基于深度算子神經網絡的翼型失速顫振預測1)

席梓嚴 戴玉婷 , 黃廣靖 ,2) 楊 超

* (北京航空航天大學航空科學與工程學院,北京 100191)

? (天目山實驗室,杭州 310023)

引言

動氣動彈性問題是指非定常氣動力和柔性結構之間相互耦合作用導致的穩定性/動響應問題,具有重要的研究價值:一方面氣動彈性動響應可以用于振動俘能,張野等[1]利用翅片超表面將渦激振動轉變為馳振,顯著提升了俘能性能;另一方面動氣動彈性會帶來結構的大幅振動,導致飛行器結構破壞,比如失速顫振現象[2].失速顫振是彈性結構在初始大迎角下產生的一種單自由度自激振蕩現象.失速顫振主要出現在直升機旋翼與渦輪葉片中,大迎角飛行、強陣風等情況下亦有可能誘發機翼失速顫振.與經典彎扭耦合顫振不同的是,失速顫振過程伴隨著大尺度的流動分離與再附[3],氣動力非線性程度高,因此對于失速顫振失穩速度和振蕩幅值的高精度高效分析十分重要.Dimitriadis 等[4]開展了二自由度翼型風洞試驗研究,測量了失速顫振的分岔速度.Bhat 等[5]采用能量理論對失速顫振邊界進行了辨識.Poirel 等[6]在轉捩雷諾數下進行了失速顫振風洞試驗,研究了雷諾數對失速顫振特性的影響.

隨著計算流體力學(computational fluid dynamics,CFD)仿真技術的發展,CFD 被逐漸運用于動態失速與失速顫振研究中.Spentzos 等[7]基于CFD 方法對三維機翼動態失速特性進行了仿真研究;Yabili 等[8]基于OpenFOAM 開發了一流固耦合求解器,仿真求解二維翼型失速顫振問題.目前針對二維翼型在不同雷諾數下的失速顫振速度和極限環幅值多采用CFD 仿真進行研究[9-11].然而,對于失速顫振等流固耦合研究而言,CFD 方法存在計算時間長、迭代繁瑣等問題.為克服這些缺點,提出了非定常氣動力降階模型[12-15],旨在盡量保證精度的前提下提高計算效率.

降階模型可分為線性模型與非線性模型兩種.線性模型包括自回歸滑動平均模型[16-17]、Volterra級數模型[18]等,對于線性或弱非線性氣動力建模有著良好的效果.然而對于動態失速這類強非線性數據,則需要采用以神經網絡為代表的非線性數據驅動降階模型[19-21]進行建模.Wang 等[22]建立了基于多保真度數據的機器學習框架,對動態失速氣動力進行機器學習建模,展現了較好的泛化能力.對于時域非定常氣動力而言,為時序數據所設計的循環神經網絡(recurrent neural network,RNN)也具有良好的效果.Mohamed 等[23]開展了二維翼型動態失速試驗,并采用雙向長短時記憶(long short-term memory,LSTM)神經網絡對實驗數據進行學習與預測,結果證明雙向LSTM 能夠捕捉極端迎角下翼型非定常氣動力的物理特性.Dai 等[24]使用門限循環單元(gated recurrent unit,GRU)的循環神經網絡對翼型動態失速氣動力進行學習,并基于所建立的降階模型進行了失速顫振幅值與分岔速度預測,獲得良好效果.Li 等[25]采用LSTM 神經網絡對二維翼型非定常氣動力進行學習,并進行氣動彈性響應預測.Dou 等[26]同樣基于LSTM 建立了二維翼型非定常氣動力降階模型,與結構動力學方程進行耦合,預測跨音速抖振現象.

Lu 等[27]基于算子學習的理念,提出了深度算子神經網絡.深度算子神經網絡基于數據對線性或非線性算子進行學習,具有收斂速度快、泛化能力強的優勢,被用于求解微分方程[28]、邊界層不穩定波[29]和裂紋擴展[30]等問題.同時,深度算子神經網絡具有極強的可擴展性,其包含的兩個子網絡可根據需要選擇合適的類型.Lu 等[31]就提出了深度算子神經網絡的多種擴展形式,在Burgers 方程、對流問題、可壓縮Euler 方程和小幅俯仰振蕩翼型表面渦強度等算例上對這些擴展形式進行驗證,表明采用適當擴展形式的深度算子神經網絡能夠在多種問題中表現出良好的精度.Garg 等[32]將動態系統的輸入變量與時間變量分別輸入深度算子神經網絡的兩個子網絡,對動態系統的時序響應進行學習與預測.

基于以上背景,本文基于研究[24]數據,將GRU 和LSTM 兩種單元與深度算子神經網絡相結合,進行動態失速非定常氣動力建模與失速顫振預測.本文對研究[24]中神經網絡的結構進行更改,以獲得更高的預測精度,并對其中的機理進行了初步的分析.

1 基于深度算子神經網絡的非定常氣動力數據驅動模型理論

傳統神經網絡學習的是數據I到數據O之間的函數關系K

與之不同的是,深度算子神經網絡學習的是從函數u(x) 到函數v(y) 的映射關系 G[27]

式中 G 即為算子.深度算子神經網絡中包含了branch net 與trunk net 兩個子網絡,分別以u與y作為輸入.若u為連續函數,則需要將其在定義域中取點集[x1,x2,···,xn],采樣為離散值 [u(x1),u(x2),···,u(xn)] 作為branch net 的輸入向量.采樣點的分布可根據需要進行選擇,但需在所有的輸入函數上保持一致.兩個子網絡的輸出向量分別定義為D=[d1,d2,···,dl]T與F=[f1,f2,···,fl]T,D與F做內積,并加上一偏置量b0,便得到深度算子神經網絡的輸出

為便于理解,在此以積分算子為例,對深度算子神經網絡的輸入輸出結構進行說明.定義一積分算子 G,采用深度算子神經網絡對其進行學習.滿足

其中u(x) 為輸入函數(被積函數),y為原函數的自變量.在此取u(x)=2x,則原函數為G(u(x))(y)=y2.設u(x) 定義域為 [ 0,1],在定義域上以平均間隔取20 個點 [ 0.05,0.1,···,1] 對u(x) 進行采樣,得到采樣集[0.1,0.2,···,2] .原函數的定義域同樣為 [ 0,1],在該域上隨機取100 個點 [y1,y2,···,y100],計算原函數的值,與采樣集一同構成訓練集,見下式

其中branch net 的輸入維度為20,與采樣集相匹配;trunk net 的輸入維度為1,與原函數的自變量維度相匹配.在訓練集上對深度算子神經網絡進行訓練,便可得到如圖1 所示的結果.

圖1 積分算子的神經網絡訓練結果Fig.1 Training result of integral operator

深度算子神經網絡的branch net 與trunk net 多為多層感知器(multilayer perceptron,MLP)神經網絡.而在本研究中,考慮到非定常氣動力的長時滯與強非線性特性,選擇GRU 與LSTM 兩種神經網絡單元的RNN 作為branch net,而trunk net 則為MLP神經網絡,形成了GRU-DeepONet (后稱為G-Deep-ONet)與LSTM-DeepONet (后稱為L-DeepONet).

本研究中,深度算子神經網絡的輸入為長度l的迎角序列 α=[ αn-l+1,αn-l+2,···,αn] 與相對時刻指示標量t,輸出為在給定迎角運動下相對時刻t處的俯仰力矩系數Cm

其中,α 直接與時滯效應相聯系,因而作為branch net 的輸入.t則作為trunk net 的輸入,取值范圍為[0,1],是時間步的歸一化表示.由于t的存在,深度算子神經網絡所學習和預測的時間步范圍 [t1,t2] 構成一組超參數,本研究中該范圍設定為后1/2 時間步,即t1=n/2,t2=n,l=50 .

branch net 中的RNN 網絡均為兩個隱含層,每層神經元個數為100.trunk net 均為3 個隱含層,每層神經元數量為100,激活函數 σ 為tanh.所構建的深度算子神經網絡結構如圖2 所示.同時,加入了只有GRU 與LSTM 的兩組傳統RNN 作為對照,以 α為輸入,最后一個時間步的Cm為輸出,網絡結構與branch net 保持一致.

圖2 深度算子神經網絡結構Fig.2 Structure of DeepONet

2 基于深度算子神經網絡的翼型俯仰振蕩氣動力預測結果與分析

研究對象為NACA0012 翼型,在訓練信號驅動下進行俯仰運動,進行CFD 計算得到相對應的氣動力系數,來流速度固定為8 m/s.使用的訓練數據與文獻[24]相同,訓練輸入信號為一正弦疊加形式的信號

其中,Ai為隨機選擇的大幅值,且最大值大于失速顫振極限環振蕩幅值,T為絕對時間.通過CFD 計算得到在如式(7)俯仰運動下NACA0012 翼型的俯仰力矩系數Cm,如圖3 所示.

圖3 訓練數據集Fig.3 Training dataset

同時,所有的數據均進行了z-score 標準化處理[33]以提高訓練速度,見下式

其中y為原始數據,與s分別為y的均值與標準差.y? 為標準化處理后的數據,其均值為0,標準差為1.

采用Adam 算法對幾種神經網絡進行訓練,初始學習率設置為0.001,并使用余弦退火方法[34]進行動態調節,以進一步提高模型的收斂性與泛化能力.損失函數為均方誤差MSE (mean squared loss).為更直觀地監控訓練過程,采用誤差e作為判定收斂的標準,其定義見下式

其中Cm,NN為神經網絡預測值,Cm,CFD為CFD 計算值,二者均為多個不同時間點的Cm值所拼接的矢量;式中范數為F范數.采用RTX3090 GPU 進行訓練,過程中的誤差曲線見圖4,待誤差小于10%并穩定后完成訓練.在相同誤差水平上,深度算子神經網絡訓練所需迭代次數為200 次左右,小于普通循環神經網絡的400 次.但在訓練總時長方面,深度算子神經網絡進行一次訓練所需時長為 2580 s,高于RNN的 721 s .

圖4 訓練過程Fig.4 Training process

對訓練后的幾種氣動力數據驅動模型進行泛化測試.選取了不同幅值與不同減縮頻率的正弦俯仰信號進行CFD 仿真計算,作為泛化測試的測試數據,測試結果見表1、圖5 和圖6.表1 中減縮頻率k的定義為k=ωc/(2U),式中 ω 為正弦信號圓頻率,c為弦長,U為來流速度.圖5 是對表1 所列相對誤差的統計,可見對于同一類型的RNN,trunk net 的加入使得泛化誤差平均值與中位數均降低了3%左右.同時,雖然最小誤差有所提高,但誤差的分散性大幅降低.可以認為深度算子神經網絡具有更好的泛化能力.而結構更復雜的LSTM 則比GRU 更好地捕捉到了氣動力中的非線性特征,體現在LSTM 與LDeepONet 平均泛化誤差均低于GRU 與G-Deep-ONet.深度算子神經網絡與RNN 最大的區別在于對時間進行編碼的trunk net,因而取訓練完成后的GDeepONet,進一步對trunk net 的作用進行研究.

表1 泛化誤差Table 1 Generalization error

圖6 部分工況泛化測試結果Fig.6 Generalization test results

根據式(3),trunk net 的輸出向量F與branch net的輸出向量D進行了內積,這一過程可以認為是對D的各分量進行了加權求和,fi為di的權重.圖7 展示了fi的絕對值隨t的變化情況,fi絕對值越大,則權重越高.由第1 節所述,當t=0 時,深度算子神經網絡的輸出值為絕對時間第n/2 步時的氣動力系數,對應i=25 ;當t=1 時,則對應i=50 .能夠發現,上述兩點之間存在一條明顯的高權重帶,說明與t所對應的fi值具有最高的權重;此外,圖中也存在其他規律性的結構,說明深度算子神經網絡所輸出的氣動力以t所對應的di值為主,并采用其他時間處的di值進行微調,在深度算子神經網絡中體現了氣動力的時滯特性,因此比普通RNN 提升了精度.

圖7 | fi| 隨 t 與 i 的變化Fig.7 | fi| heatmap

進一步對branch net 的輸出向量D進行拼接,并與CFD 計算的氣動力系數Cm進行對比,二者均進行了z-score 標準化處理,結果見圖8,能夠發現D與CFD 結果具有一定的相似性.可以認為,D與Cm具有相似的物理含義,而D通過與F內積進行權重調整后得到了高精度結果.

圖8 D 與CFD 計算值的對比Fig.8 Comparison between D and CFD results

3 基于氣動力數據驅動模型的失速顫振極限環預測與結果分析

單自由度二元翼型氣動彈性模型如圖9 所示.其氣動彈性方程如下

圖9 單自由度二元翼型氣動彈性模型Fig.9 Aeroelastic model of single-degree-of-freedom airfoil

其中,Iα為轉動慣量,Cα,ζ 與Kα分別為阻尼系數、阻尼比與剛度系數,M為俯仰力矩.c與b分別為翼型的弦長與展長,U為來流速度,這些參數取值與文獻[24]保持一致.將式(10)寫為狀態空間的形式,即下式,即可通過龍格-庫塔方法進行求解

表2 失速顫振預測極限環振蕩幅值Table 2 Predicted amplitude of stall flutter

圖10 8 m/s 極限環振蕩預測結果Fig.10 Stall flutter prediction result at 8 m/s

4 基于氣動力數據驅動模型的失速顫振分岔速度預測與結果分析

來流速度是影響失速顫振特性的重要因素之一,翼型動態失速氣動力特性隨來流速度變化顯著,因而需要對不同來流速度下的氣動力系數進行學習,從而準確預測失速顫振分岔速度.在此對第2 節所建立的氣動力數據驅動模型進行擴展,將來流速度U擴展為迎角序列矢量 α 的第2 分量,如下式所示,分別輸入RNN 與branch net,trunk net 則與上一節中相同

同樣地,采用文獻[24]中包含不同來流速度的訓練信號進行訓練.其中的來流速度為U=(6,7,8,9)m/s,呈階梯狀遞增.除輸入向量維度外,神經網絡的其他結構保持不變.訓練過程如圖11 所示,待誤差穩定并小于10%后完成訓練.

圖11 有速度輸入的訓練過程Fig.11 Training process with velocity input

同樣地,采用正弦信號對訓練后的神經網絡進行泛化測試.測試信號幅值為0.698 rad,減縮頻率為0.202,在不同來流速度下進行泛化測試,其中包括了9.5 m/s 的外插工況,結果見表3 與圖12.G-DeepONet與L-DeepONet 平均泛化誤差均低于GRU 與LSTM.在 9 .5 m/s 的外插工況下,預測誤差均顯著上升,但深度算子神經網絡組的預測誤差仍低于RNN 組,體現出了更好的泛化能力.

表3 不同速度輸入下的極限環振蕩幅值泛化誤差Table 3 Generalization error with different flow velocities

圖12 失速顫振幅值隨來流速度的變化Fig.12 Stall flutter amplitude versus velocity

選取L-DeepONet 進行失速顫振分岔速度預測,并與流固耦合結果進行對比,結果見圖13.有速度輸入時,所建立的數據驅動模型能夠較好地預測失速顫振分岔現象,分岔速度為7.5 m/s,而流固耦合分岔速度在7～7.5 m/s 之間,取中值7.25 m/s,相對誤差為3.45%.而無速度輸入組則沒有明顯的分岔現象.

圖13 不同速度輸入下的泛化測試結果Fig.13 Generalization test results with different velocities

最后對流固耦合方法與數據驅動建模方法的預測時間進行對比.基于CFD 的流固耦合方法對圖13中7 個來流速度進行計算的總耗時為8404 s,而兩種L-DeepONet 預測時長均為7.5 s,具有更高的預測效率.

5 結論

本文提出了一種基于深度算子神經網絡的翼型非定常氣動力數據驅動建模方法,實現了基于深度算子神經網絡氣動力數據驅動模型的二維翼型失速顫振分析.

(1)在氣動力預測方面,深度算子神經網絡數據驅動模型與傳統RNN 相比引入了主干網絡,通過主干網絡對RNN 的輸出進行了不同時間步氣動力的權重優化,更能體現非定常氣動力的時滯特性,也具有更低的泛化誤差,同時誤差分散性大幅降低.

(2)在失速顫振極限環振蕩幅值預測方面,在相同網絡結構參數下,基于深度算子神經網絡模型的幅值預測誤差在2%以內,優于基于RNN 模型的預測結果.

(3)在失速顫振分岔速度預測方面,考慮速度輸入的數據驅動模型預測精度顯著高于沒有速度輸入的數據驅動模型.