分數階p-Laplace 方程解的單調性公式

王 琦,沃維豐

（寧波大學 數學與統計學院,浙江 寧波 315211）

單調性公式由Almgren 于1979 年在文獻[1]中首次提出,橢圓方程解的單調性公式是關于橢圓方程的重要研究內容之一.Garofalo 等[2-3]首次提出了頻率函數方法,通過建立方程解的單調性公式得到具有散度形式的二階Laplace 方程解的唯一延拓性.之后,為了解決分數階Laplacian 算子非局部性帶來的研究困難,Caffarelli 等[4]提出了一種延拓技術,用于討論分數階Laplacian 算子的相關問題,即將非局部問題簡化為更高一維的局部問題.基于此方法,Fall 等[5]建立了分數階Laplace 方程與帶有權重的奇異或退化局部方程兩者之間的關聯性,進而獲得了方程解的單調性公式.隨后,Luca等[6]研究了在Dirichlet 邊界條件下分數階橢圓方程在邊界點上的單調性公式,并結合爆破分析得到了方程解的定性性質.

Fall 等[7]基于延拓方程解的單調性公式,證明了具有Hardy 勢的分數階橢圓算子解的唯一延拓性,即算子表達式為:

其中:s? (0,1),m≥ 0,a?C1(Sn-1),且對Ch＞0和χ? (0,1)使得:

盡管在建立非局部問題解的單調性公式方面已取得了部分成果,但是目前大多數工作都集中在非局部的分數階Laplacian 算子條件下,對于更一般的非局部算子,如分數階p-Laplacian 算子,相關單調性公式的研究報道較少.

本文研究了更一般的分數階p-Laplacian 算子解的單調性公式.

其中:s? (0,1),p? (1,∞),n＞ 2,Cn,sp是一個依賴于n,s,p的正常數;P.V.代表柯西主值.

與分數階Laplacian 算子不同,當p≠2 時,分數階p-Laplacian 算子是一個非線性非局部算子,因此,研究此類算子顯然更為復雜.結合相關的研究成果可知,針對分數階p-Laplacian 算子的研究,一種方法是積分方程法[8],即建立分數階 p-Laplace 方程與積分方程的等價性,通過運用積分形式的移動平面法研究方程解的相關性質.另一種方法是采用Caffarelli-Silvestre 延拓技術[9],得到分數階p-Laplacian 算子相應的局部方程,將相應的擴展問題表述為半空間中具有奇異或退化權重的局部方程.此外,文獻[9]還證明了分數階p-Laplacian 算子的另外兩種表達公式.而當p=2時,分數階Laplacian 算子作為一種特殊形式,其單調性公式在文獻[10]中已得到證明.文獻[11]研究了分數階Hardy-Hénon 算子正解的漸近行為和爆破估計,得到了方程

在單位球中正解的單調性公式,其中s?(0,1),-2s＜α＜2s,(n+α)/(n-2s)＜p＜ (n+2s)/(n-2s),且n≥ 2.此外,文獻[12]研究了高階分數Laplacian算子,并運用Pohozaev 恒等式得到了四階橢圓方程解的單調性公式.因此,針對單調性公式的研究逐漸趨于豐富[13-16].

本文受Laplace 方程和分數階Laplace 方程解的單調性公式啟發,研究了分數階p-Laplacian 算子解的單調性公式,將分數階Laplacian 算子解的單調性公式推廣到更一般的應用范圍.采用基于非線性非局部算子的Caffarelli-Silvestre 線性延拓技術,通過定義一個合適的Dirichlet 邊界條件,證明了分數階p-Laplacian 算子與局部方程之間的等價性,即將相應的擴展問題表述為半空間中具有奇異或退化權重的局部方程.在分數階p-Laplacian算子(-Δ)取s?(0,1)和p? (1,∞)情況下,將具有線性算子解的單調性公式推廣到非線性算子中.依托Caffarelli-Silverstre 的延拓技術,通過現有結果建立方程的頻率函數,并結合相關積分估計獲得具有非線性非局部方程解的單調性公式.與此同時,討論了p＞ 1情況下的分數階p-Laplace 方程解的單調性公式,從而更大程度上拓展了非局部分數階Laplace 方程的研究成果.

1 準備工作

在給出本文的主要定理前,首先引入一些記號以便后續書寫.

對于任何r＞ 0,定義

Sn=｛z? Rn+1:|z|=1｝表示一個 Rn+1中單位為n維的球體.

dS表示n維球體上的體積元素.

dz=dxdy,z=(x,y) ? Rn×R 表示(n+1)維的體積元素.

接著引入有關分數階p-Laplacian 算子相應的延拓性質.

文獻[9]給出了引理1 的證明過程,并討論了分數階p-Laplacian 算子其他定義形式的表示方法.引理1 對我們主要結果的證明至關重要.

引理1令s?(0,1)和p? (1,∞),設U x0(x,y)是下面邊值問題的解:

且對p? (1,2/(2-s))需額外假設 ?u(x0) ≠ 0,則對于u?(Rn),使得:

其中:x0?Rn,(x,y) ? Rn× (0,+∞).

特別地,當p=2時,我們有:

即滿足分數階Laplacian 算子的經典結果.

2 主要定理

首先定義方程解的頻率函數,然后通過計算函數的導數得到主要定理.從引理 1 可獲得U x0(x,y) 是方程(2)的一個解,我們用φ替換Ux0,且為方便之后計算,后續研究都建立在r?(0,1)的條件下.

值得注意的是,令

滿足下面延拓問題:

為了確保完整性,給出式(3)中頻率函數的定義.令z≠ 0,r? (0,R],且R＞ 0,定義函數

則函數 N(r)的表達式為:

此外,在p=2 和A(0)=id情況下,上述給出的頻率函數也可以表示分數階橢圓方程的頻率函數,并且定義是良好的.另外,隨著二階橢圓方程組研究的不斷深入,文獻[17]建立了一類弱耦合的二階橢圓方程組的頻率函數.最后,給出關于本文的主要研究結果.

定理1令s? (0,1),p? (1,∞),n＞ 2,函數N (r)定義如式(6).

則存在一個常數C＞0,使得:

是關于r? (0,r0)的一個非減函數,其中r0? (0,1)和C是依賴于空間維數的量.

一旦有了單調性質,下面的推論將順理成章.

推論1存在一個γ,使得極限成立.

3 定理1 的證明

證明不失一般性,令0＜r＜1 和z=(x,y).

首先由定義

計算出N 的導數,得:

接著,將證明的剩余部分分為3 個步驟.

步驟1為了得到一些想法,首先給出H(r)的導數.

對于r0? (0,R),考慮以下極限

另一方面,對于任意的r? (r0/2,R)和θ?,有:

因此,由式(7)和式(8),并利用控制收斂定理可得:

由于式(9)中H′在區間(0,R) 上具連續性,故

此外,利用φ方程式,可獲得:

將式(11)代入式(10),整理后得:

步驟2接著計算有關D(r) 的導數.

現將問題寫成以下形式:

同時,對于任意的r? (0,r0),令

式(14)利用Rellich 恒等式,對于r? (0,R)幾乎處處有:

將式(14)和式(15)代入D′ (r)表達式,同時結合式(13)得:

步驟3修正頻率函數的單調性.

結合步驟1 中H′ (r)和步驟2 中D′(r),代入N′(r)表達式,有:

由Cauchy-Schwarz 定理,可得:

因此,最終可得:

其中C是一個僅與空間維數n有關的量.

至此定理1 的結論成立.