Isn-I-Fréchet-Urysohn 空間上的相關性質研究

胡星宇

（北京工業大學 理學部，北京 100124）

拓撲空間中的序列收斂是數學里面的一個基礎和重要的概念。此外序列的通常收斂、統計收斂、理想收斂甚至是G-收斂近些年吸引了大量學者的關注［1-3］。理想收斂是一種特殊的序列收斂，最早是在2000 年Kostyrko［4］首先對它進行了研究，通過使用正整數的理想子集的概念給出了統計收斂的兩個很有趣的一般化結論，把它命名為I 和I*-收斂，并且在度量空間中研究了I 和I*-收斂的一些性質。隨后在2004 年，Lahiri 等［5］在拓撲空間中討論了I 和I*-收斂的一些性質。通常情況下，拓撲空間的拓撲性質一般不由空間中的序列收斂決定，這導致了人們考慮網的收斂。2019 年，周先耕［6］介紹了被I-收斂決定性質的幾種不同類型的拓撲空間，并且研究了它們的性質。更多關于I 和I*-收斂的一些結論可以在文獻［7-14］中找到。在一般拓撲空間中，有許多由序列收斂定義的典型空間是第一可數空間，比方說Fréchet-Urysohn空間、序列空間［15-16］。在統計收斂和I-收斂的意義下，統計Fréchet-Urysohn空間和I-Fréchet-Urysohn空間、統計序列空間和I-序列空間在文獻［2，17-19］中被廣泛討論。近些年，理想收斂已經變成一般拓撲學和集合論上的一個熱點問題［11，20-22］。2021 年，林壽在文獻［23］的基礎上繼續研究理想收斂，在開集和I-開集之間給出了Isn-開集的概念，并且在此基礎上給出了I-領域空間、Isn-開拓撲空間、I-連續、Isn-連續、I-商映射、Isn-商映射的定義，并且結合文獻［18］給出的I-序列空間概念，在一起總的討論了它們彼此的關系和性質。

本文在文獻［23］的基礎上提出了Isn-I-Fréchet-Urysohn空間的概念，并且結合文獻［24］中引入的Isn-序列空間的概念，討論它們之間的關系和一些相關性質，比如遺傳性、連續性等。最后討論了這些空間和理想收斂中其他空間之間的關系。

1 基本概念

定義1［23］令I 是N 的子集構成的集族，考慮以下條件：

（1）如果A，B∈I，那么A∪B∈I；

（2）如果B?A∈I，那么B∈I；

（4）I 是N 的一個覆蓋。

集族I 被稱作N 上的一個理想如果它滿足條件（1）和（2）；I 被稱作N 上非平凡理想如果它滿足條件（1）～（3）；I 被稱作N 上的一個admissible 理想如果它滿足條件（1）～（4）。此文的理想都是admissible理想。

定義2［23］令I 是N 上的一個理想，并且X 是一個拓撲空間。對于X 中的一個序列｛xn｝，如果對于x的任意一個領域U 有｛n∈N：xnU｝∈I，那么稱｛xn｝I-收斂于點x，記做。

定義3［23］N 上的所有有限子集構成的集族記做Ifin，那么Ifin是最小的非平凡理想包含在每個admissible 理想中，此時X 上的I-收斂和X 上通常的序列收斂是一樣的，為了表述簡潔，如果沒有特殊提示，本文使用I 去表示N 上的一個admissible 理想，并且用Ifin表示N 上的一個最小理想，它是N 上所有有限子集構成的集族。

定義4［23］令X 是拓撲空間，并且P?X。X 中的序列｛xn｝被稱作I-終于P 如果｛n∈N：xnP｝∈I；對于任意x∈X，集合P 被稱作x 的一個I-序列領域如果每個I-收斂于x 的序列都I-終于P；集合P被稱作是X 的Isn-開集如果對于每個x∈P，P 是x 的I-序列領域。集合P 被稱作是X 的Isn-閉集如果XP 是X 的Isn-開集。集合P 被稱作是X 的I-閉集如果當P 中的序列，x∈P 成立；集合P 被稱作是X 的I-開集如果XP 是I-閉集。

定義5［23］考慮下面拓撲空間X 和X 的子集A 的條件：

（1）A 是X 的一個開集；

（2）A 是X 的一個Isn-開集；

（3）A 是X 的一個I-開集；

（5）A 是X 的一個序列開集。

有（1）?（2）?（3）?（4）?（5）成立。

定義6［23］拓撲空間X 被稱作是一個I-FU 空間如果對于每一個A?X 和x∈，那么在A 中一定存在一個序列｛xn｝滿足在X 中。從文獻［3］可知每個第一可數空間是I-FU 空間并且每個I-FU空間是I-序列空間。

如果I=Ifin，那么一個點的I-序列領域被稱作是這個點的序列領域，此時Isn-開集、Isn-閉集、I-開集、I-閉集和I-序列空間被稱作是sn-開集、sn-閉集、序列開集、序列閉集和序列空間，根據文獻［23］有下列結論成立。

定義7［23］下列稱述成立：

（1）序列開集和sn 開集在拓撲空間中是一致的；

（2）每個序列空間都是一個I-序列空間。

沿用文獻［23］中的記號，令：［A］Is=｛x∈X：在A 中存在一個序列｛xn｝滿足｝，=｛x∈X：在XA 中不存在序列｛xn｝滿足。=｛x∈X：如果U 是x 的一個I-序列領域，那么U∩A≠?｝，=｛x∈X：A 是x 的一個I-序列領域｝。

很容易知道集合A 被稱作是X 中的一個I-閉集當且僅當 A=，并且集合A 被稱作是X 中的一個I-開集當且僅當 A=。集合A 被稱作是X 中的一個Isn-閉集當且僅當 A=，并且集合A被稱作是X 中的一個Isn-開集當且僅當 A=。

定義8［23］令X，Y 是拓撲空間。給定一個映射f：X→Y，則：

（1）f 被稱作是一個I-連續如果U 是Y 的一個I-開集，那么f-1（U）是X 的一個I-開集；

（2）f 被稱作是一個Isn-連續如果U 是Y 的一個Isn-開集，那么f-1（U）是X 的一個Isn-開集；

（3）f 被稱作是保持I-收斂映射，如果對于X 中的每個滿足的序列｛xn｝，Y 中的序列｛f（xn）｝都I-收斂到f（x）。

定義9［23］令X，Y 是拓撲空間，并且映射f：X→Y 是一個滿射，則：

（1）f 被稱作是一個商映射（I-商映射）如果對于每個U?Y，集合f-1（U）是X 的開集（I-開集）當且僅當U 是Y 的一個開集（I-開集），在這里空間Y 被稱作是映射f 和理想I生成的一個商空間（I-商空間）；

（2）f 被稱作是一個Isn-商映射如果對于每個U?Y，集合f-1（U）是X 的Isn-開集當且僅當U 是Y的一個Isn-開集，在這里空間Y 被稱作是映射f 和理想I生成的一個Isn-商空間。

定義10［6］X 被稱作是一個I-序列空間，如果X 的每個I-開子集A 是X 的開集。

定義11［23］X 被稱作是一個I-領域空間，如果X 的每個I-開子集A 是X 的Isn-開集。

定義12［24］X 被稱作是一個Isn-序列空間，如果X 的每個Isn-開子集A 是X 的開集。

定義13［24］一個拓撲空間X 被稱作是一個Isn-Fréchet-Urysohn空間如果X 每個點的任何一個I-序列領域都是這一點的領域。

2 主要結果

定義14 一個拓撲空間X 被稱作是一個Isn-I-Fréchet-Urysohn空間如果對于每一個A?X 和x∈，那么在A 中一定存在一個序列｛xn｝滿足在X 中。

由此定義容易知道一個拓撲空間X 被稱作是一個Isn-I-Fréchet-Urysohn空間當且僅當對于每個A?X，都有并且。

根據Zorn’s 引理，由文獻［6］可以證明在N 中的所有admissible 理想I 形成的集族中一定存在一個最大理想。如果J 是N 的一個最大理想，那么對于每個A?N，有A∈J 或者A∈NJ 成立。對于N 的每一個理想I，N 的所有最大理想J 滿足I ?J 組成的集合由Θ（I）表示。由文獻［25］可知I=∩J∈Θ(I)J。

引理1［6］如果J 是N 的一個最大理想，那么每個拓撲空間都是J-領域空間。

引理2［6］令J 是N 的一個最大理想，并且X 是一個拓撲空間。那么A?X 是J-開集當且僅當對于任意x∈A，X 中每個J-收斂于x 的序列都J-終于A。

從此引理可以看出，令J 是N 的一個最大理想或者最小理想，當I=J 時，如果A 是X 的I-開集，那么A 同時也是X 的Isn-開集，再結合引理1，很容易得到如下定理。

定理1 令J 是N 的一個最大理想或者最小理想，并且X 是一個拓撲空間，取I=J。如果X 是一個Isn-序列空間，那么X 也是一個I-序列空間。

推論1 令J 是N 的一個最大理想或者最小理想，并且X 是一個拓撲空間，取I=J。如果X 是一個Isn-Fréchet-Urysohn 空間，那么X 同時也是一個I-Fréchet-Urysohn 空間。

定理2 Isn-I-Fréchet-Urysohn 空間（Isn-Fréchet-Urysohn 空間）的每個子空間是Isn-IFréchet-Urysohn 空間（Isn-Fréchet-Urysohn空間）。

證明 令X 是一個Isn-I-Fréchet-Urysohn空間，令Y 是X 的一個非空子空間，并且對于任意A?X，有。令F=A∩Y，因為F?X，所以，并且，又因為F?Y，所以Y 也是Isn-I-Fréchet-Urysohn空間。同理，當X 是Isn-Fréchet-Urysohn空間時，它的每個子空間同樣是Isn-Fréchet-Urysohn空間。

定理3 X 是一個I-序列空間當且僅當X 是一個I-領域空間同時也是一個Isn-序列空間。

證明 根據定義，假設X 是一個I-序列空間，那么對于X 中的任意一個I-開集，它一定是一個開集，根據定義5，它一定是一個Isn-開集。反之對于X 中的任意一個Isn-開集，根據定義5，它一定是一個I-開集，所以它是一個I-領域空間。同理，對于X 中的任意一個Isn-開集，根據定義5，它一定是I-開集，根據條件，它一定是開集，所以X 是一個Isn-序列空間。

反之，若X 是一個I-領域空間并且也是一個Isn-序列空間，對于X 中的任意一個I-開集，它肯定也是一個Isn-開集，因為X 是一個Isn-序列空間，所以它肯定是一個開集，所以X 是一個I-序列空間。

回想一下拓撲空間X 的可數tightness 定義，如果在X 中A?X，并且 x∈，那么存在可數子集C?A 滿足 x∈。由此定理知一個I-序列空間是I-領域空間，同時也是一個Isn-序列空間，又根據文獻［6］可知，每個I-序列空間滿足可數tightness，所以Isn-序列空間和I-領域空間都滿足可數tightness。

定理4 Isn-序列空間具有如下性質：

（1）每個Isn-序列空間在Isn-開集（Isn-閉集）下是遺傳的；

（2）在拓撲和下仍然是Isn-序列空間。

證明（1）令X 是一個Isn-序列空間。令Y 是X 的一個Isn-開子集并且A 是子空間Y 的一個Isn-開子集。那么根據文獻［23］，A 是X 的一個Isn-開子集。因為X 是一個Isn-序列空間，所以A 是X 的一個開子集，可以得到A 是子空間Y 的一個開子集，所以Y 是一個Isn-序列空間。

令Y 是X 的一個Isn-閉子集并且F 是子空間Y 的一個Isn-閉子集。那么根據文獻［23］，F 是X 的一個Isn-閉子集。因為X 是一個Isn-序列空間，所以F 是X 的一個閉子集，可以得到F 是子空間Y 的一個閉子集，所以Y 是一個Isn-序列空間。

（2）令｛Xα｝α∈A是Isn-序列空間組成的一個集族。令X=⊕α∈ΛXα是｛Xα｝α∈Λ組成的拓撲和。本文將會證明拓撲和X 是一個Isn-序列空間。令F 是X 中的一個Isn-閉子集。對于每個α∈Λ，因為Xα是X 中的閉集，F∩Xα是X 中的Isn-閉子集。又因為（F∩Xα）?Xα，根據文獻［23］，有F∩Xα是Xα中的Isn-閉子集。根據假設，有F∩Xα是Xα中的閉集。根據拓撲和的定義，可以發現F 是X 中的閉集，因此，拓撲和X是一個Isn-序列空間。

定理5 拓撲空間X 是一個Isn-序列空間當且僅當X 上的每個Isn-連續映射是一個連續映射。

證明 假設X 是一個Isn-序列空間并且映射f：X→Y 是Isn-連續映射。令U 是Y 的一個開子集，因為同時U 是Y 的一個Isn-開子集并且f：X→Y 是一個Isn-連續映射，所以f-1（U）是X 的一個Isn-開子集。又因為X 是一個Isn-序列空間，所以f-1（U）是X 的一個開子集。因此，f：X→Y 是一個連續映射。

相反的，假設X 不是一個Isn-序列空間。那么存在X 的一個Isn-開子集O 滿足O 不是X 的開子集。令Y=｛0，1｝并且在集合Y 上賦予以下拓撲：集合?，｛0｝和Y 是Y 中的開集，并且集合｛1｝是Y 中的開集當且僅當集合O 是X 中的Isn-閉子集。定義映射f：X→Y 如下：如果x∈O，那么f（x）=0。如果x∈XO，那么f（x）=1。首先，先證明f：X→Y 是Isn-連續映射。令U 是Y 的Isn-開子集，因為O 是X 的一個Isn-開子集，可以假設U=｛1｝。如果｛1｝不是Y 的開子集，可以在Y 中定義一個序列｛yn｝并且yn=0，那么很明顯yn→1，因此。因為U 是一個Y 的Isn-開子集，所以U 是一個Y 的I-開子集，根據文獻［23］，?=｛n∈N：yn∈U｝?I。這產生了矛盾。因此｛1｝是Y 的開子集，并且O 是X 中的Isn-閉子集。那么很顯然f-1（U）是X 的Isn-開子集。這說明了f：X→Y 是Isn-連續映射。因為｛0｝是Y 的開子集并且f-1（｛0｝）=O 不是X 的開子集，所以f：X→Y 不是連續映射。

定理6 每個Isn-I-Fréchet-Urysohn 空間（Isn-Fréchet-Urysohn 空間）都是I-領域空間（Isn-序列空間）。

證明 若X 是一個Isn-I-Fréchet-Urysohn 空間，對于任意A?X，都有，若F 是X 中的I-閉集，那么，所以F 是X 中的Isn-閉集，容易知道它一定是一個I-領域空間。同理，若X是一個Isn-Fréchet-Urysohn 空間，自然可以推出它一定是一個Isn-序列空間。

定理7 如果空間X 的每個子空間是I-領域空間（Isn-序列空間），那么X 是一個Isn-IFréchet-Urysohn 空間（Isn-Fréchet-Urysohn 空間）。

證明 假設空間X 的每個子空間是I-領域空間，令A?X，并且 x∈，如果 x∈A，那么這個證明是顯然的。如果x?A，那么A 不是X 中的Isn-閉集?，F在令Y=A∪｛x｝，那么A 不是Y 中的閉集。但是通過假設，Y 是I-領域空間。因此存在序列｛xn｝?A 滿足。同理，若X 的每個子空間是Isn-序列空間，那么很容易知道X 是一個Isn-Fréchet-Urysohn 空間。

定理8 假設X 和Y 都是拓撲空間并且f：X→Y 是一個映射，那么下述結論成立：

（1）令X 是一個Isn-序列空間，如果f 是一個連續的商映射，那么f 是一個Isn-商映射并且Y 是一個Isn-序列空間；

（2）令Y 是一個Isn-序列空間，如果f 是Isn-商映射，那么f 是一個商映射。

證明（1）令X 是一個Isn-序列空間，并且f 是一個商映射，假設f-1（U）是X 中的一個Isn-開集，容易知道f-1（U）也是X 中的一個開集，所以U 是Y 中的一個開集，U 是Y 中的一個Isn-開集。假設U 是Y 中的一個Isn-開集，因為f 是一個連續映射，所以由文獻［6］可知f 是保持I-收斂映射。在X 中任意取一個序列｛xn：n∈N｝?X 滿足∈f-1（U）。因為f 是保持I-收斂映射，所以有∈U。因為U 是Y 中的一個Isn-開集，所以根據文獻［23］，有｛n∈N：f（xn）?U｝∈I 成立，很容易得到｛n∈N：xn?f-1（U）｝∈I 也成立。因此f-1（U）也是X 中的一個Isn-開集，所以f 是一個Isn-商映射。

假設U?Y 并且滿足U 是Y 中的一個Isn-開集，因為f 是一個Isn-商映射，所以f-1（U）是X 的一個Isn-開集。因為X 是一個Isn-序列空間，所以f-1（U）是X 中的一個開集。又因為f 是一個連續的商映射，所以U 是Y 中的一個開集，那么可以知道Y 也是一個Isn-序列空間。

（2）令Y 是一個Isn-序列空間并且f 是Isn-商映射。如果f-1（U）是X 中的一個開集，那么f-1（U）是X 中的一個Isn-開集。因為f 是Isn-商映射，所以U 是Y 中的一個Isn-開集。在這里注意到Y 是一個Isn-序列空間，所以U 是Y 中的一個開集。反之，如果U 是Y 中的一個開集，那么U 是Y 中的一個Isn-開集。因為f 是Isn-商映射，所以f-1（U）是X 中的一個Isn-開集，因為X 是一個Isn-序列空間，所以f-1（U）是X 中的一個開集，因此f 是一個商映射。