隨機激勵作用下船舶橫搖運動的奇異非混沌動力學*

何智超 樂源 李高磊 劉潤

(西南交通大學力學與航空航天學院,成都 611756)

引言

當船舶在波浪上航行時,在波浪的作用下可能產生圍繞其原始平衡位置做6個自由度的搖蕩運動,分別為縱蕩、橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖以及首搖[1].在上述運動方式中,尤其以橫搖運動造成的危害最大,輕則造成大量的財產損失,重則影響船舶設備正常運行,導致船舶傾覆,威脅船舶及船員的安全.因此,船舶的橫搖運動狀態一直是學者研究的重點之一.Nayfeh[2]利用多尺度法求解了單自由度船舶橫搖運動微分方程的二階近似解,并利用Floquet理論確定了不同參數域下穩態解的存在區間.趙文浩等[3]研究了船舶系統存在的多穩態現象,引入間歇控制方法將系統的運動軌跡控制到期望的周期軌道上.袁遠等[4]利用分岔分析方法對規則橫浪中船舶橫搖運動的穩定性進行了分析,提出了船舶奇異傾覆的概念,驗證了周期倍化分岔是船舶傾覆的機理之一.劉利琴等[5]運用Melnikov函數和路徑積分法研究了隨機橫浪中船舶的混沌運動特性和發生混沌運動的臨界參數條件,發現當系統作用有幅值較大的白噪聲激勵時,船舶響應存在兩種情況,并會在這兩種狀態間隨機跳躍,導致船舶發生傾覆.胡開業等[6]用一種有界隨機噪聲模型模擬船舶在隨機橫浪中所受的外激勵,運用隨機Melinikov方法對船舶在隨機橫浪中的全局穩定性進行了分析,得到了船舶穩定橫搖運動的噪聲激勵幅值區間.D Deleanu等[7]研究了隨機橫浪作用下船舶橫搖安全池隨參數變化的演變情況,當隨機激勵幅值增大時,安全池內部和外部均會受到侵蝕,并且通過對比發現舭龍骨能夠有效防止船舶發生傾覆.Liu等[8]考慮船舶同時受風荷載和隨機波浪荷載的作用,利用離散傅里葉方法對船舶橫搖運動的穩定性進行了分析,通過數值模擬發現風荷載會導致原先對稱的異宿軌道喪失對稱性,同時風荷載幅值的增大會使得橫搖運動的安全池快速收縮.關于船舶系統在隨機激勵下的奇異非混沌動力學特性,目前尚無相關研究.

奇異非混沌吸引子(strange nonchaotic attractors,SNAs)是奇異但非混沌的吸引集,在動力學中,這些吸引子被認為是介于規則性與混沌性之間的過渡,在這種轉變中,“奇異”出現在“混沌”之前.“奇異”指的是在相平面上動力學變量的關系是非光滑的,具有幾何結構上的分形;“非混沌”指的是吸引子不敏感依賴于系統的初始條件,即最大李雅普諾夫指數為負數,這也是SNAs不同于混沌吸引子的地方之一.研究表明,SNA不是在一些特殊參數值上存在的退化現象,而是在擬周期激勵系統中普遍存在的一種獨立于混沌和周期之外的新型運動狀態[9].自Grebogi等[10]于1984年首次揭示了SNAs的存在性以來,人們意識到“奇異”并非等價于“混沌”,并通過理論分析和數值模擬對各類非線性動力系統產生的SNAs進行了廣泛的研究.目前,奇異非混沌吸引子已經成為非線性動力學領域重要的研究內容之一.

Ding等[11]等從數值和解析的角度證實了SNAs在擬周期系統中的存在,并舉例說明了在典型的擬周期系統中可能出現的多種動力學行為.Lindner等[12]等利用開普勒太空望遠鏡記錄了天琴座內一些恒星的亮度在主頻率和次頻率上波動的光線曲線,這兩種頻率的比率接近于黃金分割值,而由次頻率驅動的非線性動力系統通常存在SNAs,這是實驗室外首次證實SNAs的存在.Khovanov等[13]研究了隨機激勵對擬周期激勵下Duffing振子運動特性的影響,利用頻閃截面法和局部最大李雅普諾夫指數驗證了系統在隨機激勵作用下吸引子的奇異性與非混沌性.Wang等[14]發現SNAs除了在擬周期激勵系統中存在以外,自治系統以及周期激勵系統在隨機激勵擾動下也會產生SNAs,并通過功率譜,奇異連續譜,分形圖等工具進行了驗證.Aravindh等[15]研究了受周期激勵的Duffing振子不同周期窗口在隨機激勵擾動下周期吸引子的演變情況,從數值上證明了在周期窗口的末端混沌鞍和周期軌道共存.曾青等[16]考慮了一類擬周期激勵的分段非線性軋機輥系系統,用有理數逼近無理數和相敏感函數刻畫其奇異性,通過數值結果發現有三種路徑可以演變成奇異非混沌吸引子,即分形路徑、陣發路徑和Heagy-Hammel路徑.Li等[17]將隨機激勵作用在一類單自由度分段線性系統上,發現隨機激勵同樣可以誘導該系統的周期吸引子演變成SNAs,并揭示了SNAs的演變過程.此外,在邊界激變附近的周期三吸引子也可以在隨機激勵擾動下演變成SNAs,利用相圖闡明了該SNAs具有陣發性.

考慮到實際海況,船舶在航行的過程往往除了受到波浪激勵的作用外,不可避免地還會受到隨機的風荷載.本文考慮一類單自由度的船舶橫搖系統,研究其在簡諧激勵和隨機激勵共同作用下的奇異非混沌動力學.通過數值模擬探究了不同周期吸引子在隨機激勵作用下演變成SNAs的具體過程.利用奇異連續譜和分形圖刻畫了吸引子的奇異性,利用最大李雅普諾夫指數驗證了非混沌性.

1 船舶非線性橫搖運動模型

當船舶在正橫規則波作用下,將產生橫搖運動.一般情況下,船舶發生橫搖運動時,其受到恢復力矩、阻尼力矩、慣性力矩以及波浪擾動力矩的作用.假設波長遠大于船長,并且附加轉動慣量為常數,根據達朗貝爾原理,船舶在正橫波作用下的運動微分方程可寫為[2]:

(1)

式中,I為轉動慣量,δI為附加轉動慣量,φ為絕對橫搖角,η為波傾角.

對于正橫波,η(t)可表示為:

η=FcosΩt

令相對橫搖角θ=φ-η,方程(1)可寫為:

(2)

加入隨機激勵,并重寫方程(2),得到正橫規則波與隨機激勵共同作用下船舶的橫搖運動方程:

fcosΩt+Dξ

(3)

2 刻畫吸引子的奇異性及非混沌性

2.1 最大李雅普諾夫指數

(4)

引入二維Poincaré映射

Π:Σ→Σ

Σ≡{(x,y,φ)∈R×R|φmod2π=0}

(5)

則映射方程寫為

xn+1=f1(xn,yn),yn+1=f2(xn,yn)

(6)

根據定義,李雅普諾夫指數可表示為[19]:

(7)

當最大李雅普諾夫指數為非正時,表明系統對初值沒有敏感依賴性,即具有非混沌性.此外,李雅普諾夫指數還能呈現相空間內軌道沿不同方向的拉伸或壓縮速率,當李雅普諾夫指數為正時,表明軌道在沿給定方向上以指數級別的速率拉伸,相反,當李雅普諾夫指數為負時,表明軌道在沿給定方向上以指數級別的速率壓縮.

2.2 奇異連續譜

在動力系統中,當系統的運動狀態是周期或擬周期時,功率譜是離散的,存在某些頻率的δ峰;當系統的運動狀態是混沌或隨機時,功率譜是連續的;當系統的運動狀態是奇異非混沌時,對應的功率譜呈現一種奇異連續的形態,介于離散和連續之間.

將系統的狀態變量x通過傅里葉變換離散,其部分和可表示為:

(8)

如果吸引子是奇異非混沌吸引子,X(ω,T)與T與存在以下冪律關系[20]:

|X(ω,T)|2～Tk

(9)

其中1

3 系統在無噪聲擾動下從周期倍化通向混沌

選取Wright等所研究的低干舷船模作為研究對象[21],其相關參數如表1所示

表1 低干舷船舶參數表

取波浪遭遇頻率Ω=8,以波傾角幅值F為分岔參數,考慮D=0情況下系統隨參數F變化的分岔圖,如圖1所示.當F=F1=1.0695時,通過打靶法得到系統相應的Floquet乘子,分別為λ1(F1)=-1.0和λ2(F1)=-0.237.當參數F經過F1時,一個Floquet乘子通過-1離開單位圓,且另一個特征乘子的模小于1,系統發生周期倍化分岔,原先的周期1吸引子演變為周期2吸引子.當F=F2=1.1049,系統相應的Floquet乘子分別為λ1(F2)=-1和λ2(F2)=-0.038,當參數F經過F2時,系統發生第二次周期倍化分岔,周期2吸引子演變為周期4吸引子.當F=F3=1.1116,系統相應的Floquet乘子分別為λ1(F3)=-1和λ2(F3)=-0.00135,系統發生第三次周期倍化,周期4吸引子演變為周期8吸引子.當F?[1.1133, 1.13]時,系統處于混沌狀態,其最大李雅普諾夫指數為正.系統最大李雅普諾夫指數隨參數F變化如圖2所示.由圖2可以看出,在周期倍化分岔的分岔點,最大李雅普諾夫指數會發生突變,逼近零的位置,但仍然保持為負數.在周期軌道窗口,混沌鞍(非吸引的混沌不變集)與周期吸引子共存,相軌線通常會沿著混沌鞍的穩定流形向混沌鞍運動,并在混沌鞍附近停留有限時間,之后沿著混沌鞍的不穩定流形向周期吸引子靠近.于是當外界沒有噪聲擾動作用時,在這些臨界點上,雖然存在著暫態混沌的現象,但最后的吸引子仍然是周期吸引子[14].

圖1 分岔圖Fig.1 The bifurcation diagram

圖2 隨F變化的最大李雅普諾夫指數Fig.2 The maximum Lyapunov exponent with F

當外界的噪聲作用不夠強時,不足以使周期吸引子的軌線擾動到混沌鞍的穩定流形上,這時吸引子仍然是一個近似的周期吸引子.只有當噪聲幅值D超過臨界值Dm時,原周期吸引子的相軌線才有可能被擾動到混沌鞍的穩定流形上,并在之后趨于混沌鞍.

4 噪聲擾動下吸引子的演變

分別以F=1.095,F=1.109,F=1.112為例,研究噪聲作用下不同周期吸引子的演變情況.當D=0,F=1.095時,系統處于周期2吸引子狀態,如圖3(a)所示.當噪聲強度D=0.0040時,吸引子失去光滑性并開始相互融合,如圖3(b)所示.當D=0.025時,原周期2吸引子完全失去光滑性并融合到一起,如圖3(c)所示;當D=0,F=1.109時,系統處于周期4吸引子狀態,如圖4(a)所示.當噪聲強度D增加到0.0019時,吸引子局部融合在一起,如圖4(b)所示.當D=0.0095時,吸引子完全融合在一起,如圖4(c)所示;當D=0,F=1.112時,系統處于周期8吸引子狀態,如圖5(a)所示.當噪聲強度增加到0.0002時,吸引子局部融合在一起,如圖5(b)所示.當D=0.0029時,吸引子完全融合在一起,如圖5(c)所示.

圖3 F=1.095時相平面(T,x)上的相圖Fig.3 The phase diagram in the (T,x) plane with F=1.095

圖4 F=1.109時相平面(T,x)上的相圖Fig.4 The phase diagram in the (T,x) plane with F=1.109

圖5 F=1.112時相平面(T,x)上的相圖Fig.5 The phase diagram in the (T,x) plane with F=1.112

5 噪聲擾動下的奇異非混沌動力學

5.1 噪聲作用下不同周期窗口的奇異非混沌吸引子

圖6 當F=1.095,D=0.025時,(a)在平面(xn,yn)上的相圖; (b)最大李雅普諾夫指數圖Fig.6 For F=1.095,D=0.025, (a) The phase diagram in the (xn,yn) plane; (b) The maximum Lyapunov exponent

圖7 當F=1.109,D=0.0095時,(a)在平面(xn,yn)上的相圖; (b)最大李雅普諾夫指數圖Fig.7 For F=1.109, D=0.0095, (a) The phase diagram in the (xn,yn) plane; (b) The maximum Lyapunov exponent

圖8 當F=1.112,D=0.0029時,(a)在平面(xn,yn)上的相圖; (b)最大李雅普諾夫指數圖Fig.8 For F=1.112, D=0.0029, (a) The phase diagram in the (xn,yn) plane; (b) The maximum Lyapunov exponent

5.2 奇異性刻畫

以下主要通過奇異連續譜方法和X(ω,T)在復平面上的分形圖來驗證吸引子的奇異性.當F=1.095,D=0.025時,吸引子是周期2吸引子,系統的奇異連續譜如圖9(a)所示,此時標度因子k=1.4877,處于1和2之間,滿足奇異非混沌存在的冪律比例.X(ω,T)在復平面(ReX,ImX)上的路徑圖像如圖9(b)所示,可以看出其具有明顯的分形結構,進一步說明了吸引子的奇異性.類似的,當吸引子是周期4吸引子以及周期8吸引子時,其奇異連續譜和分形圖分別如圖10(a)(b)、圖11(a)(b)所示.標度因子k分別為1.2753和1.5475,均滿足1

圖9 當F=1.095,D=0.025時,(a)奇異連續譜;(b)分形圖Fig.9 For F=1.095, D=0.025,(a) the singular continuous spectrum;(b)the fractual structure of trajectories in the complex (Re X,Im X) plane

圖10 當F=1.109,D=0.0095時,(a)奇異連續譜;(b)分形圖Fig.10 For F=1.109, D=0.0095,(a) the singular continuous spectrum; (b)the fractual structure of trajectories in the complex (Re X,Im X) plane

圖11 當F=1.112,D=0.0029時,(a)奇異連續譜;(b)分形圖Fig.11 For F=1.112,D=0.0029,(a) the singular continuous spectrum; (b)the fractual structure of trajectories in the complex (Re X, Im X) plane

6 遭遇頻率對系統響應的影響

分別取波浪遭遇頻率Ω=7.8以及Ω=8.2,考慮在無隨機激勵作用下系統隨波傾角幅值 的分岔行為,如圖12(a)(b)所示.當Ω=7.8時,系統在F=1.0663發生第一次周期倍化,同樣通過打靶法可以求出此時的Floquet乘子,分別為λ1=-1.0和λ2=-0.244.當F=1.0956時,Floquet乘子分別為λ1=-1.0和λ2=-0.041,代表系統發生第二次周期倍化.當F=1.1012時,Floquet乘子分別為λ1=-1.0和λ2=-0.002,系統發生第三次周期倍化,此時吸引子為周期8吸引子.對比波浪遭遇頻率Ω=8時發生三次周期倍化的波傾角幅值F1=1.0695、F2=1.1049、F3=1.1116,可以發現當波浪遭遇頻率Ω有所減小時,發生周期倍化的分岔點均有所前移.

圖12 分岔圖 (a) Ω=7.8;(b) Ω=8.2Fig.12 The bifurcation diagram (a) Ω=7.8;(b) Ω=8.2

圖13 當Ω=7.8,D=0.0185時,(a) 在平面(xn,yn)上的相圖 (b) 奇異連續譜Fig.13 For Ω=7.8,D=0.0185, (a) The phase diagram in the (xn,yn) plane; (b) The singular continuous spectrum

圖14 當Ω=8.2,D=0.0275時,(a) 在平面(xn,yn)上的相圖 (b) 奇異連續譜Fig.14 For Ω=8.2,D=0.0275, (a) The phase diagram in the (xn,yn) plane; (b) The singular continuous spectrum

當Ω時,系統在F=1.0737發生第一次周期倍化,此時的Floquet乘子分別為λ1=-1.0和λ2=-0.229.當F=1.1153時,系統發生第二次周期倍化,Floquet乘子分別為λ=-1.0和λ2=-0.034.當F=1.1233時,Floquet乘子分別為λ1=-1.0和λ2=-0.001,系統發生第三次周期倍化,此時吸引子演變為周期8吸引子.對比波浪遭遇頻率Ω=8時發生三次周期倍化的波傾角幅值,可以發現當波浪遭遇頻率Ω有所增大時,發生周期倍化的分岔點均有所后移.

固定參數F=1.095,此時系統均為周期2吸引子.當Ω=7.8,D=0.0185時,周期2吸引子演變為奇異非混沌吸引子,此時最大李雅普諾夫指數λmax=-0.0446,標度因子k=1.47,與Ω=8時產生奇異非混沌吸引子所需要的隨機激勵幅值相比有所降低.當Ω=8.2,D=0.0275時,周期2吸引子同樣演變為奇異非混沌吸引子,此時最大李雅普諾夫指數λmax=-0.33,標度因子k=1.6938,與Ω=8時產生奇異非混沌吸引子所需要的隨機激勵幅值相比有所增大.

7 結論

本文以一類單自由度船舶橫搖系統作為研究對象,考慮其在簡諧激勵和隨機激勵共同作用下不同周期窗口的動力學特性.運用最大李雅普諾夫指數、奇異連續譜、分形圖等工具,揭示了船舶橫搖系統中不同周期窗口所存在的奇異非混沌現象,研究結果如下:

1)除了擬周期激勵下的動力系統會產生奇異非混沌現象外,受周期激勵的動力系統在噪聲作用下也存在奇異非混沌現象.

2)在周期倍化通往混沌的過程中,周期吸引子在噪聲作用下會演變成奇異非混沌吸引子,狀態變量在龐加萊截面上的軌跡具有明顯的分形結構.隨著噪聲幅值的不斷增大,周期吸引子開始融合,首先演變成奇異非混沌吸引子,當幅值超過臨界值時,吸引子最終變成混沌吸引子.

3)在離混沌吸引子越遠的周期窗口需要越大的噪聲強度才可以誘導產生奇異非混沌吸引子.

本文的研究方法和結論可以為光滑連續動力系統中的奇異非混沌動力學理論提供思路,同時在工程上也可為船舶的設計和優化提供一定的理論支持.