α-螺旋蛋白中三分量高階非線性薛定諤方程的怪波解

王夢雅,陳婷婷,王立洪

（寧波大學 數學與統計學院,浙江 寧波 315211）

1973 年,烏克蘭生物學家Davydov[1-2]提出生物能量和生物信息傳遞的孤子理論,用數學模型研究α-螺旋蛋白分子中激發產生的激子和分子鏈位移變換的運動規律.α-螺旋是蛋白質二級結構的主要類型之一[3-5],由肽基團(H-N-C=O)組成,均勻地分布在三個氫鍵上,形成螺旋結構[6-7].一般來說,在Davydov 模型的低階連續近似下,α-螺旋蛋白中沿著氫鍵連接的分子動力學可推導出非線性薛定諤方程,如文獻[8]中的公式(2.17)、[9]中的公式(3.1).過去對α-螺旋蛋白的動力學行為進行了大量研究,特別是使用簡化為單一分子鏈的單分量模型[10].單一分子鏈沿著氫鍵的動力學是在連續極限下考慮的,但忽略了與相鄰氫鍵之間的耦合.實際上,在α-螺旋蛋白模型中,相鄰氫鍵之間的耦合起著重要作用,因此,需要考慮三個螺旋氫鍵對生物能量傳遞機制的影響.為更貼切地描述α-螺旋蛋白由三個螺旋氫鍵組成分子鏈的形式,文獻[11]分析了α-螺旋蛋白分子三個肽通道組成的結構,通過改進的Davydov 哈密頓函數來描述蛋白質分子中的孤子傳輸機制;文獻[12-13]確定了可積分的三分量耦合模型;文獻[7,14]考慮了可積耦合的三分量非線性薛定諤方程來描述生物能量沿蛋白質分子鏈以孤子和呼吸子方式傳輸的模式;文獻[15]利用Hirota 雙線性法討論了三分量非線性薛定諤方程的怪波(rogue wave)傳播模式.此外,研究者還在Davydov 模型中引入連續近似中的高階項[8].文獻[16-17]在Davydov-Scott 模型中研究了α-螺旋蛋白中含高階項的孤子動力學,闡明了Davydov 孤子的穩定性和動態特性.本文將運用三分量高階非線性薛定諤模型(也稱三耦合Hirota 方程)[16-17]研究α-螺旋蛋白中能量輸運的怪波模式.考慮α-螺旋蛋白分子動力學高階項和相互耦合動力學特性后,文獻[16-17]給出的方程為

式中: i 為虛數單位;qj=qj(x,t),j=1,2,3為第j個氫鍵中分子激發的振幅;參數γ是實數;波函數qj加下標t和x分別表示其對時間變量t和空間變量x的偏導數;上標*表示復數共軛.

顯然,函數qj(j=1,2,3)都為0,即生物能量不發生輸運時,是動力學方程(1)的解.生物能量以孤波方式輸運時的解由文獻[16]給出;文獻[17]討論了動力學方程(1)孤波的彈性碰撞和非彈性碰撞.本文將考慮周期孤波輸運能量的極限狀態,采用退化達布(Darboux)變換導出動力學方程(1)的怪波解,討論極限狀態下能量輸運的波形演化及其高峰和低谷的極值軌跡.

1 Lax 對表示與達布變換

根據文獻[7,16],動力學方程(1)可轉換為譜問題[18],其Lax 對(Lax pair)為

式中:λ是復的譜參數;列向量φ=(φ1,φ2,φ3,φ4)T是由勢函數φj(j=1,2,3,4)組成的特征函數,這里,上標T 表示轉置.

取Lax 對的x部分如下:

其中,0 和I3分別表示零矩陣和三階單位矩陣,q=(q1,q2,q3),上標?表示Hermitian 轉置.

取Lax 對的t部分如下:

則由零曲率方程Ut-Vx+[U,V]=0或協調性條件φxt=φtx可導出動力學方程(1).這里,矩陣交換子[M,N]≡MN-NM.

因此,函數q是動力學方程(1)的解,等價于零曲率方程成立,也等價于Lax 對(2)的特征函數φ滿足協調性條件.

即用q[1]替換U0中的q.同時,Vj(j=0,1,2,3)中的U0和q也做相同的替換獲得,從而獲得V[1].此時,若U[1]和V[1]滿足零曲率方程,或等價地,Lax 對

另一方面,考慮作用于Lax 對(2)的規范變換[19]

其中,I4是四階單位矩陣,S=(sij)4×4,則

滿足譜問題

和零曲率方程

于是,引入達布變換T,使得U[1]和V[1]同時滿足零曲率方程和Lax 對形式不變,即

從而,由式(9)和(10)關于譜參數λ的各階系數恒等可得方程組:

這里,式(12)給出了由動力學方程(1)的一組解q通過一次達布變換得到一組新解[1]q的計算公式.接下來將利用某個已知的解q=q[0]和λ及其關聯的特征函數φ=φ[0]來構造達布變換中的S矩陣,特別是元素s12,s13,s14的表達式.

當q=q[0]時,記特征函數φj=(φ1j,φ2j,φ3j,φ4j)T是動力學方程(1)在譜參數λ=λj下的解.由λj及其關聯的φj構造矩陣Σj和Hj,

則對于任意譜參數λ1?C R,取

直接計算可以驗證,當S=S1時,方程(11a)～(11f)均成立.需要特別指出的是,H1矩陣中的第一列是q=q[0]時動力學方程(1)在λ=λ1時的特征函數,其他幾列通常都不是特征函數,而是與第一列復正交的向量.

由式(14)可得S1H1=H1Σ1,或

于是,達布變換中的S1矩陣可以通過方程(15)完全確定.這里,特別地考察待定參數s12,s13,s14所在的的第一列,于是可得線性方程組

簡記線性方程組(16)的常數項為

則利用克萊姆法則,由式(12)和(16)可得定理1.

定理1設是動力學方程(1)的解,當q=q[0]時,φ1是Lax 對(2)中譜參數λ=λ1?C R 關聯的特征函數,則一次達布變換的表達式

定理1 給出了從種子解q[0]出發,利用給定譜參數λ1所關聯的特征函數φ1構造一次達布變換獲得新解q[1]的公式.因此,有了Lax 對的表示形式,動力學方程(1)可以從一組解對 (φ[0],q[0];λ),通過一次達布變換構造另一組解對 (φ[1],q[1];λ,λ1).接著,若以 (φ[1],q[1];λ,λ1)為種子,用新的譜參數λ2(≠λ1),第二次使用達布變換可以構造出另一新解對 (φ[2],q[2];λ,λ1,λ2).將第一次達布變換和第二次達布變換復合,稱之為二重達布變換.以此類推,不妨記n重達布變換后的解對為 (φ[n],q[n];λ,λ1,…,λn),其中λj(j=1,2,…,n)互不相等.

利用定理1,可以從種子解0 解出發,生成動力學方程(1)的孤子解(soliton)和退化孤子解(positon)[20],也可以從平面波解出發,生成呼吸子解[21]和退化呼吸子解.本文將以平面波解作為種子解,借助退化的達布變換構造動力學方程(1)的怪波解.

2 怪波的激發條件

在下文中,將取定種子解[0]q為平面波解,即

其中ρj=ajx+bjt,aj,bj,cj?R,bj滿足色散關系:

此時,利用規范變換可將Lax 對(2)變量分離,并進一步給出與種子解關聯的特征函數及怪波激發的條件.

則由規范變換φ=Rψ,可得變量已分離的Lax 對

其中多項式系數分別為

由式(24)容易驗證,[Λ,Ω]=0,即矩陣Λ,Ω可交換.

設uj(j=1,2,3,4)是矩陣Ω的特征值,則由式(24)可得,矩陣Λ的特征值vj滿足

且uj和vj具有相同的特征向量ηj,

其中θj=exp(ujx+vjt)ηj,j=1,2,3,4,則Ψ與exp(Ωx) exp(Λx)等價,都是式(22)的基解矩陣.因此,

是譜參數λ和種子解(j=1,2,3)關聯的特征函數,其中,ξ是四維的常數列向量.

兩組Lax 對(2)和(22),它們的特征函數通過可逆變換R建立了聯系,而它們各自達布變換待求的矩陣S的元素也可以通過可逆變換R建立聯系.由于,可得定理2.

定理2若X=S滿足線性方程組

則X′=S滿足線性方程組

其中,函數H(?)和β(?)分別由式(13)和(17)定義.

證明考察線性方程組

用H、β和R來表示這兩個線性方程組,可知定理2 成立.證畢.

由于R矩陣的性質和H與β函數構造的矩陣的特點,定理2 給出了Lax 對(22)在其達布變換中求解的s1j與Lax對(2)在其達布變換中求解的之間的比例關系,即,j=2,3,4.因此,接下來將集中討論Lax 對(22)中特征函數ψ的構造及其s1j的表示.

為了獲得呼吸波傳播的極限波形態,即怪波解,也稱為Peregrine 孤子[22-23]或(準)有理解,本文考慮共振條件,即特征值uj(j=1,2,3,4)趨向同一值而形成四重根的條件.并且利用在規范變換(21)中引入的平移參數u0,將矩陣Ω的特征多項式

的四重根平移到零點.于是,可獲得x部分關于怪波激發的條件:

同時,利用平移參數v0將矩陣Λ的特征值平移至零點.于是,可得其中一組怪波激發的條件:

和譜參數λ激發怪波的臨界值:

當激發條件式(27)和(28)同時成立時,色散關系式(20)可整理為

3 基礎特征函數與退化達布變換

在滿足激發條件式(27)的情況下,當λ=λ0時,矩陣Ω,Λ相似于退化的若當塊.現考慮λ0引入微擾量,取

考察λ1關聯的特征函數.此時,由式(25),對Lax對(22)的特征函數ψ=Ψξ關于?泰勒展開可得

令常數向量ξ分別為

計算可得一組冪級數的多項分裂(multisection)構成的特征函數:

其 中,φ4j+k=Ψ4j+k ξk(k=0,1,2,3;j=0,1,2,…)是 由關于x,t的多項式組成的向量.

本文稱

為Lax 對(2)構造怪波解的基礎特征函數組.分別將基礎特征函數Rψj作為φ,用于達布變換生成動力學方程(1)的新解.對于新解,考慮λ1→λ0時的極限,即?→0時動力學方程(1)的極限狀態.此時根據定理2 和羅必塔法則,原定理1 可退化為定理3.

定理3設φk=Rψk(k=1,2,3)由式(21)和(32)定義,是動力學方程(1)對應譜參數λ1=λ0+c1?4和種子解q[0]關聯的基礎特征函數,則下列用行列式形式表出的函數是動力學方程(1)的一階怪波解:

證明當極限?→0時,由羅必塔法則可得,或等價地直接提取分子分母矩陣中每個元素關于?最低次冪的系數可得.

定理3 考慮了極限情況下的解.在此(準)有理解(34)的表達式中,ψk關聯的為有理函數,而因子exp(iρj)來源于定理2 指出的R0.需要說明的是,當k=0 時,也可以根據定理3計算一次達布變換,獲得的解依舊為平面波解.

4 怪波的波形演化與極值軌跡

怪波也稱為極端波、異常波.為了展示在極限狀態下,α-螺旋蛋白的生物能量和生物信息傳遞動力學性質,本節利用定理3 給出k=1,2,3時一階怪波解的表達式,討論參數在不同數值下,尤其是a1為零和不為零時,怪波解各個分量的波形演化和波峰波谷軌跡.

4.1 參數k=1 時的怪波

當k=1 時,三分量高階非線性薛定諤方程的一階怪波解為

固定某個時刻t,考察各個分量關于空間變量x的駐點,可得各個分量關于時刻t的極值軌跡.

谷值軌跡為

顯然,在t=0時,波形分別在x=(2c1)-1和x=處達到無量綱化的最大值和最小值0.即當t=0 時,有一個三倍于平均振幅的波峰極值出現,且兩側會出現對稱的波谷極值.這種劇烈的生物能量傳遞信號對α-螺旋蛋白的三個氫鍵的動力學影響有待實驗觀測和研究.當t→±∞時,波形趨向為一峰二谷形狀的孤波,且峰值和谷值都趨向于漸近平面高度

種子解中參數a1是x的系數,a1是否為常數0對波形有顯著影響.當a1=0 時,方程(28)可獲得孤波解.例如,取a1=0,c1=γ=1,的波形演化如圖1 所示,區域[-2,2]× [-4 0,40]是波形的主體部分,其他區域已衰減到漸近平面的鄰域.

圖1 一階怪波解各個分量的波形演化(a1=0,c1=γ=1)

其極值軌跡如圖1(a)中虛線所示,其中紅色虛線是波峰軌跡線,藍色虛線是波谷軌跡線.觀察峰值和谷值的表達式可知,當t=0 時,波形達到了最大值和最小值,分別為3,0,0.

當a1≠0 時,方程(35)可獲得時間-空間雙局域的怪波解.例如,取a1=1,c1=γ=1時,波函數的波形演化如圖2 所示,其中虛線是t時刻極值的軌跡線.兩條極值軌跡的表達式是

圖2 一階怪波解各個分量的波形演化(a1=1,c1=γ=1)

4.2 參數k=2 時的怪波

當k=2 時,三分量高階非線性薛定諤方程的一階怪波解為

其中,

這里,

鑒于k=2 的時候波函數的極值軌跡線是四次多項式的根,在一般情況下,極值軌跡的顯式表達式過于繁長,為免贅述,僅在示例中用三維虛線表出.

當a1=0,c1=γ=1時,波函數的波形演化如圖3 所示,其中虛線是波峰和波谷所在的極值軌跡線.圖示區域[-5,15]× [-3 00,100]是波形的主體部分,其余區域的波形已逐漸衰減到漸近平面的鄰域.

圖3 一階怪波解各個分量的波形演化(a1=0,c1=γ=1)

當a1=1,c1=γ=1時,波函數的波形演化如圖4 所示,其中虛線是波峰和波谷所在的極值軌跡線.圖示區域[-2,2]× [-30,30]是波形的主體部分,其余區域的波形已快速衰減到漸近平面的鄰域.

圖4 一階怪波解各個分量的波形演化(a1=1,c1=γ=1)

4.3 參數k=3 時的怪波

當k=3 時,三分量高階非線性薛定諤方程的一階怪波解為

其中,

這里,

k=3時,波函數的極值軌跡線是六次多項式的根,在一般情況下,極值軌跡沒有顯式的根式表達式,文中同樣地僅在示例中用三維虛線表出.

當a1=0,c1=γ=1時,波函數的波形演化如圖5 所示,其中虛線是波峰和波谷所在的極值軌跡線.圖示區域[-5,25]× [-5 00,100]是波形的主體部分,其余區域的波形已逐漸衰減到漸近平面的鄰域.

圖5 一階怪波解各個分量的波形演化(a1=0,c1=γ=1)

當a1=1,c1=γ=1時,波函數的波形演化如圖6 所示,其中虛線是波峰和波谷所在的極值軌跡線.圖示區域[-2,2]× [-3 0,30]是波形的主體部分,其余區域的波形已快速衰減到漸近平面的鄰域.

圖6 一階怪波解各個分量的波形演化(a1=1,c1=γ=1)

在上述分別以k=1,2,3給出的示例圖中,對比a1=0和a1≠ 0的兩種情況可知,a1是否為零對于波形的局域性有顯著的影響.當a1≠ 0時,波峰將迅速衰減到漸近水平,波峰觀察的窗口期較短.當a1=0時,其波峰衰減速度緩慢,有較長的觀察時間.

文中波形不同于文獻[16-17]展現的孤波,文獻[16-17]的2-孤子在不同參數下展現了兩孤波之間的彈性碰撞和非彈性碰撞,長時間內波高恒定的孤波容易被觀察到,且孤波碰撞的強相互作用區域容易被預測,本文討論的怪波的波高不定,波峰振幅巨大,是一種極限形態,這給α-螺旋蛋白激發孤波傳遞生物能量和生物信息提供了一種新的理論形態.

5 結論

本文研究了α-螺旋蛋白中生物能量沿蛋白質分子鏈以孤波方式傳輸的三分量高階非線性薛定諤方程的控制模型,討論了該模型中三個相互耦合的波函數在極限狀態下激發極限波的形態,即怪波解.基于控制模型Lax 對表示的譜問題,文中給出了以下三點發現:

(1)利用規范變換得到了三分量高階非線性薛定諤方程的達布變換,該變換借助譜參數為某個任意給定的值及其所關聯的特征函數,構造線性方程組,并利用克萊姆法則,通過行列式形式表出.

(2)通過Lax 對的變量分離和平移參數的引入,給出了怪波激發的一組代數條件,其中包括譜參數的臨界值.通過對譜參數臨界值的微擾,利用冪級數的多項分裂構造怪波解的基礎特征函數,并由此導出了退化的達布變換.

(3)平面波解通過退化的達布變換獲得三分量高階非線性薛定諤方程的怪波解.在不同的參數下,用三維圖形示例怪波解的波形演化及其極值軌跡,其中包括時間-空間雙局域的怪波.極值軌跡表明了多個耦合分量之間能量分布和傳輸模式的不同.

本文方法和分析結果為三分量高階非線性薛定諤方程控制的α-螺旋蛋白中生物能量傳輸的怪波激發實驗研究提供了理論支持,促進了對怪波產生機制和形成效果的理解.特別地,當參數γ等于0 時,控制模型退化為光學中重要的Manakov系統,在光通信的研究中也具有重要的實際意義.