恒頻聲學二極管的設計及特性研究*

王穎 郭翔鷹? 楊曉東

(1. 北京工業大學 材料與制造學部,北京 100124)

(2. 機械結構非線性振動與強度北京市重點實驗室,北京 100124)

引言

二極管是一種單向非互易的能量傳輸途徑,在電子學中發揮著關鍵作用[1,2].近年來,該概念已擴展到熱傳導和彈性波操縱[3].

聲二極管是一種允許聲波或彈性波沿一個方向移動而反方向不通過的裝置.這種單向聲流可以消除聲波同時向兩個方向傳播并相互干擾所引起的聲干擾,從而提供更明亮、清晰的超聲波圖像.由于這種單向聲流可以提供更明亮、清晰的超聲波圖像,它為設計師在聲子晶體的制造和材料檢測[4,5]中的應用提供了新的靈感.

目前,實現聲波非互易性的方法被廣泛研究[6-8].Liang于2009年提出了聲二極管的第一個理論模型[9],但是此模型是基于線性結構的聲二極管,遵循線性系統的互易原理[10],在嚴格意義上不被認定為二極管.學者們研究證明非線性可以通過兩種方式提供穩定的二極管效應:諧波產生和分岔[11-14].在由一段非線性介質和線性聲子晶體組成的聲學二極管中,非線性介質中產生高次諧波[15],聲子晶體的帶隙導致總能量的不對稱傳遞[11,16].但是這種聲二極管會導致輸出與輸入信號相比發生頻率變化,從而導致信號丟失以及正向傳輸率較低.

大部分基于非線性效應的聲二極管都改變了頻率.目前面臨的問題是如何利用非線性效應,在不改變入射波方向和頻率的情況下實現聲波整流.在本文中提出了一種不同的理論模型,該模型的顯著特點是在不改變入射波頻率的情況下實現單向能量傳輸.

1 單原子聲二極管

1.1 理論模型

如圖1所示設計單原子聲二極管,其理論模型由兩部分組成:右側弱非線性彈簧質量鏈和左側變截面桿.由于結構的不對稱性,當在結構的左右兩端施加相同的激勵時,入射到非線性彈簧質量鏈的振幅變得不同.而弱非線性聲子晶體的色散關系會受到入射振幅的影響,振幅增大到一定值頻率處于通帶范圍,否則處于帶隙范圍.因此,如果激勵具有適當的頻率和幅值,就可以通過結構的不對稱性改變聲子晶體正反方向受到的激勵幅值,使非線性聲子晶體正反向傳輸的帶隙范圍不同,從而實現不對稱傳遞,實現彈性波的單向傳輸.下面的分析將給出詳細的理論結果.

圖1 單原子聲二極管理論模型Fig.1 Theoretical model of a single-atom acoustic diode

1.2 非線性彈簧質量鏈

模型中的彈簧質量鏈由質量為m的質量塊和非線性軟彈簧周期性排列組成,其中彈簧具有式(1)所示的非線性力-位移關系:

F=kx+Γx3

(1)

其中Γ為負值.采用攝動方法[17]來求解非線性方程,引入擾動參數ε到式(1)可得:

F=kx+εΓx3

(2)

(3)

(4a)

(4b)

在弱非線性鏈中,只需要考慮ε0和ε1項,代入方程(3)得到ε0和ε1的獨立方程分別為:

(5a)

(5b)

可以發現,式(5a)是與線性彈簧-質量鏈周期系統相同的,由布洛赫定理可得:

(6)

式(6)代入式(5a)可得:

(7)

(8)

將式(7)、式(8)代入式(4b)可得到非線性彈簧-質量鏈周期系統的色散方程:

(9)

得到非線性周期鏈中帶隙形成的頻率隨著入射振幅增加而減小,圖2為不同入射振幅下的波色散曲線.

圖2 不同振幅的色散曲線Fig.2 Dispersion curves for the different amplitudes

1.3 變幅桿

圖3 圓錐型變幅桿Fig.3 Conical variable amplitude rod

桿的物理參數包括:密度ρ、彈性模量E和圓頻率ω,則可得到變幅桿的動力學方程如下:

(10)

(11)

頻率方程:

(12)

其中,N為桿兩端的直徑比,N=D1/D2.

錐形變幅桿的長度L通過式(13)得到:

(13)

其放大因子為

(14)

式(14)得出了設計不同振幅放大率的變幅桿的方法,以非線性周期鏈帶隙的起始頻率作為入射頻率,并根據所需的入射頻率設計直徑比N,再由式(13)對變振幅桿長度L進行設計.因此,當激勵具有適當的頻率和振幅時,就可以實現彈性波的單向傳輸.下面通過有限元仿真驗證理論計算.

1.4 仿真結果

基于式(9)對模型進行參數設計,選擇以下參數,求得彈簧質量鏈的帶隙范圍.

m=2kg,k=2*106N/m,r=3cm,h=9cm.

由于4～8cm的入射振幅對設計模型的帶隙起始頻率有顯著影響(如圖4所示),因此在接下來的仿真中選擇4cm和8cm作為帶隙起始頻率.即正向傳輸通過彈簧質量鏈的入射振幅為4cm,反向傳輸通過彈簧質量鏈的入射振幅8cm.根據求得的帶隙范圍對模型進行瞬態仿真,使用Ansys軟件測量正反向傳輸的第一個和第九個質量塊的位移,多組頻率仿真發現系統上設置1840 rad/s的正弦激勵效果最好.

圖4 振幅對帶隙起始頻率的影響Fig.4 Effect of the amplitude on the onset frequency of the band gap

通過公式計算得到變幅桿的參數如下:

m=2kg,ρ=7850kg/m3,

D1=4cm,D2=2cm,L=8.7cm.

聲學二極管模型的正反向傳輸如圖5所示,灰線和紅線分別是第一質量和第九質量的位移.發現圖5(a)中的正向傳輸速率約為28%,而圖5(b)中的反向傳輸率很低,僅有5%.引入對比度f如下:

(15)

(a)正向傳輸

可以看出對比度的范圍為f∈[0,1],對比度趨于1時,整流效果最佳.由式(15)以及圖5中的數據可求得對比度為0.7,達到了聲學二極管模型的非互易性.這是由于變幅桿放大了振幅,改變了反向傳輸的色散關系,導致反向傳輸時頻率處于非線性彈簧質量塊的帶隙頻率范圍內.

2 雙原子聲二極管

2.1 理論模型

單原子聲二極管的帶隙起始頻率較高,應用范圍較窄,因此進行雙原子聲二極管的研究.雙原子聲二極管理論模型如圖6所示.

圖6 雙原子聲二極管理論模型Fig.6 Theoretical model of a two-atom acoustic diode

2.2 非線性彈簧質量鏈

右端的彈簧質量鏈由質量m、M和非線性彈簧周期性排列組成.和1.2節的單原子彈簧質量鏈一樣,可由牛頓第二定律寫出運動方程:

u2n-1)3+εΓ(u2n-u2n+1)3=0

(16a)

u2n)3+εΓ(u2n+1-u2n+2)3=0

(16b)

由布洛赫定理,設線性部分的解為:

u2n=Acos[κd(2n)-ωt]

(17a)

u2n+1=Bcos[κd(2n+1)-ωt]

(17b)

則可求得線性部分色散關系:

(18)

(19)

從而可求得

η2cos2kd]

(20)

繪制如圖7所示的色散曲線,發現和非線性單原子周期鏈一樣,非線性雙原子周期鏈帶隙的起始和終止頻率隨著入射振幅的增加而減小.

圖7 雙原子模型的色散曲線Fig.7 Dispersion curve of diatomic model

2.3 仿真結果

變幅桿在本模型和上面單原子聲二極管模型中起到的作用是完全一樣的,其理論推導見1.3節.進行仿真模擬的步驟是和1.4節一樣的,在此不做贅述.選擇以下參數:

ρ=7850kg/m3,d=25cm,

M=2kg,R=3cm,H=9cm,

m=1kg,r=2.5cm,h=6.5cm.

通過計算發現此模型4cm～8cm的入射振幅帶隙起始頻率有顯著影響,因此在接下來的仿真中選擇4cm和8cm作為帶隙起始頻率.即正向傳輸通過彈簧質量鏈的入射振幅為4cm,反向傳輸通過彈簧質量鏈的入射振幅為8cm.使用多組頻率仿真后發現系統設置頻率為1260 rad/s的正弦激勵效果最好.通過公式計算變幅桿的參數如下:

m=2kg,ρ=7850kg/m3,

D1=4cm,D2=2cm,L=8.7cm.

得到聲學二極管模型正反向傳輸如圖8所示.可以看出,圖8(a)中的正向傳輸速率約為17%,而圖8(b)中的反向傳輸率很低,僅有4%.由式(15)以及圖8中的數據可求得對比度為0.62,雙原子模型也達到了聲學二極管模型的非互易性.

(a)正向傳輸

3 結論

本文建立了兩種聲學二極管的動力學模型,通過理論和數值研究了兩種模型在不同外激勵參數下的正反向傳輸特性.主要結論如下:

(1) 兩種模型都能實現彈性波不變頻的單向傳輸,并且具有與電子二極管相同的正向和反向特性.

(2) 非線性單原子模型色散關系受到入射振幅的影響較大,正向傳輸率較高.但帶隙起始頻率高,聲學二極管的應用范圍窄.

(3) 非線性雙原子模型的工作頻率較低,但入射振幅對其色散關系的影響較小,導致能夠達到正向傳輸通過反向傳輸被抑制的頻段很窄,故難以選取適當工作頻率且適當工作頻率的正向傳輸率也較低.