化頻率并結合聲模的截止條件與遠離截止情形可有效解決上述問題.聲模的歸一化頻率可分析光纖中的正規聲模的存在和截止,此方法相較于以往工作[22,23]更能揭示光纖中BSBS 的聲光耦合現象.

2.3 纖芯摻鍺濃度對聲速和密度影響

石英單模光纖通常在纖芯摻鍺提高折射率,其也可以改變聲速和介質密度.纖芯縱向聲速vl,1和密度ρ0隨鍺濃度ωGeO2(摩爾分數)變化如下[24]:

而當泵浦波長為 1.55 μm 時,折射率no,1和布里淵線寬 ΔfB隨鍺濃度變化如下[24]:

3 數值模擬結果與討論

3.1 聲模分布及色散

由特征方程(21)式可知,Lmn模的Ua應介于C1(Ua)=Ua[Jm-1(Ua)-Jm+1(Ua)]+2mJm(Ua)的零點和C2(Ua)=Jm(Ua) 的零點之間.圖1 表示m=0 (L0n模)和m=1(L1n模)的Ua取值范圍,其中藍色曲線為聲模的截止函數曲線,紅色曲線為聲模的遠離截止函數曲線.由圖1 可見L01模的Ua＜2.4048,類似于LP01模,稱為聲學基模.次高階模L11模滿足2.4048＜Ua＜3.8317.當Va＜2.4048 時,L11模截止,此時只存在L01模.當Va分別大于3.8317,7.0156 和10.1735 時,L02,L03和L04聲模被激發,高階聲模與光波耦合致使BGS 呈現多個增益峰.

圖1 (a) L0n 模;(b) L1n 模的Ua 取值范圍Fig.1.The Ua value range of (a) L0n mode and (b) L1n mode.

當Wa=0 時,聲模被截止,此時Ua=Va.圖2為Ua=f(Va)以及na,eff=f(Va)的色散曲線.可見Ua隨著Va的增大而增大,并且變化率逐漸減小,模式趨向于遠離截止狀態.na,eff隨著Va的增大而非線性增大,而當Va減小時聲模的有效聲折射率趨向于包層的聲折射率,聲模的相速度增大趨向于包層聲速,當二者相等時對應的Va即為聲學導模的截止點.聲場基模L01模表現出“無截止傳輸特性”,這與圖1 的結論一致.L11模、L21模、L02模和L31模等高階模的截止頻率Va依次為2.4048,3.8317,5.1356······由圖2(b)可 見,L21模和L02模的截止點相同,但二者并不是簡并模式.

圖2 聲模色散曲線 (a) Ua與Va 的關系;(b) na,eff與Va 的關系Fig.2.Dispersion curve of acoustic mode:(a) Ua=f(Va) ;(b) na,eff=f(Va) .

圖3 為纖芯半徑取4.1—4.5 μm,纖芯摻鍺濃度從0.4%—4%時的Va和Vo變化曲線.由圖3可見,當纖芯半徑不變時,二者都隨著摻鍺濃度的增大而增大.這是因為纖芯摻鍺濃度的增大,增大了纖芯和包層的相對折射率差和聲速比vl,2/vl,1,因而增大了歸一化頻率Vo、傳播常數βo以及Va.由于Vo＜ 2.4048,光纖為單模傳輸,而聲學L0n模數量最多為4 個.光纖的纖芯半徑取4.5 μm 時,在保持單模傳輸的條件下,當ωGeO2≤0.3% 時僅存在L01模;當 0.4%≤ωGeO2≤1.1% 時存在L01模和L02模;當 1.2%≤ωGeO2≤2.4% 時存在L01模、L02模和L03模;當 2.5%≤ωGeO2≤4% 時存在L01模、L02模、L03模和L04模.

圖3 Va和Vo 隨摻鍺濃度的變化Fig.3.Variation of Va and Vo with germanium doped concentration.

單模光纖的BSBS 過程中是光學基模與不同聲模之間發生的相互作用,因此BGS 中將出現一個或多個中心頻率和強度不同的增益峰[25],而摻鍺濃度在改變聲模數量的同時進而影響BGS.由摻雜(38)式和(40)式可分別得到不同摻鍺濃度下的纖芯聲速和纖芯折射率,根據光纖的折射率和縱向聲速分布求解給定纖芯半徑的光模和聲模特征方程(7)式和(21)式,可得到LP01模的no,eff和L0n模的BFS,并由(28)式和(29)式得到布里淵增益系數gP和聲光有效面積Aao,進而得到光纖的BGS.當纖芯半徑為4.5 μm 時,BGS 隨纖芯摻鍺濃度從1%每隔0.5%增大到4%時的計算結果如圖4 所示.可見BGS 隨著摻鍺濃度的增大而出現紅移,并且L01模的增益峰值逐漸變大;當摻鍺濃度分別大于1.5%和2.5%時,L03模和L04模的增益峰出現且增益峰值不斷變小.由于單模光纖中的SBS主要由L01模散射LP01模,而增大摻鍺濃度使得纖芯折射率增大、縱向聲速減小,LP01模和L01模被強烈地限制在纖芯中導致聲光重疊增強,所以增益峰值變大,而高階模分布在纖芯和包層中,他們的增益峰值比較小.

圖4 布里淵增益譜隨摻鍺濃度變化曲線Fig.4.BGS variation curves with germanium doped concentration.

3.2 布里淵頻移及多峰布里淵增益譜分析

根據文獻[22,23],模擬單模光纖參數如表1所示,根據以上理論進行模擬,并和實驗結果相比較以驗證上述理論的正確性.分別按照兩種光纖的參數,首先求解(7)式得到光場的Uo傳播常數βo,然后代入(21)式可以求得聲模的Ua以及BFS.

表1 光纖參數Table 1.Optical fiber parameters of two kinds of fiber.

Fiber 1 的纖芯摻雜濃度為3.65%,纖芯半徑為4.2 μm,可計算得到歸一化頻率Vo=2.1368 ＜2.4048,滿足單模傳輸條件.聲波L0n模Ua的分布如圖5(a)所示,LHX(Ua)和RHX(Ua) 有4 個交點.由于Fiber1的Va=11.7081 ＜ 13.3237,因此L05模被截止,所以(21)式僅存在4 個特征值Ua,這與文獻[22]實驗研究結果相符合.圖5(b)為L0n模和LP01模的歸一化場分布.可見聲波L01模和光波LP01模在整個光纖橫截面隨半徑增大而衰減,但高階L0n模在纖芯振蕩、包層衰減,L01模和LP01模重疊區域最大,其聲光有效面積Aao和有效模場面積Aeff分別為78.87 μm2和76.32 μm2,兩者數值接近使得聲光重疊因子I達到0.9668.由于高階聲模在纖芯振蕩,它們和LP01模耦合作用比較弱.

圖5 Fiber 1 的(a) L0n 模特征方程和(b)歸一化場分布Fig.5.(a) L0n mode characteristic equation and (b) normalized field distribution of Fiber 1.

Fiber 1 的BGS如圖6所示.可見BGS 有3 個增益峰,對應的BFS 分別為10.9244,11.0494,11.1576 GHz.這3 個峰分別由L01模、L03模、L04模與LP01模耦合產生,這與文獻[22]研究結果相符合.由于L02模和L01模的BFS 差僅為45.0 MHz,并且其聲光重疊因子I僅為0.0049,所以L02模并沒有明顯的增益峰,而L03模和L04模與光模耦合導致BGS 中呈現2 個增益弱峰.

圖6 Fiber 1 的布里淵增益譜Fig.6.The BGS of Fiber 1.

Fiber 2 的纖芯摻雜濃度為15%,纖芯半徑為1.3 μm,光場歸一化頻率Vo=1.3358 ＜ 2.4048,滿足單模傳輸條件.L0n模Ua的分布如圖7(a)所示,LHX(Ua)和RHX(Ua)僅有3 個交點,由 于Fiber 2的Va=7.8052 ＜ 10.1735,因此L04模被截止,所以僅存在3個Ua,這與文獻[23]實驗研究結果一致.L0n模和LP01模的歸一化場分布如圖7(b)所示,LP01的有效模場面積Aeff和L01模聲光有效面積Aao分別為21.02 μm2和26.06 μm2,其聲光重疊因子I達到0.8068,而高階聲模L02模和L03模與LP01模的聲光重疊因子I分別為0.0436,0.0639.由圖8 可見Fiber 2 的BGS 有3 個增益主峰,這與文獻[23]研究結果相一致.L01模和LP01模耦合使得BGS 在10.0902 GHz 中呈現一個主峰,相鄰峰值間布里淵差為381.9 和613.6 MHz.由于高階模的布里淵增益較小,所以標準單模光纖往往不能運用于后向布里淵多參數傳感,但可以靈活設計光纖的聲波導結構以提高光模與高階聲模的聲光重疊,從而擴展其的應用范圍.

圖7 Fiber 2 的(a) L0n 模特征方程和(b)歸一化場分布Fig.7.(a) L0n mode characteristic equation and (b) normalized field distribution of Fiber 2.

當取m≥ 1 時,Fiber 1 和Fiber 2 特征方程分別還有16 個根和7 個根,即這2 種光纖中與泵浦波和斯托克斯波滿足相位匹配條件的聲模分別總共存在20 個和10 個.所有Lmn模的BFS 如表2所示,根據本文理論推導可得到單模光纖中高階Lmn(m＞ 0) 模的聲光重疊因子I為0,所以對BGS沒有貢獻.由于高階模處于截止狀態,因此可通過增大纖芯半徑或減小纖芯聲速誘導其出現.

表2 Fiber 1 和Fiber 2 的Lmn 模BFS (GHz)Table 2.BFS (GHz) of the Lmn modes in Fiber 1 and Fiber 2.

表3 為這2 種單模光纖的Aeff,Aao和I,以及文獻[22,23]中實驗結果和本文理論計算得到的BFS 和兩者的相對誤差.由表3 中可見本文計算結果與實驗測量數據最小誤差為0.0323%,最大為0.8087%,符合得非常好.誤差的主要來源是實際制造過程中的精度影響,因為理論計算是按照理想的情況進行的,但這樣的誤差精度足夠驗證特征方程的正確性及聲波歸一化頻率Va的適用廣泛性.

表3 兩種單模光纖的理論計算與實驗結果比較Table 3.Comparison of experimental and theoretical calculation results of two single-mode optical fibers.

4 結論

光纖作為一種聲學波導和光學波導,可以傳播機械波和電磁波,本文在光波導傳統線偏振模式理論的基礎上理論推導了BSBS 聲波方程的解析解及特征方程,通過對照光纖的歸一化頻率Vo定義了聲模的歸一化頻率Va,通過Bessel 函數的宗量近似得到了聲模的色散曲線,進一步根據特征方程計算了單模光纖的聲模全模態BFS,研究了聲模場分布以及多峰BGS,BFS 的理論與實驗最大相對誤差僅為0.8087%.色散曲線表明聲場基模L01模沒有低頻截止,高階聲模的歸一化頻率Va從小到大依次為2.4048,3.8317,5.1356······,對應為L11模、L21模和L02模、L31模等等,此模型可以與光纖中的線偏振模式理論結合完整分析BSBS 中的正規聲、光導模.單模光纖中僅有L0n模對BGS 有貢獻,L01模在整個光纖橫截面衰減,高階L0n(n＞1)模在纖芯振蕩、包層衰減.本文結論將為光纖BSBS聲波導特性研究提供理論指導.