基于中國市場的魯棒歐式期權定價實證分析

田孟昊,韓有攀

(西安工程大學 理學院,西安 710600)

期權是金融市場上重要的衍生證券之一,期權定價合理是期權發揮增進市場流動性與提升市場配置效率作用的重要保證。期權定價中,經典的模型有Blank-Scholes模型[1]、Merton的混合跳躍擴散模型[2]、Cox等的恒定方差彈性模型[3]與Madan等的方差-伽馬模型[4]等,這些模型均是在假設隨機收益分布已知的情況下進行研究的,在實踐中往往難以實現。

本研究利用中心極限定理為累積收益建立多面體不確定集,通過魯棒優化方法建立歐式看漲期權定價模型。該不確定集下,可以通過對偶理論[5]使魯棒期權定價模型轉化為易求解的線性規劃問題。

1 不確定集的建立

利用魯棒優化方法解決期權定價問題時,要選取合適的不確定集[5]。多面體不確定集Uc={ξ∶‖ξ‖1≤τ1,|ξ|≤τ2}具有線性結構和易控制不確定性的優勢,可根據標的資產的歷史收益數據與中心極限定理構造關于累積收益的多面體不確定集。

(1)

假設標的資產的收益服從幾何布朗運動,于是再由中心極限定理可得:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

2 魯棒歐式期權定價模型

歐式期權的標的物為一種標的資產,標的資產的價格在離散時間點上變化。自融資策略下,∈-套利原理是尋求將標的資產S和無風險資產B組成的投資組合進行動態復制,使其在任意時刻的價值與期權的收益基本一致,從而保證在T時刻該投資組合的價值WT與期權收益P(ST,K)的誤差盡可能小,則投資組合初始價值W0為期權的價格?；诖?魯棒歐式期權定價模型為:

(7)

(8)

利用上述劃分可以得到與式(8)等價的線性規劃問題,詳見式(9):

(9)

minε

(10)

3 實證分析

選取上證50ETF和上證300ETF歐式看漲期權數據,具體數據為:①上證50ETF標的資產當前價為2.748元,敲定價為2.45～2.95元,剩余期限為42天。②上證50ETF標的資產當前價為2.727元,敲定價為2.55～3元,剩余期限為22天。③上證300ETF標的資產當前價為4.116元,敲定價為3.643～4.4元,剩余期限為41天。

使用MATLAB?2022b-academic use軟件中優化工具箱的“linprog”求解了線性規劃問題,并利用金融工具箱的“blsprice”做期權定價對比實驗。數值結果表明,魯棒期權定價模型計算出的期權價格與經典的B-S模型計算出的價格相比,精度更高,更接近期權的實際價格,詳見表1、表2、表3。通過擬合ρ關于K/S的二次函數捕捉到B-S模型存在“隱含波動率微笑”現象,原因可能是期權持有者對不同執行價格具有不同的風險厭惡程度,詳見圖1、圖2、圖3。

圖1 上證50ETF 42天歐式看漲期權的風險厭惡水平-rho vs K/SFig.1 Shanghai stock exchange 50ETF 42-day European call option -rho vs K/S

圖2 上證50ETF 22天歐式看漲期權的風險厭惡水平-rho vs K/SFig.2 Shanghai stock exchange 50ETF 22-day European call option -rho vs K/S

圖3 上證300ETF 41天歐式看漲期權的風險厭惡水平-rho vs K/SFig.3 Shanghai stock exchange 300ETF 41-day European call option -rho vs K/S

表1 上證50ETF 42天歐式看漲期權Tab.1 Shanghai stock exchange 50ETF 42-day European call option

表2 上證50ETF 22天歐式看漲期權Tab.2 Shanghai stock exchange 50ETF 22-day European call option

表3 上證300ETF 41天歐式看漲期權Tab.3 Shanghai stock exchange 300ETF 41-day European call option

4 結論

通過∈-套利方法與自融資策略建立魯棒期權定價模型,選取我國期權市場上三組期權進行定價實驗,模型結果與傳統B-S模型結果相比在精度上有了明顯的提高,說明魯棒定價模型能夠為解決我國金融市場的歐式期權定價問題提供一定的參考,豐富了期權定價的數值方法。