一道橢圓聯考題的求解、溯源與改編

柏世豪

近年來，圓錐曲線問題的考查，計算量越來越大，無論是基于考運算還是思維，都體現了數學解題的綜合性與應用性. 我們在平時的解題教學中，應關注熱點問題的求解，學會挖掘題干的命題背景，多角度出發，達到簡化計算、強化思維的目標. 筆者基于一道高三聯考題的求解探究，進而進行改編調整，以期實現解題訓練的價值.

一、試題展示與解析

（1）求證：點R為線段PQ的中點；

（2）記△MPR、△MRN、△NRQ的面積分別為S1、S2、S3，試探究：是否存在實數λ使得λS2=S1+S3？若存在，求出實數λ的值；若不存在，請說明理由.

二、命題溯源與結論

除齊次化消元外，借助曲線系方程也可以簡化計算. 在本題的求解中，還存在極點極線、斜率之積為定值等常見應用.

追根溯源，在解構本題時，結合GeoGebra作圖過程，包含以下幾個方面：

1. 極點極線的應用拓展

2. 橢圓的第二定義

3. 對焦連線，互相垂直

橢圓左焦點弦端點M、N與右頂點A連線AM、AN交相應準線于點P、Q，則PF⊥QF.

通過GeoGebra軟件作圖時，關注到以PQ為直徑畫圓與焦點弦MN相切，進而從幾何特征上進行解題優化.

結論綜述與推廣：如圖1，橢圓左焦點弦端點M、N與右頂點A連線AM、AN交相應準線于點P、Q，則以PQ為直徑畫圓與焦點弦MN相切于焦點F；若記圓心為R，則RM、RN與橢圓相切，且RF⊥MN；若△RMN、

同理，如圖2在雙曲線中上述結論也成立.

三、試題切入與改編

以命題背景來看，本題的命題者花了很大的心思去研究試題的構成，但從實際檢測的結果來看，區分度不高，難以發揮其價值. 結合解題過程，筆者從如下幾個角度進行命題改編，進行再次創作.

從對焦連線、互相垂直入手，先引導學生證明垂直條件，進而啟發學生進行垂直關系的等價翻譯，得到以PQ為直徑的圓經過焦點F，再通過求證與焦點弦相切于F，若利用圓心到直線的距離等于半徑，即只需要證明PQ中點R與切點F連線與MN垂直即可.

從橢圓的準線出發，不考慮頂點，探討準線上一點（有范圍限制）與焦點弦連線所構成的三角形的面積范圍問題. 故結合雙曲線焦點三角形內切圓圓心軌跡為過雙曲線實頂點的兩條平行且垂直于實軸的開線段（長為2b），以極線極點為背景，從準線上一點S出發作橢圓的兩條切線SM、SN，借助切點弦過焦點F 且SF⊥MN刻畫三角形面積的取值范圍.

分別記為M、N，求△MNS的面積取值范圍.

從面積比值為定值出發，以過焦點且相互垂直的兩直線模型切入，通過準線上一動點畫圓與作垂線刻畫線段等量關系，本質還是考查橢圓的第二定義反映的幾何特性. 解題時也可從比值定值破題，借助特殊位置求解.

解題教學是高中數學能力提升的重要環節，在有限的探究中發揮典型問題的價值，既可提高學生學習數學的興趣，也能在能力培養上縱深挖掘. 在新高考改革的背景下，相對固化的試題形式在調整，試題的開放性越來越大，把握考試內容改革的方向與核心要求，在命題與解題上下苦功，以期實現“一題一課、多題一解”教學相長實效.

參考文獻

［1］聞杰. 神奇的圓錐曲線與解題秘訣［M］. 浙江大學出版社，2021.