高中數學有效教學的實踐與思考

胡冬梅

［摘? 要］ 有效教學的設計需要從整體性、系統性出發，將“立德樹人”“促進學生全面發展”作為課堂教學的長遠目標. 研究者以“一元二次不等式”的教學為例，分別從“降低教學起點，引出主題”“分層推進，實現目標”“拓展延伸，提升能力”三方面展開分析，并從以下幾方面談一些看法：分層設計需要符合學生的實際認知；有效問題需要符合教學實際；豐富的課堂拓展渠道可以提高教學實效.

［關鍵詞］ 有效教學；一元二次不等式；問題

20世紀90年代末，我國開始對有效教學法進行大量研究，基于前人的研究，筆者提出教師可以從以下幾點界定什么是有效教學：①完整實施教學，包括備課、教學過程與評價等；②精心預設，為生成服務；③從效率與效益等角度思考教學成效；④從教學相長的程度來評判教學效果. 在此，筆者以“一元二次不等式”的教學為例，具體從以下幾方面談談如何開展有效教學，并提出幾點思考，與同行共勉.

有效教學的開展措施

1. 降低教學起點，引出主題

降低教學起點的目的在于照顧學生客觀存在的個體差異，通過初始難度的降低，讓每一個學生都能積極地投入到教學活動中來. 多層次是指教師在“低起點”的基礎上，結合學情與教情設計多個教學環節或問題，讓學生在跨度小、密度大的問題的引領下實現思維的拾級而上，也可以通過逐層遞進的題組訓練，為學生的思維提升搭建腳手架.

在這種教學模式下，每一個認知水平層次的學生都能一步一個腳印地接近或達成教學目標，為實現有效教學奠定基礎.

課堂伊始，教師展示一元二次函數y=x2－x的圖象，要求學生觀察其圖象與x軸的交點，并根據對應方程的根，獲得如下結論：一元二次函數y=x2－x的圖象和x軸交點的橫坐標為其所對應的方程x2－x=0的根0和1.

師：y=0時x取值0和1，那么y<0時，x取值多少？

生1：應該是大于0且小于1的數.

師：據此能獲得不等式x2－x<0的解集嗎？

生2：可以，解集為大于0且小于1的數的集合.

師：如何用數學語言來表示這個解集呢？

生3：｛x0

當學生順利寫出解集后，教師要求學生闡述這樣寫的理由. 學生表示x2－x<0實則為y<0，結合y=x2－x的圖象來分析，使y<0的x的取值范圍是｛x00的解集又是什么？”有了前面的探究基礎，學生很快就給出了答案：｛xx<0或x>1｝.

在此教學片段中，教師用一元二次函數y=x2－x的圖象和x軸的交點與對應方程的根的關系作為起點引出主題，這對高中生而言，起點較低，目標也很明確，班上所有學生都能發現一元二次函數y=x2－x的圖象和x軸交點的橫坐標實則為其所對應的方程x2－x=0的根0和1.

在教師的點撥下，學生的思維從y=0過渡到y<0，學生不僅能自然理解，還能流暢接受. 趁學生的思維處于“溫熱”階段，教師又提出“不等式x2－x<0的解集是什么”這個問題，成功地將一元二次不等式與二次函數圖象關聯起來. 鑒于之前有“使y<0的x的值為大于0且小于1的數”這個基礎，學生自然而然地獲得不等式x2－x<0的解集為｛x0

參與此過程，即使是基礎比較薄弱的學生，因為從低起點開始逐層思考，哪怕反應慢一些，也能明白不等式x2－x<0的解集為｛x0

2. 分層推進，實現目標

問題3 請分別寫出ax2+bx+c>0（a>0）與ax2+bx+c<0（a>0）的解集.

學生合作交流，教師適當點撥. 在師生積極的互動交流下，將問題3的結論整理成表1.

整理好表1后，要求學生解以下不等式：

①（x－2）（x－1）>0；②（x+3）（x－2）<0；③x2－5x+12>0；④x2－3x+2<0；⑤－x2－2x+3≥0；⑥（1－x）（x+1）≥0.

前四個不等式學生求解順手，但解最后兩個不等式時，不少學生沒有發現這兩個不等式的二次項系數為負數，依然按照前面幾道題的解法解題，出現了解題失誤. 為了避免這種現象的再次發生，教師提出以下問題，引發學生思考.

問題4 ax2+bx+c>0（a<0）與ax2+bx+c<0（a<0）的解集該怎么求？需不需要重新制作一張表格？

在這個問題的啟發下，有些細心的學生發現只要將不等式兩邊同時乘以“－1”，即可將“a<0”的不等式轉化為“a>0”的不等式，問題便迎刃而解.

四個逐層遞進的問題，從特殊的一元二次不等式x2－x<0出發，將學生的思維逐漸引至一般情況下的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）與ax2+bx+c<0（a>0）.

以上探究過程，主題明確、層次清晰，學生的思維隨著一個個問題的突破呈螺旋式上升. 不僅深化了學生對一元二次不等式的理解，還從一定意義上幫助學生提煉了數學思想方法，為后續解決類似問題夯實了基礎.

3. 拓展延伸，提升能力

要求學生思考并回答下列問題：

（1）已知（1，2）是關于x的不等式x2+px+q<0的解集，分別求實數p，q的值.

（2）已知｛xx<1或x>3｝為不等式ax2+bx+c>0的解集，求a∶b∶c的值.

（3）已知｛x10的解集，則函數y=ax2+bx+c的單調遞增區間是什么？

（4）已知｛xx∈R｝為不等式kx2+kx+2>0的解集，則實數k的取值范圍是什么？

以上四個問題的設置，不僅結合了學生的最近發展區，還結合了知識的生長點. 雖然這四個問題具有一定的挑戰性，但由于學生有了之前兩個環節的探索基礎，因此仍然能順利完成解答，最終達到較高層次的認知水平.

幾點思考

1. 分層設計需要符合學生的實際認知水平

孔子在幾千年前就倡導“因材施教”“因人而異”的教學方式，布盧姆提出的掌握學習理論、維果茨基提出的最近發展區理論也都強調個體差異性的客觀存在，以及分層教學實施的必要性. 在有效教學實施過程中，強調結合學生的實際認知水平進行分層設計，這既是高考命題的潛在要求，也是教學實踐的切實需要.

從高考命題的角度來分析：高考考查的是學生的認知水平與思維能力，因此考題設計必須有一定的梯度. 教師將這些層次清晰、梯度明顯的內容設置在日常教學中，能讓學生逐漸習慣這種逐層遞進的思維方式，為高考奠定一定的基礎.

從教學實踐的角度來看：教師若在課堂中直接呈現具有挑戰性的問題，會嚴重消減基礎薄弱的學生學習的積極性，讓他們產生畏難心理. 低起點、小步子、多層次的引導能讓所有學生感受到學習帶來的成就感，從而建立學習信心，提高學習效率.

從本節課的教學設計來看：教師用一元二次函數y=x2－x的圖象和x軸的交點與對應方程的根的關系作為起點，使得基礎薄弱的學生也能順利融入本節課的教學之中.

分層推進的四個問題，有效啟發了學生的思維，讓學生明確了思考的方向. 問題1并沒有明確規定a>0的條件，由此引發學生對a>0與a<0兩種情況進行討論，以深化學生對不等式ax2+bx+c>0（a>0）中“a>0”這個條件的認識；問題2著重探索Δ>0時不等式ax2+bx+c>0（a>0）和ax2+bx+c<0（a>0）的解集；問題3意在“逼迫”學生自主分析并確定a>0時不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0的解集；問題4啟發學生自主解決a<0時不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0的解集，以幫助學生提煉數學轉化思想.

2. 有效問題需要符合教學實際

問題是數學的心臟，也是學生思維的起點，有效教學離不開有效問題的引領. 有效教學背景下的問題設計需要有明確的針對性，且與教學內容相符合，具有啟思激趣、開發智力、挖掘潛能等功效.

首先，教師要結合教學目標、學情等綜合因素提出條理清晰、便于思考且針對性明確的問題，以激發學生的學習動機；其次，提出的問題要與學生的認識特點相匹配，學生通過努力能夠自主解決，即提出的問題應落于學生的最近發展區內，讓學生“跳一跳，能摘到桃”；再次，提出的問題要有懸念性，有激發潛能與創造意識的作用，讓學生在問題的探索中形成自己獨特的見解，為個性發展奠定基礎.

問題是有效教學的基礎，縱觀本節課的教學，每一個環節都在問題的引領下，讓課堂充滿了生機與活力. 如“拓展延伸”環節中的四個問題，由于問題“已知｛xx∈R｝為不等式kx2+kx+2>0的解集，則實數k的取值范圍是什么”的難度系數相當大，若直接提出這個問題，很多學生都會選擇放棄. 但是有前三個問題作為基礎，順應學生思維的發展提出這個問題，則水到渠成. 總而言之，符合學生實際認知水平的問題是實施有效教學的根本.

3. 豐富的課堂拓展渠道可以提高教學實效

實施有效教學，僅僅將目光停留在有限的教學任務上還遠遠不夠. 在教學中，適當地拓展延伸對啟發學生的思維、完善學生的認知結構具有深遠意義. 從內容上來看，拓展延伸是對教材知識的開拓和擴展，如知識的形成背景、數學史的介紹、概念的溯源以及思想方法的滲透等；從教學場所來看，拓展延伸應走出教室，走向家庭、走向社會等；從時間來看，拓展延伸應突破課堂有限的教學時間，可以是課外的延伸，也可以是借古鑒今的拓展……

多種渠道的拓展延伸，不僅能開闊學生的視野、豐富學生的知識，還能讓學生對數學學科產生探索欲，為創新意識的形成與發展奠定基礎，這是實施有效教學的關鍵.

總之，有效教學是數學教學的追求，是核心素養形成和發展的基礎. 教師應與時俱進，不斷地學習并接納新的教育教學理念，利用一切手段踐行有效教學，讓每一個學生都能在數學學習中張揚個性、挑戰自我、突破自我，獲得全面發展.