注重基本經驗，提升思維品質

張喜峰

一、原題呈現

二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且A（?1，0），B（4，0）.

（1）求此二次函數的表達式.

（2）如圖1，拋物線的對稱軸m與x軸交于點E，CD⊥m，垂足為D，點，動點N在線段DE上運動，連接CF，CN，FN，若以點C，D，N為頂點的三角形與△FEN相似，求點N的坐標.

（3）如圖2，點M在拋物線上，且點M的橫坐標是1，點P為拋物線上一動點，若∠PMA=45°，求點P的坐標.

分析：這是一道較為典型的二次函數綜合題，將三角形知識與二次函數相結合，綜合考查學生對于三角形相似的判定和性質，二次函數基本性質的掌握情況，方法比較開放，筆者在此列舉（3）的三種常見解法，從不同的角度對此問題進行探究.

1. （2）解法如下：

解：（1）當x=0時，y=4，∴C（0，4）?.設拋物線的表達式為，將點C的坐標代入得：，解得，?∴拋物線的表達式為.

（2）設點N的坐標為則，由于∠CDN與∠FEN對應關系確定，分以下兩種情況討論

①?當△CDN∽△FEN時，即，解得

∴點N的坐標為

（3）②?當△CDN∽△NEF時，即，解得：

∴點N的坐標為

綜上所述，點N的坐標為或

二、解法賞析

1 .構造等腰Rt△，利用“三直角”模型

解1：如圖3，過A點作AD⊥MP，垂足為D，過D點作x軸的垂線DF，垂足為F，過M點作ME∥x軸，交DF于E，過M點作x軸的垂線MG，垂足為G.

∵∠AMP=45°，AD⊥MP

∴△AMD為等腰Rt△

∴AD=MD

易證△ADF≌△DME ∴?DF=ME，AF=DE

由點M的橫坐標是1得M（1，6），∴E點縱坐標也為6即EF=6；

設點D的橫坐標為d，又A（?1，0），

則DE=AF=d+1，DF=ME=d-1

又∵DE+DF=EF=6∴d+1+d-1=6 ∴d=3

∴DE=AF=4由△ADF∽△DPF或射影定理可得PF=1

∴P（4，0）

評注：由于45°角的存在，易想到構造等腰Rt△，由A點作垂線，也容易想到.由于構造出的等腰Rt△在平面直角坐標系中是較為“一般”的（沒有邊坐標軸平行或重合），因此可以通過過直角定點作坐標軸垂線的方法構造“三垂直”模型，結合等腰Rt△的性質，可得一組全等三角形.但此處相等的邊只有AD，MD為已知，因此充分利用A，M這兩個已知點，發現DE與DF的和為定值，即可解決.

此方法中構造等腰Rt△和“三直角”模型的輔助線，學生能想到，但最后一步建立等量關系求出D點坐標，部分學生方法不夠簡潔，需要優化.

還有過N點作垂直的方法也類似，不做展開，見圖3-1

解2：如圖4，過A點作AK⊥AM，交拋物線于K，過A點作x軸的垂線LQ，分別過K，M作x軸平行線交LQ于L，Q點.

∵∠AMP=45°，AK⊥AM

∴△AMK為等腰Rt△

∴AM=AK

易證△AML≌△AKQ

∴?KQ=ML，AQ=AL由點M的橫坐標是1得M（1，6），

∴L點縱坐標也為6即AL=KQ=6；

又A（?1，0），則ML=2=AQ

∴K（5，?2）

由M，K坐標解得直線MK的表達式為y=?2x+8

∴?P（4，0）

評注：此方法的思路基本與第一種一致，但算法上更為簡潔。不同之處在于以A點作為等腰Rt△的直角頂點，此時在構造出的△AML中，三邊均為已知，即可解決.

三、題后反思

1. 夯實基本技能，善于發現通法

本文所述題目綜合性較強，既體現在命題設計中，在知識點上，綜合考查學生對于二次函數基本性質，三角形相似的判定與性質的掌握情況，在思想方法上，考查學生能否在解決第二問之后，將“三垂直”模型進行遷移；本題的綜合性還體現于筆者對于審題和解題的感悟之中.合理的審題，迅速挖掘出題中包含的基本圖形及特殊角，對于找到解題抓手有很大幫助.以上輔助線的添加，基本圖形的構造，離不開有效的審題. 因此，在解題教學中，教師應多讓學生闡述解題思路的由來，注重基本策略的積累，并指導學生將題目中的信息與已有的知識有機組合，與已有的模型合理聯系，直至解決問題.

2.注重反思歸納，優化解題之術

一題多解，是通過多種解題方法的展示，挖掘方法背后蘊含的基本數學思想、方法，不僅能學生從題海中解脫出來，還有助于培養學生的求簡意識和創新能力。因此，解體后的反思，方法的歸納梳理，才是學生能力的增長點，這也對教師的專業素養提出了較高的要求.原題中解法2與解法1相比，優點就在于充分利用了已知線段，簡化了計算.

3.積累活動經驗，提升思維品質

本題解法3和4，源自學生的課堂生成，看似神來之筆，其實都脫胎于基本圖形。因此，無論課堂的設計還是考題的命制，都應該基于學生已有的知識和經驗，遵循知識發展邏輯。教師在新授課的教學設計中，要給予學生充分的時間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程，獲得基本的數學活動經驗.在解題教學中，引導學生通過合理審題，激活其已有的知識和經驗，是提升學生分析和解決問題能力的重要環節.注重基礎、關注技能、突出經驗、強化思想也是近年來中考的明顯趨勢. 一題多解，通過方法的展示，滲透基本思想方法，逐步將學生的思維引向深入，使學生的思維品質得到提升.

在設計新授課時，注重學習過程，讓學生掌握基礎知識和基本技能，同時經歷過程，積累活動經驗，是提升思維品質的基礎. 在解題教學中，充分給予學生探索和表達的機會，挖掘隱含的基本思想方法，是提升思維品質的途徑.