弱相對論渦旋光在等離子體中傳播的波前畸變及補償*

劉偉 賈青? 鄭堅2)

1) (中國科學技術大學等離子體物理與聚變工程系,合肥 230026)

2) (上海交通大學 IFSA 協同創新中心,上海 200240)

渦旋光與等離子體相互作用近年來在激光等離子體領域引起了廣泛的關注.深入研究渦旋光在等離子體中的傳播對粒子加速和輻射源產生等工作具有重要意義.本文著重探討了弱相對論渦旋光在等離子中傳播時,傳播過程對電磁波結構的影響.基于三維粒子模擬,發現弱相對論渦旋光在等離子體中傳播時會產生波前畸變.在給定等離子體密度時,畸變程度與電磁波強度及傳播距離密切相關.基于相位修正模型,通過考慮電子相對論質量修正,在理論上對該現象進行了解釋.此外,研究還發現可以通過設置適當的初始密度調制對波前畸變進行補償抑制,并通過三維粒子模擬進行了驗證.本工作加強了對渦旋光在等離子體中傳播過程的理解,并為設計應用于相對論渦旋光的等離子體器件提供了參考.

1 引言

電磁波具有能量和動量,對于頻率為ω,波數為k的單色電磁波,每個光子攜帶的能量和動量分別為 ?ω和?k.此外,電磁波還可以攜帶角動量,其中包括自旋角動量(spin angular momentum,SAM)和軌道角動量(orbital angular momentum,OAM).早在1936 年,Beth[1]就在實驗上驗證了圓偏振電磁波攜帶自旋角動量.其中每個光子攜帶±? 份自旋角動量,自旋角動量的方向與圓偏振的方向相關.1992 年,Allen等[2]在理論上指出,對于具有螺旋相位exp(ilθ)的拉蓋 爾-高 斯(Laguerre-Gaussian,LG)模式的渦旋光,每個光子將會攜帶l? 份軌道角動量.渦旋光因具有螺旋相位分布、中空振幅分布和攜帶軌道角動量等特點,在光學操縱[3]、光通信[4,5]、顯微成像[6]和天文學觀測[7-9]等領域得到了廣泛的應用.

最近,研究者們基于等離子體提出了多種用于生成強渦旋光的創新方案,其中包括基于螺旋相位板的反射式等離子體光扇[10]、基于拉曼放大實現的反向傳播的低功率種子渦旋光放大[11]、基于等離子體密度調制的等離子體全息[12]、基于磁化等離子體的q 波片[13]等.這些工作使得越來越多的學者開始關注強渦旋光與等離子體間的相互作用,在包括粒子加速[14-18]、高次諧波產生[19-22]、新型γ光源[23,24]、準靜態自生磁場[25-28]、電子束結構調控[29,30]和參量不穩定性[31-33]等研究中取得了豐富的成果.

電磁波在等離子體中的傳播是激光等離子體領域長期關心的課題之一,其與輻射源產生、粒子加速及慣性約束聚變等研究密切相關.和傳統高斯光不同,渦旋光由于具有中空的振幅及螺旋相位,其在等離子體中傳播會導致新的現象產生.鞠立寶等[34]基于非線性薛定諤方程,研究了相對論渦旋光在等離子體中傳播時的成絲過程,發現和高斯光相比,渦旋光的傳播更加穩健,并且成絲過程更加可控.范海玲等[35]研究了渦旋光束在等離子體中傳播時的自聚焦及成絲過程,和高斯光相比,在相同等離子體參數及激光參數(波長、功率)下,發現渦旋光具有更高的不穩定性產生閾值.

我們注意到,當前渦旋光在等離子體中傳播的研究工作主要集中在自聚焦和成絲方面,但在成絲發生之前,電磁波在傳播過程中自身結構的變化卻鮮有人關注.本文重點研究了在成絲發生前,弱相對論渦旋光在等離子體中傳播時,傳播過程對電磁波結構的影響.三維粒子模擬結果表明,弱相對論渦旋光在等離子體中傳播時會發生波前畸變.在給定等離子體密度的情況下,畸變程度與電磁波強度及傳播距離密切相關.基于相位修正模型,通過考慮電子相對論質量修正,在理論上對該畸變現象進行了解釋.通過設置具有初始密度分布的等離子體,可以對波前畸變進行補償抑制.三維粒子模擬驗證了該補償方案的可行性及相位修正模型的準確性.進一步研究了渦旋光在軸向磁化等離子體中的傳播過程,發現相位修正模型同樣能夠很好地解釋波前畸變的發生.

2 波前畸變的模擬及其物理模型

2.1 波前畸變

沿x方向傳播的電磁波可以表示為E/E0=aU(r,θ,x)exp(ik0x-iωt)e⊥,式中ω為電磁 波的角頻率;k0為電磁波在真空中的波數;E0=meωc/e;me為電子質量,e為基本電荷,c為真空中的光速;a為無量綱的激光振幅;θ=arctan(z/y) ;e⊥為表示電磁波偏振的單位矢量,對于線偏振有e⊥=ey,對于圓偏振則有e⊥=表示右/左旋圓偏振;U為電磁波的復振幅,對于徑向模式為p=0 的LG模式渦旋光,在束腰處有復振幅[2]

式中l為角向拓撲荷數,Cl為使激光最大振幅|Ul|為1 的常數,w0為束腰半徑.可以看出,渦旋光在結構上有兩個重要特征:與方位角相關的螺旋相位和中空的振幅分布.

基于粒子模擬程序EPOCH[36],本文開展了一系列的三維數值模擬,以研究不同強度的LG 渦旋光在低密度等離子體中的傳播過程.在粒子模擬中,波長為λ=1 μm,束腰半徑為w0=10 μm 的不同強度的l=1 的右旋圓偏振(σx=1)渦旋光沿x方向入射到數密度為ne=6.27×1026m-3(對應于 0.56nc,其中nc=ε0meω2/e2為臨界密度)的均勻等離子體中.激光強度在5 個激光周期內達到最大值后保持不變.模擬區域設置為60 μm(x)×50 μm(y)×50 μm(z),對應的網格為 960×400×400,網格大小為 dx=λ/16,dy=dz=λ/8 .等離子體均勻分布在 5 μm＜x＜55 μm 的區域內,其中每個網格中放置了36 個粒子作為電子,離子設置為不動.電子初始溫度設置為 10 eV .

圖1 展示了在粒子模擬中t=400 fs (120 個激光周期)時,不同強度(a)的l=1,σx=1 模式的渦旋光在等離子體中傳播至不同距離處,電場Ey的分布.考慮到渦旋光具有相位 cos(kx-ωt+lθ),在給定x及t時,激光電場的大小及方向將隨方位角θ變化而變化.對于模式為l=1 的渦旋光,如圖1所示,其電場分布將呈現兩瓣狀結構.當激光強度較低(a=0.01)時,如圖1(a)—(d)所示,受相位及方位角θ影響,在不同x處,電場會在空間發生旋轉,但其結構特征基本不隨傳播而發生變化.當光強增強(a=0.1)時,隨著傳播距離的增加,如圖1(e)—(h)所示,初始方向相反的區域開始相互滲透,電磁波的波前開始逐漸產生畸變.當光強進一步增強(a=0.2)時,如圖1(i)—(l)所示,電磁波的波面畸變將更加明顯.隨著傳播距離的增加,電磁波的波前將會進一步表現出成絲的特征.

圖1 三維粒子模擬中,在不同光強(a)—(d) a=0.01,(e)—(h) a=0.1,(i)—(l) a=0.2 下,模式為 l=1,σx=1 的圓偏振渦旋光在等離子中傳播至不同距離(a)(e)(i) x=5 μm,(b)(f)(j) x=10 μm,(c)(g)(k) x=15 μm,(d)(h)(l) x=20 μm 處,對應的電場Ey分布Fig.1.Transverse distributions of electric fields Ey obtained by three-dimensional (3D) particle-in-cell (PIC) simulations for different laser intensities (a)-(d) a=0.01,(e)-(h) a=0.1,(i)-(l) a=0.2,when a circularly polarized vortex light beam with l=1,σx=1 propagates in the plasma over different distances (a)(e)(i) x=5 μm,(b)(f)(j) x=10 μm,(c)(g)(k) x=15 μm,(d)(h)(l) x=20 μm .

此外還研究了 強度為a=0.2,模式為l=1,σx=1的圓偏振渦旋光在不同密度等離子體中傳播至不同距離處,電場Ey分布的對比(見附錄A).粒子模擬的結果表明,在傳播相同距離時,等離子體密度越高,相應的波前畸變越明顯.弱相對論渦旋光在等離子體中傳播時所表現出的上述波前畸變特征與高斯光的情況極其不同,其產生機制及過程值得進一步研究.

2.2 物理模型

考慮到電場Ey可能包含非激光頻率的成分,首先分析上述模擬中的波前畸變是否受高次諧波的影響.激光在低密度等離子體中傳播時,根據相關高次諧波理論[37,38],以產生的三階高次諧波為例,其功率滿足

其中ωp為電子等離子體頻率.在上述模擬中,典型的等離子體參數及激光參數分別為ωp/ω=0.75和a=0.2 .根據(2)式有P3/P1≈10-7,這意味著上述模擬中的高次諧波產生效率非常低,對波前畸變的影響可以忽略.圖2 展示了在上述粒子模擬中,強度為a=0.2的l=1,σx=1 模式的圓偏振渦旋光在等離子體中傳播時,電場Ey在激光傳播方向上k空間的頻譜分布.可以發現,主要存在與激光頻率對應的波數k≈0.66k0,高次諧波及低頻電磁場的影響可以忽略.在接下來的分析中,只需考慮電磁波在等離子體中的傳播問題.

圖2 在粒子 模擬中,強度為 a=0.2的l=1,σx=1 模式的圓偏振渦旋光在密度為 ne=0.56nc 的等離子體中傳播時,電場 Ey 在沿傳播方向上k 空間的頻譜分布Fig.2.Distribution of electric field Ey in k-space along the propagation direction obtained by 3D PIC simulations when a l=1,σx=1 circularly polarized vortex light beam with a=0.2 propagates in a plasma with a density of ne=0.56nc .

電磁波在低密度等離子體中傳播時,其矢勢A滿足方程[37,39]

式中γ為洛倫茲因子.原則上可以通過詳細分析該方程來研究電磁波在等離子體中的傳播和波前畸變.然而考慮到電子密度ne及洛倫茲因子γ與矢勢A密切相關,方程(3)右側為非線性項,進行嚴格的理論分析會變得相當復雜.為了簡化問題,并更加直觀地理解相關的物理機制,本文考慮采用一個相對簡單的相位修正模型.

相位修正模型主要基于電磁波在等離子體中傳播的色散關系.對于非磁化等離子體,考慮弱相對論電子質量修正后,有色散關系[37]

式中N為折射率.注意到,對于給定波長的電磁波,其在等離子體中傳播的折射率主要受兩個因素影響:一是洛倫茲因子γ,由電子相對論質量修正引入;二是電子密度ne,與激光有質動力有關.通常而言,電磁波的光強具有柱對稱位型,γ及ne隨半徑r變化而變化,進而導致折射率N(r) 與半徑r密切相關.當電磁波在等離子體中傳播一段距離后,不均勻的折射率分布N(r) 會在激光波前上引入與半徑r相關的相位Φ(r),這將顯著影響電磁波的結構.因此忽略折射率N(r) 對激光的聚焦或發散作用,僅關注它對激光波前相位的影響.基于此相位修正模型,分別討論洛倫茲因子γ和電子密度ne分布對電磁波波前的影響.

首先分析洛倫茲因子γ,即電子相對論質量修正,對電磁波波前的影響.對于圓偏振電磁波,有考慮弱相對論電磁波(a＜1),折射率可近似為

由于渦旋光具有中空的光強分布 |E|2,根據(5)式,可以近似認為相對論電子質量修正導致了一個環形透鏡的產生.基于相位修正模型,忽略其他傳播效應,那么l=1 模式的渦旋光在等離子體中傳播了距離L后有復振幅:

與l=1 的LG 光的基本形式相比,多出了一相位項N(r)k0L.基于(6)式,并結合粒子模擬中的參數,如圖3 所示,在理論上計算了當考慮電子相對論質量修正后,渦旋光在等離子體中傳播至不同距離處的電場Ey分布.可以發現,隨著傳播距離的增加,電磁波的波前畸變逐漸增強.和圖1(i)—(l)相比,兩者在形貌特征上符合得非常好.這表明電子相對論質量修正是影響上述粒子模擬中波前畸變的一個關鍵因素.

圖3 基于相位修正模型,考慮相對論電子質量修正效應時,強度為 a=0.2的l=1,σx=1 模式的圓偏振渦旋光在等離子體中傳播至不同距離處 的電場 Ey 分布 (a) x=5 μm ;(b) x=10 μm ;(c) x=15 μm ;(d)x=20 μmFig.3.Transverse distributions of electric fields Ey obtained by the phase-correction model taking into account the relativistic electron mass effect when a l=1,σx=1 circularly polarized vortex light beam with a=0.2 propagating in the plasma over different distances:(a) x=5 μm ;(b) x=10 μm ;(c) x=15 μm ;(d) x=20 μm .

進一步考慮電子密度ne分布,即激光有質動力對電磁波波前的影響.當等離子體中電子感受到的激光有質動力與電荷分離力平衡時,有電子密度分布[37,40]

式中n0為初始電子數密度.可以看出,在激光有質動力作用下,電子密度ne隨半徑r變化而變化,使得折射率N(r)與r相關,從而可能導致波前畸變的發生.結合(4)式,忽略洛倫茲因子γ,基于相位修正模型,圖4 展示了僅考慮激光有質動力效應時,強度為a=0.2的l=1,σx=1 模式的 圓偏振渦旋光在等離子體中傳播至不同距離處的電場Ey分布.與圖3 相比,激光的波前基本上未發生畸變.這意味著在上述粒子模擬的參數范圍內,激光有質動力效應對波前畸變的影響基本可以忽略.

圖4 基于相位修正模型,考慮激光有質動力效應時,強度為 a=0.2的l=1,σx=1 模式的圓偏振渦旋光在等離子體中傳播至不同距離處的電場 Ey 分布 (a) x=5 μm ;(b) x=10 μm ;(c) x=15 μm ;(d) x=20 μmFig.4.Transverse distributions of electric fields Ey obtained by the phase-correction model considering the laser ponderomotive force effect when a l=1,σx=1 circularly polarized vortex light beam with a=0.2 propagating in the plasma over different distances:(a) x=5 μm ;(b) x=10 μm ;(c) x=15 μm ;(d) x=20 μm .

基于相位修正模型,分別研究了相對論電子質量修正和激光有質動力效應對電磁波在等離子體中傳播的影響.結果表明,在上述粒子模擬的參數范圍內,波前畸變現象主要由電子相對論質量修正引起,激光有質動力的影響基本上可以忽略.

為了進一步驗證上述相位修正模型理論結果的正確性,本文開展了相關的粒子模擬.根據(4)式,如果等離子體折射率N與半徑r無關,波前畸變將不會發生.如果設置等離子體具有初始密度分布n(r)=niniγ=nini根據(4)式,折射率N為常數,波前畸變將被抑制.其中nini=0.56nc.圖5 展示了在粒子模擬中t=400 fs 時,強度為a=0.2的p=0,l=1,σx=1 模式的 圓偏振渦旋光在上述具有密度分布n(r) 的等離子體中傳播至不同距離處,電場Ey的分布.對比圖1(i)—(l)可以發現,通過預設具有密度分布的等離子體對電磁波的相位進行補償,可以很好地抑制波前畸變的產生.這些結果說明在上述粒子模擬的參數范圍內,相對論電子質量修正是波前畸變出現的主要原因,驗 證了相位修正模型的合理性與可靠性.

圖5 在三維粒子模擬中,強度為 a=0.2的l=1,σx=1 的圓偏振渦旋光在預設密度分布為n(r)=nini ( nini=0.56nc )的等離子體中傳播至不同距離處,電場 Ey 分布 (a) x=5 μm ;(b) x=10 μm ;(c) x=15 μm ;(d) x=20 μmFig.5.Transverse distributions of electric fields Ey obtained by 3D PIC simulation when a l=1,σx=1 circularly polarized vortex light beam with a=0.2 propagating in a plasma with a predetermined density distribution of n(r)=over different distances:(a) x=5 μm ;(b) x=10 μm ;(c) x=15 μm ;(d) x=20 μm,where nini=0.56nc .

3 分析與討論

3.1 模式分解

弱相對論渦旋光在傳播過程中的波前畸變具有明顯的結構特征,這對應著高階LG 模式.為了加深對波前畸變過程的理解,對與圖1(l)及圖3(d)所示電場Ey分布對應的波前復振幅進行LG 模式分解[10]:

式中,LGl,p表示角向及徑向拓撲荷數分別為l及p的LG模式為相應LG模式的系數,上標 * 表示復共軛.其中不同LG 模式的束腰半徑w0和入射激光的束腰半徑一致.記其中al,p表示不同LG 模式的能量占比.保留能量占比al,p最高的前5 種LG 模式.與圖1(l)對應的粒子模擬的結果為

與圖3(d)對應的理論模型結果為

圖6 展示了相應的模式分解結果.圖6(a)為不同l模式的能量占比,其中粒子模擬和理論模擬的LG 模式分解結果都表明,電磁波在傳播過程中并未引入其他角向拓撲荷數l的LG 模式,波前畸變主要是由高階p的LG 模式引起的.該結果可以在理論上基于相位修正模型進行定性解釋.考慮到激光具有柱對稱的光強分布,根據(5)式,由相對論效應引入的相位N(r)k0L具有柱對稱分布,并未引入新的角向不對稱性,這意味著不會有其他的l模式產生.

圖6 強度為a=0.2的l=1,σx=1 的圓偏振渦旋光在等離子 體中傳播至 x=20 μm 處,對波前 復振幅進行LG模式分解的結果 (a)不同l 模式 的能量占比分 布;(b) l=1 的不同p 模式的能量占比分布.圖中橙色表示與圖1(l)對應的粒子模擬結果,藍色表示與圖3(d)對應的理論結果Fig.6.The results of LG mode decomposition of wavefront for a l=1,σx=1 circularly polarized vortex light beam with a=0.2 propagating in a plasma to a distance of x=20μm:(a) Dstribution of (b) distribution of different p modes for l=1 .The orange and blue colors in the figure indicate the results corresponding to Fig.1(l) and Fig.3(d),respectively.

值得注意的是,如圖6(b)所示,盡管相位修正模型給出了與粒子模擬相似的結果,但定量上很難做到完全一致.這主要是由于在相位修正模型中,忽略了諸如電磁波的衍射折射等效應.作為簡化的理論模型,其主要適用于相應物理過程的半定量分析,嚴格的定量分析仍需從傳播方程(3)出發.

3.2 線偏振渦旋光

在上述研究中,主要關注了圓偏振渦旋光在等離子體中傳播時的波前畸變情況.然而,不同于電子在圓偏振電磁波中運動時的洛倫茲因子γ=為常數,根據單粒子理論[37],電子在線偏振電磁波中運動的洛倫茲因子會存在振蕩項.這使得在分析相對論效應時,需要對洛倫茲因子γ做額外的考慮.對于弱相對論線偏振電磁波,忽略振蕩項,近似有零頻項γ0≈1+|E|2/.基于相位修正模型,本文同樣通過預設具有初始密度分布n(r) 的等離子體對電磁波的相位進行補償.圖7(e)—(h)展示了粒子模擬中強度為a=0.2的l=1,p=0模式的線偏振渦旋光,在具有初始密度分布n(r)=niniγ0的等離子體中傳播至不同距離處,電場Ey的分布.對比圖7(a)—(d)中在均勻密度等離子體中傳播的結果,可以看出波前畸變同樣得到了比較好的抑制.

圖7 在三維粒子模擬中,強度為 =0.2的l=1,p=0 的線偏振渦旋光在(a)—(d)均勻密度等離子體及(e)—(h)預設密度分布n(r) 等離子中傳播至不同距離處的電場 Ey 分布 (a)(e) x=5 μm ;(b)(f) x=10 μm ;(c)(g) x=15 μm ;(d)(h) x=20 μmFig.7.Transverse distributions of electric fields Ey obtained by 3D PIC simulations when a l=1,p=0 linearly polarized vortex light beam with =0.2 propagating in (a)-(d) uniform plasmas and (e)-(h) plasmas with a predetermined density distribution n(r) over different distances:(a)(e) x=5 μm ;(b)(f) x=10 μm ;(c)(g) x=15 μm ;(d)(h) x=20 μm .

3.3 軸向磁化等離子體中的波前畸變

此外本文還研究了圓偏振渦旋光在軸向磁化等離子體中的傳播過程.圖8(a)—(d)展示了強度為a=0.2 的模式為l=1,p=0,σx=1的圓偏振渦旋光在均勻軸向磁化等離子體中傳播至不同位置處,電場Ey分布.其中磁場強度為B0=1000 T .可以發現,渦旋光在傳播過程中發生了顯著的波前畸變,并且在x=20 μm 處出現了成絲.基于相位修正模型,同樣可以對該波前畸變進行補償抑制.

考慮弱相對論電子質量修正,右旋(σx=1)圓偏振電磁波在沿軸磁化的等離子體中傳播時有色 散關系:

式中ωce=eBx/me.通過設置ne=γnini,Bx=γB0,可以得到折射率N為常數,進而可以實現對波前畸變的抑制.然而需要注意的是,此時電子在上述電磁場中運動的洛倫茲因子與非磁化的情況有所不同,在弱相對論情況下近似有γ≈圖8(e)—(h)展 示了強度為a=0.2的l=1,σx=1 圓偏振渦旋光在預設電子密度及磁場的磁化等離子體中傳播至不同距離處,電場Ey的分布.可以看出,波前畸變得到了比較好的抑制.

值得注意的是,無論是對于無磁化等離子體還是磁化等離子體,渦旋光在其中傳播時,波前畸變是成絲前必然發生的過程.通過預設密度梯度對波前畸變進行補償抑制的同時,可以減緩成絲的發生.

3.4 激光有質動力的影響

在上述粒子模擬中,由于考慮的是弱相對論強度的渦旋光,激光有質動力對電子密度的影響較弱,因而密度分布對波前畸變的影響可以忽略.然而當激光強度較強(a＞1)時,根據(7)式,激光有質動力會顯著改變電子密度的分布,從而導致波前畸變的發生.另一方面,在上述粒子模擬中,并未考慮離子的運動.當激光在等離子體中傳播的特征時間尺度小于為離子等離子體頻率)時,這是合適的.然而當傳播的特征時間尺度遠大于時,激光有質動力引起的電荷分離場對離子的作用不可忽略,其會導致等離子體密度的不斷堆積,形成具有明顯密度調制的等離子通道.此時渦旋光的波前不可避免地會受到等離子體密度的影響,導致波前畸變以及自聚焦的發生.

4 結論

基于三維粒子模擬,發現了弱相對論渦旋光在初始均勻密度等離子體中傳播時,會發生波前畸變,并且在給定等離子體密度時,畸變的程度與激光強度及傳播距離密切相關.基于簡化相位修正模型,通過考慮電子相對論質量修正,在理論上對該現象進行了解釋,同時指出可以通過適當的初始密度調制對波前畸變進行補償抑制.三維粒子模擬驗證了該簡化理論模型的準確性及補償方案的可行性.對波前復振幅進行LG 模式分解的結果表明,波前畸變主要是由高階p的LG 模式引起,與其他l的LG 模式無關.本文工作加深了強渦旋光與等離子體相互作用的認識,并為進一步設計作用于強渦旋光的等離子體器件提供了參考.

附錄A

圖A1 展示了強度為a=0.2,模式為l=1,σx=1 的圓偏振渦旋光在不同密度等離子體中傳播至不同距離處,電場Ey分布的對比.可以發現,在傳播相同距離時,等離子體密度越高,相應的波前畸變越明顯.