幾類一元模糊代數方程的可解性條件

蘇 歡, 潘小東, 付 凱

(西南交通大學 數學學院, 四川 成都 611756)

自1965年Zadeh引入模糊集合[1]的概念以來,由于其極其廣泛的應用需求,模糊集理論及其應用受到了眾多學者的廣泛關注[2-5].經過近60年來的發展,模糊集合無論是在理論還是在應用方面都取得了長足的進步[6-8].Zadeh的模糊集合是對模糊概念外延的形式化描述,但其定義過于寬泛,并沒有反映出模糊現象的本質及其主要特征,正是由于這個原因,難以確定其隸屬函數也成為模糊集理論和應用研究過程中出現諸多爭議的關鍵所在.盡管許多學者對Zadeh的模糊集概念從不同角度進行了擴展[9-12],也取得了許多很有意義的研究成果[13-17],但并沒有從根本上解決這個問題.

1 預備知識

下面主要介紹序與格以及公理化模糊集合理論的一些基本概念、結論和記號.

定義 1.1[21]非空集合E上的二元關系R若具有自反性、反對稱性和傳遞性,則稱R為E上的序關系或偏序關系.

定義 1.2[21]設(E,≤)為偏序集,D?E.如果D具有以下性質

?x∈D,y∈E,y≤x?y∈D,則稱D為E的下集.對偶地,定義上集為滿足以下條件的子集

?x∈D,y∈E,y≥x?y∈D.

定義 1.3[22]在一個偏序集(L,≤)中,如果任意2個元素x、y都有上確界x∨y和下確界x∧y,則稱偏序集(L,≤)為一個格.

定義 1.4[22]設S是格L的一個子集,若?a,b∈S,總有a∧b∈S,a∨b∈S,則稱S為L的一個子格.如果還滿足:?a,b∈S,?x∈L,如果a≤x≤b,則x∈S,這時稱S為L的一個凸子格.

定義 1.5[22]設L是一個格,如果L的任意非空子集S都有上確界∨S和下確界∧S,則稱L是完備格.

定義 1.6[21]設L是一個格,如果對L中的任意元x、y、z都有:

1)x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z),2)x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z),則稱L是分配格.

定義 1.7[21]如果格L的子格I同時又是下集,則稱I為格L的理想.對偶地,如果子格F同時又是上集,則稱F為格L的濾子.

定理 1.1[21]設L為格,I是L的非空子集,則I為L的理想當且僅當I是下集且對并運算封閉.對偶地,設L為格,F是L的非空子集,則F為L的濾子當且僅當F是上集且對交運算封閉.

定義 1.8[23]設(X,≤)為偏序集,映射N:X→X,且?a,b∈X,滿足:

1)a≤b?N(b)≤N(a)(逆序對應),2)N(N(a))=a(對偶律或復原律),稱N為X上的偽補或逆序對合算子或對合否算子,逆序對合算子也叫強否定算子.

定義 1.9[23]映射T:[0,1]×[0,1]→[0,1],如果?a,b,c,d∈[0,1]滿足條件:

1) 交換律T(a,b)=T(b,a);

2) 結合律T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c));

3) 單調性a≤b,b≤c?T(a,b)≤T(c,d);

4) 邊界條件T(1,a)=a;

則稱T為[0,1]上的t-模.

定義 1.10[23]映射⊥:[0,1]×[0,1]→[0,1],如果?a,b,c,d∈[0,1]滿足條件:

1) 交換律⊥(a,b)=⊥(b,a);

2) 結合律⊥(⊥(a,b),c)=⊥(a,⊥(b,c));

3) 單調性a≤b,b≤c?⊥(a,b)≤⊥(c,d);

4) 邊界條件⊥(a,0)=a;

則稱⊥為[0,1]上的t-余模.

本文記t-模取小為?M,t-余模取大為⊕M,它們常稱為Zadeh算子.

定義 1.11[24]若

而f在點x0無定義,或有定義但f(x0)≠A,則稱x0為f的可去間斷點.

定義 1.12[24]若函數f在點x0的左、右極限都存在,但

則稱點x0為函數f的跳躍間斷點.

可去間斷點和跳躍間斷點統稱為第一類間斷點,第一類間斷點的特點是函數在該點處的左、右極限都存在.

定義 1.13[25]設M是(,∨,→)型代數,如果:

1)M上有偏序≤使(M,≤)成為有界分配格,且∨是關于序的上確界運算;

3) 對于任意的x,y,z∈M,以下條件成立:

(M1)x→y=y→x;

(M2) 1→x=x,x→x=1;

(M3)y→z≤(x→y)→(x→z);

(M4)x→(y→z)=y→(x→z);

(M5)x→y∨z=(x→y)∨(x→z),x→y∧z=(x→y)∧(x→z);

(M6) (x→y)∨((x→y)→x∨y)=1;

這里1是(M,≤)中的最大元,則稱M為R0-代數.

定義 1.14[26](模糊劃分) 設U=[a,b]?R,U上的一個模糊劃分指的是具有如下形式的對象:

其中

Ai={(x,uAi(x))|x∈U},i=1,2,…,n,函數

uAi:U→[0,1],i=1,2,…,n

定義了元素x∈U關于類Ai(代表某種質,即定性描述的類)的隸屬度,并且滿足下面的條件:

uAi(x0)=1;

uAi(x0)=1,那么uAi(x)在[a,x0]上不減,在[x0,b]上不增;

4) 對任意的x∈U,滿足

0

若把上述定義中的條件4)替換為:對任意的x∈U,滿足

基于模糊劃分,下面給出模糊集合的公理化定義.

定義 1.15[26](公理化模糊集合) 設

uA(x)=uAi(x)

對所有x∈U都成立,那么

2) 如果uA(x)=1對所有x∈U都成立,那么

3) 如果

且r∈R+,那么

4) 如果

那么

5) 如果

那么

B1∩?B2∩?…∩?Bn∩?…=

B1∪⊕B2∪⊕…∪⊕Bn∪⊕…=

N(a)=1-a=aN.

同時為了方便,把

A={(x,uA(x))|x∈U}

2 模糊空間的序結構

要討論模糊代數方程的可解性以及對其解集進行刻畫,必然離不開與之緊密相連的模糊空間.因此,下面對模糊空間的序結構進行研究.

A(x)≤B(x),那么稱B包含A,或A被包含于B,并記為A?B或B?A;若任意

x∈U,A(x)=B(x),則稱A與B相等,記為A=B.

證明若任意

則對任意x∈U都有

A(x)≤A(x)⊕MB(x)=(A∪⊕MB)(x)

且

B(x)≤A(x)⊕MB(x)=(A∪⊕MB)(x),那么A?A∪⊕MB且B?A∪⊕MB.因此,A∪⊕MB是{A,B}的上界.

若T是{A,B}的任一上界,則可知A?T且B?T,那么對任意x∈U都有

A(x)≤T(x)

且

B(x)≤T(x),從而

(A∪⊕MB)(x)=A(x)⊕MB(x)≤T(x).

因此

A∪⊕MB?T,故A∪⊕MB是{A,B}關于序?的上確界.對偶地,易證A∩?MB是關于序?的下確界,并且

關于序?的最大元與最小元,故

是有界格.

命題 2.1[19]設

則

(A∪⊕MB)∩?MC=(A∩?MC)∪⊕M(B∩?MC),(A∩?MB)∪⊕MC=(A∪⊕MC)∩?M(B∪⊕MC).

證明由定義1.15的5)以及命題2.1可知該結論成立.

其哈斯圖如圖1所示,且

圖 1 例2.1運算1次的哈斯圖

令

Fig. 2 Example 2.1 Haas diagram with two operations

注 2.1通過例2.1可知,當模糊劃分中只有一個模糊集時,經過2次(r,R,N,∪⊕M,∩?M)運算生成的公理化模糊集合的全體是具有19個元素的格.若不對運算次數作限制,那么由一個模糊集生成的公理化模糊集合的全體是具有無限個元素的格.

定義 2.2定義映射

1)AN∪⊕MB?A→RB;

2)A?B→RC?B?A→RC;

6)A∩?MAN?B∪⊕MBN;

7)A→RC?(A→RB)∪⊕M(B→RC);

8)A∪⊕MB?((A→RB)→RB)∩?M((B→RA)→RA);

9) (A∪⊕MB)→RC=(A→RC)∩?M(B→RC),(A∩?MB)→RC=(A→RC)∪⊕M(B→RC);

10) 若B?C,則A→RB?A→RC,若A?C,則A→RC?B→RC;

11)A→RB?(A∩?MC)→R(B∩?MC),A→RB?(A∪⊕MC)→R(B∪⊕MC).

證明由推論2.1以及→R的定義易證結論成立.

3 模糊代數方程

{∪⊕,∩?,→,r,N}

中的一些運算符號將公理化模糊集合連接而成的式子為模糊代數多項式.

僅含有一個未知變元的模糊代數方程稱為一元模糊代數方程.

定義 3.3能使模糊代數方程左右兩邊相等的未知變元的取值稱為模糊代數方程的解.由模糊代數方程所有解所組成的集合稱為模糊代數方程的解集.

A∪⊕MXr0=B,

(1)

A∩?MXr0=B.

(2)

記

定理 3.11)S1≠?當且僅當A?B;

證明1) 充分性 若A?B,則對任意x∈U都有A(x)≤B(x),那么有

必要性 若S1≠?,則存在

使A∪⊕MXr0=B,即對任意x∈U有

(A∪⊕MXr0)(x)=A(x)⊕MXr0(x)=B(x),從而對任意x∈U有A(x)≤B(x),故A?B.

2) 當S1≠?時,若X,Y∈S1,則A∪⊕MXr0=B且A∪⊕MYr0=B,由

(A∪⊕M(X∪⊕MY)r0)(x)=

A(x)⊕M(Xr0(x)⊕MYr0(x))=

A(x)⊕MA(x)⊕MXr0(x)⊕MYr0(x)=

(A(x)⊕MXr0(x))⊕M(A(x)⊕MYr0(x))=

B(x)⊕MB(x)=B(x),可知X∪⊕MY∈S1.由

(A∪⊕M(X∩?MY)r0)(x)=

A(x)⊕M(Xr0(x)?MYr0(x))=

(A(x)⊕MXr0(x))?M(A(x)⊕MYr0(x))=

B(x)?MB(x)=B(x),可知X∩?MY∈S1,從而S1構成

的一個子格.

對任意

如果X?Z?Y,那么有

B=A∪⊕MXr0?A∪⊕MZr0?

A∪⊕MYr0=B,即

已知

求解A∪⊕MX2=B.

解由題可知

對任意x∈[0,2]有

B(x)=(A∪⊕MB)(x)=

因此,對任意x∈[0,2]有

A(x)≤B(x),即A?B,那么,由定理3.1知該方程有解并且

是該方程最大解.

顯然有

又因為

所以

由

(A∪⊕M(X∩?MY)r0)(x)=

A(x)⊕M(Xr0(x)?MYr0(x))=

(A(x)⊕MXr0(x))?M(A(x)⊕MYr0(x))=

推論 3.2在方程(1)中,若A=B,則

根據以上結論,對于方程(2),對偶地可以得到下面的定理,其證明類似.

定理 3.21)S2≠?當且僅當A?B;

推論 3.4在方程(2)中,若A=B,則

A→Xr0=B,

(3)

Xr0→A=B,

(4)

A→(B→Xr0)=C,

(5)

(A→Xr0)→B=C.

(6)

記

定理 3.31)S3≠?當且僅當B∪⊕MAN=B;

證明1) 必要性 若S3≠?,則存在

使A→RXr0=B,即對任意x∈U有

B(x)=(A→RXr0)(x)=A(x)→RXr0(x)≥

AN(x)⊕MXr0(x)≥AN(x),那么AN?B,從而B∪⊕MAN=B.

充分性 若B∪⊕MAN=B,則

因為對任意x∈U有

(B→R(A→R(A→RBN)N))(x)=

B(x)→R(A(x)→R(A(x)→RBN(x))N)=

B(x)→R((A(x)→RBN(x))→RAN(x))=

B(x)→R((B(x)→RAN(x))→RAN(x))=

所以B?A→R(A→RBN)N.

要證明A→R(A→RBN)N?B,即證明

(B→RAN)→RAN?B.

對任意x∈U有

((B→RAN)→RAN)(x)=

(B(x)→RAN(x))→RAN(x)≤

(BN(x)⊕MAN(x))→RAN(x)=

(BN(x)⊕MAN(x))N⊕MAN(x)=

(B(x)?MA(x))⊕MAN(x)=

(B(x)⊕MAN(x))?M(A(x)⊕MAN(x))=

B(x)?M(A(x)⊕MAN(x))≤B(x),那么

A→R(A→RBN)N?B,從而

A→R(A→RBN)N=B.

2) 若X,Y∈S3,則有A→RXr0=B且A→RYr0=B.因為對任意x∈U有

(A→R(X∩?MY)r0)(x)=

(A(x)→R(X∩?MY)r0(x))=

A(x)→R(Xr0(x)?MYr0(x))=

(A(x)→RXr0(x))?M(A(x)→RYr0(x))=

B(x)?MB(x)=B(x),所以X∩?MY∈S3.又因為

(A→R(X∪⊕MY)r0)(x)=

A(x)→R(X∪⊕MY)r0(x)=

A(x)→R(Xr0(x)⊕MYr0(x))=

(A(x)→RXr0(x))⊕M(A(x)→RYr0(x))=

B(x)⊕MB(x)=B(x),所以X∪⊕MY∈S3,從而S3構成

的一個子格.

另一方面,因為對任意x∈U有

(A→RXr0)(x)=B(x),那么

B(x)→R(A(x)→RXr0(x))=

B(x)→R((Xr0(x))N→RAN(x))=

(Xr0(x))N→R(B(x)→RAN(x))=

(B(x)→RAN(x))N→RXr0(x)=

(A(x)→RBN(x))N→RXr0(x)=

((A→RBN)N→RXr0)(x).

因此,(A→RBN)N?Xr0,即對任意x∈U有

3) 對任意X∈S3,任意x∈U有

B(x)=(A→RXr0)(x)=A(x)→RXr0(x)≥

(B∪⊕MA)(x)→RB(x)=

(B(x)⊕MA(x))→RB(x)=

(B(x)→RB(x))?M(A(x)→RB(x))=

A→RX2=B.

解由題可知

則對任意x∈[0,2]有

B(x)≠(B∪⊕MAN)(x)=

由定理3.3可知該方程無解.

A=A1∪⊕MA2∪⊕MA3,B=A2,求解A→RX2=B.

解由題可知

則對任意x∈[0,2]有

B(x)=(B∪⊕MAN)(x)=

因為

是該方程的最小解.

類似地,對于方程(4)～(6)可以得到下面的定理及推論,其證明相似.

定理 3.41)S4≠?當且僅當B∪⊕MA=B;

定理 3.51)S5≠?當且僅當

C∪⊕M(A→RBN)=C;

定理 3.61)S6≠?當且僅當(C→RB)∪⊕MA=C→RB且B?C;

3) 對任意X∈S6均有

前面討論了第1類關于∪⊕M和∩?M以及第2類關于蘊涵算子的模糊代數方程,下面討論由第1類和第2類組合而成的模糊代數方程.

A→(B∪⊕MXr0)=C,

(7)

A→(B∩?MXr0)=C,

(8)

(A∪⊕MXr0)→B=C,

(9)

(A∩?MXr0)→B=C.

(10)

記

定理 3.71) 若S7≠?,則C∪⊕MAN=C且B?C.當C∪⊕MAN=C且B?C時,如果

其中

證明1) 若S7≠?,則存在

使A→R(B∪⊕MXr0)=C,也就是存在

使

B∪⊕MXr0=Y

且A→RY=C.由定理3.1和定理3.3容易得到

C∪⊕MAN=C

且B?C.當C∪⊕MAN=C且B?C時,如果

C(x)=(A→R(B∪⊕MXr0))(x)=

A(x)→R(B∪⊕MXr0)(x)=

A(x)→R(B(x)⊕MXr0(x))≥

2) 由于A→R(B∪⊕MXr0)=C等價于

(A→RB)∪⊕M(A→RXr0)=C.

B∪⊕MXr0=M

且A→RM=C,那么有

且

令

可知

因此

另一方面,有

是顯然成立的,故

根據以上定理可類推方程,容易得到以下定理成立.

定理 3.81)S8≠?當且僅當C∪⊕MAN=C且B?(A→RCN)N;

其中

定理 3.91)S9≠?當且僅當B∪⊕MC=C且A?C→RB;

其中

定理 3.101) 若S10≠?,則B∪⊕MC=C且CN?A.當B∪⊕MC=C且CN?A時,如果有

2) 當S10≠?時,S10構成

的一個凸子格,并且

其中

4 結束語