窮根究底，“增解”何來？

賴呈杰 林景芳

在解三角形問題中，根據條件建立方程計算線段長度或角度時經常會產生“增解”問題.本文筆者以2023年全國新高考Ⅰ卷17為例，明晰“增解”來源，理清“舍根”方法，并提出避免產生“增解”的幾種策略，希望對讀者有所幫助.

1 問題起源

（2023年全國新高考Ⅰ卷17）已知在△ABC中，A+B=3C，2sin（A－C）=sinB．

（1）求sinA；（2）設AB=5，求AB邊上的高．

分析：第（1）小題考查三角恒等變換求三角函數值，第（2）小題可通過等面積法求AB邊上的高.即將問題轉化為“三角形中，已知兩個內角與一條邊，求其他邊長”.即求b.

可以發現，以上三種思路均采用余弦定理，思路2卻產生了增解.原因在哪里？如何舍去增解？已知“兩邊一對角”情形下，選擇哪個角使用余弦定理最佳？

2 為何有增解

2.1 “增解”的幾何解釋

2.2 “增解”的代數說明

已知a，c和角C，對角C使用余弦定理，并將其整理為關于b的一元二次方程b2－2abcosC+a2－c2=0（*）.判別式Δ=（2acosC）2－4（a2－c2），化簡得Δ=4（c2－a2sin2C）=4（c+asinC）（c－asinC），則

①若方程（*）有兩個不等的正數解，則該三角形有兩解；

②若方程（*）有一個正數解，則該三角形有一解；

③若方程（*）無解或只有負數解，則該三角形無解.

限于篇幅，僅證明①.

3 如何舍去增解

4 避免產生增解的策略

策略1 對較大角使用余弦定理

策略2 ?運用射影定理

策略3 運用正弦定理

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

解三角問題中，只要甄別好條件，運用余弦定理來辨析三角形解的個數也是可行的.由此，可幫助學生面對此類試題時做好決策，做到胸有成竹，事半功倍！