三邊固支一邊自由矩形薄板撓度計算研究

郭翔詠

摘? 要：為求解受均布荷載作用下三邊固支一邊自由矩形薄板的撓度函數，在彈性理論的基礎上，建立薄板力學模型。結合三邊固支一邊自由的邊界條件，并采用Rayleigh-Ritz法計算撓度函數中的未知系數k，從而推導撓度函數。最后，通過ANSYS對2個算例進行模擬，得到矩形薄板在z軸方向上的變形云圖，并對比理論計算與模擬的結果。結果的一致性為計算三邊固支一邊自由等復雜邊界條件的矩形薄板的撓度提供科學依據。

關鍵詞：三邊固支一邊自由；矩形薄板；撓度；Rayleigh-Ritz法；ANSYS

中圖分類號：TB122? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2095-2945（2024）10-0079-04

Abstract： In order to obtain the deflection function of the rectangular thin plate with three fixed sides and one free side under the uniformly distributed load， the mechanical model for the thin plate was established based on the theory of elasticity. By considering the boundary conditions of three fixed sides and one free side， and employing the Rayleigh-Ritz method， the unknown coefficient k in the deflection function was calculated， thus deriving the deflection function. Finally， two cases were simulated using ANSYS to obtain the deformation contour plot of the rectangular thin plate in the z-axis direction， and the comparison was made between the theoretical calculations and the simulation results. The consistency of the results provides a scientific basis for calculating the deflection of the rectangular thin plate under complex boundary conditions， such as three fixed sides and one free side.

Keywords： three fixed sides and one free side; rectangular thin plate; deflection; Rayleigh-Ritz method; ANSYS

彈性薄板在工程中有廣泛的應用，例如實體板和板梁等，而矩形薄板是其中較為常見的一種應用形式[1-2]。邊界條件對薄板的穩定性和整體行為起著關鍵作用。通過適當選擇和施加邊界條件，可以預防薄板在受載情況下出現不穩定、失穩或振動等問題。目前，對于邊界條件相對簡單的矩形薄板撓度函數已經有了有效的求解方法，例如四邊固支和四邊簡支矩形薄板的撓度函數。馬文強等[3]建立了綜放采場頂煤與頂板在均布載荷作用下的薄板模型，并利用Matlab編譯了薄板的撓曲面公式。馬仁香[4]基于利維解和疊加法推導出了均布載荷作用下的四邊固支矩形薄板的撓度表達式，并結合有限元模擬驗證了該表達式的正確性。然而，對于求解具有復雜邊界條件的矩形薄板撓度函數而言，由于求解的困難和復雜性，此類研究還較為有限。因此，根據已有的薄板復雜邊界條件，假設薄板的撓度函數并選擇有效的方法對其進行求解，是工程領域亟待解決的問題。

Rayleigh-Ritz法[5]用于求解薄板的撓度函數時，只需預先假設的撓度函數滿足薄板的位移邊界條件，無須滿足內力邊界條件，這極大地簡化了求解復雜邊界條件下薄板撓度函數的過程?；诖?，本文建立了薄板力學模型，使用Rayleigh-Ritz法求解三邊固支一邊自由矩形薄板的撓度函數，并利用ANSYS有限元軟件驗證了理論計算結果的正確性。

1? 三邊固支一邊自由矩形薄板撓度函數求解

1.1? 薄板力學模型建立

一般說來，當矩形板的厚度與板中面最小尺寸比值在1/80和1/5之間時，稱為薄板[6]。以o為中心建立三維直角坐標系，薄板長度為a，寬度為b，厚度為h，作用在其上表面的均布荷載為q，薄板力學模型如圖1（a）所示。三邊固支一邊自由邊界條件如圖1（b）所示。

（b）? 三邊固支一邊自由邊界條件

圖1? 薄板力學模型建立

1.2? 薄板撓度函數求解

薄板的彈性曲面微分方程為[7]

D？犖4w=q， （1）

式中：w為薄板的撓度函數；？犖4為雙調和算子，？犖4=■+2■+■；D為薄板的彎曲剛度，D=■，其中，E為薄板的彈性模量，v為薄板的泊松比。

三邊固支一邊自由薄板的邊界條件為

。（2）

取滿足位移邊界條件的撓度函數

式中：k為撓度函數的未知系數。

等厚度薄板的應變能V？著為

依據Rayleigh-Ritz法，有

由式（5）可求得薄板撓度函數的未知系數k

將式（6）代入式（3）中可得薄板撓度函數w為

2? 模擬驗證

2.1? 算例1

取三邊固支一邊自由矩形薄板的長度a為60 m，寬度b為10 m，厚度h為1 m，作用在其上表面的均布荷載q為2 MPa，彈性模量E為20 GPa，泊松比v為0.3。由式（7）可得薄板的撓度函數圖，如圖2所示。

撓度的正負號代表方向。從圖2中可以看出，受均布荷載作用的三邊固支一邊自由矩形薄板的最大撓度出現在薄板自由邊的中點處，其值為37.194 19 mm。利用ANSYS有限元軟件建立矩形薄板彈性模型，薄板的彈性模量E為20 GPa，泊松比v為0.3。模擬計算的z軸定向變形云圖如圖3所示。

從圖3中可以看出，受均布荷載作用的三邊固支一邊自由矩形薄板的最大撓度同樣出現在薄板自由邊的中點處，與理論分析一致，其值為36.349 08 mm。本文的理論計算結果與模擬結果的相對誤差僅為2.324 9%。通常情況下，理論計算結果與模擬結果的相對誤差可以允許在5%以內[8]，因此在算例1中，理論計算得到的矩形薄板撓度函數與ANSYS的模擬結果是相符的。

2.2? 算例2

取三邊固支一邊自由矩形薄板的長度a為50 m，寬度b為20 m，厚度h為2 m，作用在其上表面的均布荷載q為3 MPa，彈性模量E為20 GPa，泊松比v為0.3。由式（7）可得薄板的撓度函數圖，如圖4所示。

從圖4中可以看出，受均布荷載作用的三邊固支一邊自由矩形薄板的最大撓度出現在薄板自由邊的中點處，其值為109.022 8 mm。利用ANSYS有限元軟件建立矩形薄板彈性模型，薄板的彈性模量E為20 GPa，泊松比v為0.3。模擬計算的z軸定向變形云圖如圖5所示。

從圖5中可以看出，受均布荷載作用的三邊固支一邊自由矩形薄板的最大撓度值為109.039 2 mm。本文的理論計算結果與模擬結果的相對誤差僅為0.015 0%。對于算例2，理論計算得到的矩形薄板撓度函數同樣與ANSYS的模擬結果相吻合。這兩個算例的計算結果與模擬結果的相對誤差均在5%以內，滿足工程需求。

3? 結論

本文通過建立薄板力學模型，利用Rayleigh-Ritz法求解了三邊固支一邊自由矩形薄板的撓度函數。同時，利用ANSYS有限元軟件建立了矩形薄板的彈性模型。算例1和算例2的理論計算結果與模擬結果的相對誤差分別為2.324 9%和0.015 0%，均在5%以內，滿足工程實際要求，驗證了理論公式的正確性。Rayleigh-Ritz法在求解具有復雜邊界條件的矩形薄板撓度函數方面具有良好的適用性。此外，該方法具有公式簡單、便于工程實踐的特點，對工程實際具有借鑒和指導意義。

參考文獻：

[1] 孫建，胡洋.均布和靜水壓力作用下固支矩形薄板力學特性[J].應用力學報，2015，32（6）：908-914，1096-1097.

[2] 王霂，王洪波.矩形薄板受橫向均布載荷作用彈性小撓度解[J].科技創新與應用，2021（3）：82-84.

[3] 馬文強，王同旭，曲孔典.基于薄板模型的高韌性煤層難冒放機理分析[J].采礦與安全工程學報，2017，34（4）：644-649.

[4] 馬仁香.均布載荷下四邊固支矩形薄板的撓度[J].計算機輔助工程，2021，30（4）：22-25，31.

[5] 徐芝綸.彈性力學（上冊）[M].5版.北京：高等教育出版社，2016.

[6] 李銳.矩形板問題的Hamilton求解方法[D].大連：大連理工大學，2012.

[7] 徐芝綸.彈性力學（下冊）[M].5版.北京：高等教育出版社，2016.

[8] 謝中敏，胡超，沈朝萍，等.基于ANSYS軟件均布載荷作用下方板撓度分析[J].數字技術與應用，2018，36（9）：40-41.