偏序集上的弱Scott拓撲與弱測度拓撲

王 武, 李旭東

(天津理工大學 中環信息學院, 天津 300380)

Domain理論[1]屬于格論、拓撲學、范疇論及理論計算機科學的交叉領域,目前已經發展為數學與理論計算機的一個重要分支.Domain理論的提出源于2個不同的背景:理論計算機中函數式語言的語義研究和偏序結構與內蘊拓撲的純數學研究[2-4].為了將domain理論進行推廣,許多學者[5-6]在一般的偏序集上定義了連續和擬連續結構,并不斷向信息科學、邏輯學、分析學及各種應用學科滲透,得到了很多有意義的數學模型,為計算機高級程序設計語言提供了數學模型.2000年,Martin[7]在研究計算問題的數學基礎時,于連續dcpo(即domain)上引入了μ拓撲,證明了這種內蘊拓撲實際上是由domain上具有一定條件的測度所誘導的.文獻[8]在一般的偏序集上引入了測度拓撲和全測度的概念,同時討論了連續偏序集上的測度拓撲和全測度的性質.文獻[9-11]廣泛研究了偏序集上的s2連續性,并得到了很多有意義的結論.本文在此基礎上進一步探討s2連續偏序集以及弱Scott拓撲的一些性質,定義了弱測度拓撲,并研究了弱測度拓撲與其它內蘊拓撲間的關系,利用測度拓撲刻畫了偏序集的s2交連續性,同時研究了弱Scott拓撲的連通性.這一工作提供了認識偏序集連續性的一個新方向,有助于偏序集理論的研究.

1 預備知識

首先介紹偏序集的一些基本概念[12].設L為偏序集,任給A?L,記

↑A={x∈L:?a∈A,a≤x},↓A={x∈L:?a∈A,x≤a}.

若A為單點集{a},則記↑A=↑a,↓A=↓a.如果↑A=A,則稱A為上集;同理可定義下集.用A↑與A↓分別表示A的所有上界和所有下界的集合.令Aδ=(A↑)↓,稱Aδ為A的正規完備化算子,顯然Aδ為下集,令δ(L)={Aδ:A?L}.設L為偏序集,任給x,y∈L,如果對任意定向集D?L,y∈Dδ意味著D∩↑x≠?,則稱x逼近y,記為x?y.記

x={y:x?y},x={y:y?x},K(L)={x∈L:x?x}.

定義 1.1[12]設L為偏序集,w(L)為L的所有非空有限子集的集合:

1) 若任意x∈L,定向集D?L,x∈Dδ蘊含x∈clσ2(D∩↓x),則稱L為s2交連續偏序集;

命題 1.1[12]設L為偏序集,則L是s2連續偏序集當且僅當L是s2擬連續的和s2交連續的.

設L為偏序集,任給子集U?L,如果U=↑U且對任意的定向子集D?L,Dδ∩U≠?意味著D∩U≠?,則稱U為σ2開集.所有的σ2開集構成一個拓撲,稱為弱Scott拓撲[12],記為σ2(L).設L為偏序集,則L的所有上集構成一個集合,稱為Alexandrov拓撲,記為α(L).對偶地,L的全體下集形成的拓撲,稱為對偶Alexandrov拓撲,記為α*(L).以{L↓x:x∈L}為開子基形成的拓撲稱為下拓撲,記為ω(L);稱σ2拓撲與下拓撲的共同加細λ2(L)=ω(L)∨σ2(L)為弱Lawson拓撲.

命題 1.2[12]設L為偏序集,則:

1) 如果L是s2連續偏序集,則{x:x∈L}為弱Scott拓撲的基;

2) 如果L是s2擬連續偏序集,令F={x:F?x},則{F:F∈w(L)}為弱Scott拓撲的基.

定義 1.2設L為偏序集,B?L,若x∈L,?Bx?B∩x,使Bx是定向集且x∈(Bx)δ,則稱B為L的基.

命題 1.3[13]設P、Q為偏序集,f:P→Q,則f是σ2連續的,即f:(P,σ2(P))→(P,σ2(Q))連續當且僅當任意定向集D?P,f(Dδ)?(f(D))δ.

定義 1.3[14]設X為拓撲空間,如果X中不存在2個非空閉集A、B使A∪B=X且A∩B=?,則稱X是連通空間.如果X的子集A作為子空間是連通空間,則稱A是X的連通子集.

眾所周知,拓撲空間X是連通空間當且僅當X中不存在2個非空開集A、B使得A∪B=X且A∩B=?.

定義 1.4[15]設L為偏序集:

命題 1.4[15]設L為s2代數偏序集,任意x,y∈L,x?y,則存在k∈K(L)使得x≤k≤y.

2 s2連續偏序集的伴隨性質

定義 2.1[16]設P、Q為偏序集,g:P→Q,d:Q→P,若g、d都是保序的,且x∈P,y∈Q,g(x)≥y當且僅當x≥d(y),則稱映射(g,d)為P,Q間的伴隨,此時稱g為d的上伴隨,d為g的下伴隨.

易知(g,d)為P,Q間的一個伴隨當且僅當d°g≤1P,g°d≥1Q.

命題 2.1設P、Q是s2連續偏序集,映射(g,d)為P、Q間的一個伴隨,則下列等價:

1) g是σ2連續的;

2) U∈σ2(Q),↑d(U)∈σ2(P);

3) x,y∈Q,若x?y,則d(x)?d(y).

證明1)?2) 如果x∈↑d(U),則存在u∈U使得x≥d(u),則g(x)≥u.由U∈σ2(Q)知存在u′∈U使得u′?u≤g(x),所以u′?g(x).設D?P是定向集,且dg(x)∈Dδ.由于g是σ2連續的,則g(Dδ)?(g(D))δ,即gdg(x)∈g(Dδ)?(g(D))δ.由g°d≥1Q知g(x)≤gdg(x),則g(x)∈(g(D))δ.因為u′?g(x),則存在d∈D使得u′≤g(d).而d(u′)≤dg(d)≤d,d(u′)?dg(x)≤x,即d(u′)?x.則任意x∈↑d(U)∈σ2(P),存在d(u′)∈↑d(U)使得d(u′)?x,所以↑d(U)∈σ2(P).

2)?1) 任意U∈σ2(Q),若證g是σ2連續的,只需證g-1(U)∈σ2(P).下證g-1(U)=↑d(U).任意x∈g-1(U),則g(x)∈U,則存在u∈U使得u?g(x),則d(u)≤x,因此x∈↑d(U).反之,任意x′∈↑d(U),存在u′∈U使d(u′)≤x′,則u′≤g(x′),而U是上集,所以g(x′)∈U,x′∈g-1(U)．因此g-1(U)=↑d(U),從而g是σ2連續的.

1)?3) 設x,y∈Q,若x?y.設D?P為定向集,d(y)∈Dδ.由g為σ2連續的,則g(Dδ)?(g(D))δ.又y≤gd(y),則x?gd(y),因此存在d∈D使得x≤g(d),則d(x)≤dg(d)≤d,所以d(x)?d(y).

3)?1) 任意U∈σ2(Q),若證g是σ2連續的,只需證g-1(U)∈σ2(P).事實上,任意x∈g-1(U),g(x)∈U,由s2連續知存在u∈U使得u?g(x),則d(u)?dg(x)≤x,而gd(u)≥u∈U,因此d(u)∈g-1(U),則x∈d(u)∈g-1(U),則g-1(U)∈σ2(P),g是σ2連續的.

命題 2.2設P、Q是s2連續偏序集,映射d:Q→P是保序的:

1) x,y∈Q,若x?y,則d(x)?d(y);

2) d(K(Q))?K(P),則1)?2),如果Q是s2代數連續的,則1)與2)等價.

證明1)?2) 顯然成立;

2)?1) 如果Q是s2代數連續的,設x,y∈Q,x?y,由Q是s2代數的,存在k∈K(Q)使得x≤k≤y,又d(k)∈K(P),則d(x)?d(y).

推論 2.1設P是s2連續偏序集,Q是s2代數連續的,映射(g,d)為P,Q間的一個伴隨,則下列等價:

1) g是σ2連續的;

2) U∈σ2(Q),↑d(U)∈σ2(P);

3) x,y∈Q,若x?y,則d(x)?d(y);

4) d(K(Q))?K(P).

3 弱測度拓撲

3.1 s2連續偏序集與弱測度拓撲

定義 3.1稱偏序集L上的σ2拓撲和對偶Alexandrov拓撲的共同加細α*(L)∨σ2(L)為L上的弱測度拓撲,記為μ2(L).

由定義顯然有弱Lawson拓撲粗于弱測度拓撲,即有σ2(L)?λ2(L)?μ2(L).

命題 3.1設L是s2連續偏序集,則B={x∩↓y:x,y∈L}是μ2(L)的一個基.

證明因為x和↓y分別是σ2拓撲和對偶Alexandrov拓撲中的開集,則B?μ2(L).而{x:x∈L}和{↓y:y∈L}分別是σ2拓撲和對偶Alexandrov拓撲的基,故μ2(L)有子基{x:x∈L}∪{↓y:y∈L}.而x∈U∈μ2(L),則存在有限集E,F?L使得x∈(∩e∈Ee)∩(∩f∈F↓f)?U.從而e?x≤f對任意的e∈E,f∈F都成立.由L的s2連續得知x定向,從而存在z∈x使得任意e∈E,e≤z?x.于是有z∩↓x∈B且x∈z∩↓x?U,這說明B是μ2(L)的基.

命題 3.2設L是s2連續偏序集,U∈σ2(L),W為下集,則↑(U∩W)∈σ2(L).

證明設D是L的定向子集,且Dδ∩↑(U∩W)≠?,令d∈Dδ∩↑(U∩W)≠?,則存在x∈U∩W使得x≤d,則x∈Dδ.由L是s2連續且U∈σ2(L),存在t∈U使t?x≤d.于是由x∈Dδ和t?x知存在d′∈D∩↑t.再由x∈W和W為下集知t∈W,即t∈U∩W.于是d′∈D∩↑(U∩W).由σ2開集的定義知↑(U∩W)∈σ2(L).

命題 3.3設L是s2連續偏序集,則下列成立:

1) 若U∈μ2(L),則↑U∈σ2(L).進一步地,如果U是上集,則U∈μ2(L)當且僅當U∈σ2(L);

2) x∈L是緊元當且僅當{x}∈μ2(L);

3) 若A?L是上集,intσ(A)=intλ(A)=intμ(A);

4) 若B?L是下集,則clσ(A)=clλ(A)=clμ(A).

證明1) 設U∈μ2(L),t∈↑U.不妨設u≤t,u∈U,則存在x,y∈L使得u∈x∩↓y?U,則t∈↑(x∩↓y).由命題3.2知↑(x∩↓y)∈σ2(L),這說明在σ2拓撲中,t為↑U的內點.由t∈↑U的任意性知↑U中的點都是內點,則↑U∈σ2(L).如果U是上集,顯然U∈μ2(L)當且僅當U∈σ2(L).

3) 設A?L是上集.由σ2(L)?λ2(L)?μ2(L)知intσ(A)?intλ(A)?intμ(A).因為intμ(A)?↑intμ(A)?↑A=A且由1)得↑intμ(A)∈σ2(L),則intσ(A)?intμ(A).從而有intσ(A)=intλ(A)=intμ(A).

4) 由3)知顯然.

易知如果U為弱測度拓撲中的閉集,則↓U對定向集的正規完備算子一般不封閉.

3.2 s2交連續偏序集與弱測度拓撲偏序集的s2連續性可以保證弱測度拓撲的很多性質,但弱測度拓撲并不能用來刻畫s2連續偏序集.事實上,弱測度拓撲與s2交連續偏序集息息相關.下一定理表明,利用偏序集上的弱測度拓撲可以刻畫s2交連續性.

定理 3.1設L是偏序集,則下列條件等價:

1) L是交連續偏序集;

2) U∈σ2(L),x∈L,則↑(U∩↓x)∈σ2(L);

3) U∈σ2(L),A為下集,↑(U∩A)∈σ2(L);

4) U∈μ2(L),有↑U∈σ2(L).

證明1)?2) 由文獻[9]中引理4.2可得.

2)?3) 設U∈σ2(L),A為下集,則

3)?4) 設U∈μ2(L),任意t∈↑U,則存在u∈U,u≤t.由U∈μ2(L)知存在V∈σ2(L)以及下集A使得u∈V∩A?U,t∈↑(V∩A).由已知可知↑(V∩A)∈σ2(L),則在σ2拓撲下,t是↑U的內點.由任意性知↑U∈σ2(L).

4)?2) 設U∈σ2(L),x∈L,有(U∩↓x)∈μ2(L),則↑(U∩↓x)∈σ2(L).

命題 3.4設L是s2擬連續偏序集,則B={F∩↓y:F∈w(L),y∈L}是μ2(L)的基.

證明與命題3.1類似,不再贅述.

命題 3.5設L是偏序集,則下列等價:

1) L是s2連續偏序集;

2) L是s2擬連續偏序集且如果U∈σ2(L),A為下集,↑(U∩A)∈σ2(L);

3) L是s2擬連續偏序集且如果U∈μ2(L),有↑U∈σ2(L).

4 σ2拓撲的連通性

定義 4.1[17]設L為偏序集,x∈L:

命題 4.1[17]設L是偏序集,則L不序連通當且僅當存在L的2個非空子集A、B使得A∪B=L,A∩B=?且A、B既是上集又是下集.

命題 4.2設L是偏序集,則L為序連通的當且僅當(L,σ2(L))連通.

證明設(L,σ2(L))是連通的,用反證法.若L不序連通,由命題4.1得L中存在2個非空子集A、B使得A∪B=L,A∩B=?且A、B既是上集又是下集.此時,對A中任一定向集D,由于A既是上集又是下集,則Dδ?A時,故A是σ2閉集.同理A是σ2閉集,這樣便得(L,σ2(L))不連通,矛盾,則L為序連通.反之,設L為序連通的,假設(L,σ2(L))不是連通的,則存在2個非空開集A、B使A∪B=X且A∩B=?,則A、B均是上集.設x∈A,y≤x,如果y∈A,則y∈B,由B為上集知x∈B,與x∈A矛盾,故A為下集.同理B為下集.與L為序連通的矛盾,故(L,σ2(L))是連通的.

推論 4.1設L是偏序集,若(L,σ2(L))連通,則空間(L,λ2(L)),(L,μ2(L))均連通.

致謝2021年高等學校大學數學教學研究與發展中心教學改革項目(CMC20210115)對本文給予了資助,謹致謝意.