基于電壓圖方法的LDPC碼構造與設計研究

王成東 馬紀成 游龍 鄒余

【摘? ?要】? ?近年來，LDPC碼的研究重點是其構造方法和譯碼算法。已知在LDPC碼的構造與譯碼過程中，對應的Tanner圖中短環的存在嚴重影響譯碼性能，現有的QC-LDPC碼方法雖然在一定程度上規避了長度為6，8的短環，但對大圍長的Tanner圖的構造理論與算法仍需要進一步研究。為此，引入拓撲圖論中電壓圖的相關理論與算法。首先，對電壓圖的相關理論與算法進行優化，從算法上縮小了電壓圖中賦值電壓的選取范圍；其次，對電壓基圖的選取作出優化，選取非完全二部圖作為基圖；最后，通過選取不同的電壓群進行提升圖的構造與結果分析。已知[（J，L）]-QC-LDPC碼的圍長小于等于12，電壓圖方法所得的LDPC碼圍長范圍被推廣到了小于等于16，同時給出了圍長為10、12、14、16的提升圖實例。因此，利用電壓圖方法構造的LDPC碼能夠有效提升圍長范圍，其中電壓基圖的選取尤為關鍵。

【關鍵詞】? ?QC-LDPC碼；LDPC碼；電壓圖；圍長

Research on the Construction and Design of LDPC Codes Based

on the Voltage Graph Method

Wang Chengdong1 ， Ma Jicheng1，2*， You Long1 ， Zou Yu1

（1.Chongqing Jiaotong University， Chongqing 400074， China;

2.Chongqing University of Arts and Sciences， Chongqing 402160， China）

【Abstract】? ? In recent years， the research of LDPC codes focuses on the construction methods and decoding algorithms of LDPC codes. It is known that the existence of short cycles in the corresponding Tanner graph seriously affects the decoding performance during the construction and decoding process of LDPC codes. Although the existing QC-LDPC code method avoids short cycles with lengths of 6 and 8 to some extent， further research is still needed on the theory and algorithm of constructing Tanner graphs with large girth. Therefore， the relevant theories and algorithms of voltage graphs in topological graph theory are introduced. Firstly， the relevant theories and algorithms of voltage graphs are optimized， and the selection range of assigned voltages in voltage graphs is narrowed from the algorithm. Secondly， the selection of voltage base graphs is optimized， and non-complete bipartite graphs are selected as base graphs. Finally， the construction and result analysis of lifting graphs are carried out by selecting different voltage groups. Compared with the known [（J，L）]-QC-LDPC codes with girth less than or equal to 12， the girth range of LDPC codes obtained by the voltage graph method is extended to less than or equal to 16， and lifting graph examples with girth of 10， 12， 14， and 16 are given. Therefore， the LDPC codes constructed using the voltage graph method can effectively improve the girth range， and the selection of voltage base graphs is particularly crucial.

【Key words】? ? ? QC-LDPC code; LDPC code; voltage graph; girth

〔中圖分類號〕? TN911.22? ? ? ? ? ? ? ? ?〔文獻標識碼〕? A ? ? ? ? ? ? ?〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）01- 0005 - 07

0? ? ?引言

1962年，Gallager［1］博士首次提出了低密度奇偶校驗碼（簡稱為LDPC碼）的概念，并且給出了該碼的簡單構造和硬判決概率譯碼的方法。1981年，Tanner［2］建立起了LDPC碼的圖論模型，并利用Tanner圖來表示LDPC碼。1996年，David[3]證明了置信傳播（Belief Propagation）迭代譯碼算法。在該算法的基礎上，LDPC碼譯碼性能非常接近香農極限且易于實現。因此LDPC碼成為當前5G網絡信道編碼的研究熱點。到目前為止，LDPC碼的構造主要是根據不同的設計方法得到具有低密度特性的校驗矩陣[H]；一是隨機構造法，比如Gallager方法［1］、MacKay的隨機方法［4］、比特填充與擴展比特填充法［5-6］、PEG（Progressive Edge Growth）法［7］等；二是代數構造法，比如有限幾何構造法［8］、組合設計法［9-11］、RS（Reed Solomon）碼的LDPC碼［12］以及基于循環置換矩陣的準循環LDPC碼（稱為QC-LDPC碼）［13-14］等，其中QC-LDPC碼已經得到廣泛研究。2004年，Fossorior［13］針對QC-LDPC碼給出了圍長的限定范圍小于等于12，并構造出編碼易于實現的QC-LDPC碼。2006年，OSullivan［15］提出了一種具有緊描述的QC-LDPC碼構造方法，該碼具有大圍長和糾錯性能良好的特點。同年，Milenkovic［16］設計出大圍長結構化QC-LDPC碼，該方法通過刪除其奇偶校驗矩陣的某些列來縮短數組，從而增加其圍長。2007年，Kim等［17］提出了新的原型圖組合構造方法，提升了QC-LDPC碼的圍長。2013年，Wang等［18］基于原型圖映射到一組分層準循環（HQC，Hierarchical Quasi-cyclic）LDPC碼，獲得了更大圍長的碼。2023年，袁建國等［19］基于Stanley序列（Stanley sequence）給出了一種圍長大于等于8的QC-LDPC碼構造方法。

研究表明，Tanner圖中短環的存在嚴重影響譯碼性能，因此構造大圍長的LDPC碼對于譯碼具有積極作用。2008年，Kelley等［20］針對LDPC碼中短環嚴重影響誤碼率的問題采用電壓圖的方法研究LDPC碼，并使用更復雜的電壓分配，獲得性能更好的LDPC碼。目前使用電壓圖構造更大圍長的LDPC碼的研究還相對較少。因此，本文主要將電壓圖的理論與方法運用到LDPC碼的構造上，一方面尋找已有的圖論法，極大縮減了復雜電壓分配的選取范圍，另一方面選取了一類無限個基圖進行提升，推廣了QC-LDPC碼，并構造出大圍長的LDPC碼。

1? ? ?相關介紹和定義

1.1? ?QC-LDPC碼

Tanner圖［2］是對應于校驗矩陣[H]的二部圖，用[G=V，E]表示，頂點集合[V=Vc?Vb]，其中[Vc=c1，c2，…，cm]是校驗節點，對應校驗矩陣的行，也就是校驗方程，[Vb=b1，b2，…，bn]稱為變量節點，對應校驗矩陣的列，同時對應碼中的位，[E?Vc×Vb]，同類節點之間沒有邊相連。若校驗矩陣在第[i，j]個位置的元素為[1]，那么在該矩陣對應的Tanner圖中表示第[i]個校驗節點和第[j]個變量節點之間有一條邊存在。節點的度定義為與該節點相連的邊數。從某個節點出發又回到此節點為圈，其中最短圈長稱為圖[G]的圍長。

在文獻［21］和［22］中選擇特殊的基圖或原圖進行隨機提升得到LDPC碼。同樣，由完全二部圖[Kr，t]作為基圖進行提升后可以構造出QC-LDPC碼［23］。

設[G′=V′，E′]是一個由[Kr，t]擴張的[P]次提升圖，[P]為提升度，頂點[V′]是由[Kr，t]的頂點和對[P]取余的整數組成的有序二元組集合，記作[V′=V′c?V′b]，其中[V′c]表示提升圖的校驗節點集合，[V′b]表示提升圖變量節點集合，[V′c=v，k|v∈Vc]，[V′b=v，k|v∈Vb]，定義偏移函數[f（?）：E→ZP]，提升圖邊集[E′=Vi，k，Vj，（k-f（e））modP（vi，vj）∈E]，其中 [0≤k≤P-1]，該定義下的[G′]對應的碼稱為QC-LDPC碼［24］。

此外，Tanner圖對應的校驗矩陣也能描述QC-LDPC碼。一個碼長為[N]的LDPC碼可由一個稀疏的奇偶校驗矩陣[H=[H（i，j）]]的零空間來定義，其中列重為[J]，行重為[L]，且都為常數，若各行重和各列重保持不變，則稱為規則LDPC碼，記作[（N，J，L）]-LDPC碼。否則為非規則的LDPC碼［1］。

[（J，L）]-QC-LDPC碼是由循環移位系數[pj，l]和提升度[P]確定的一種高度結構化的LDPC碼［21］，其奇偶校驗矩陣[H]［13］表示為

[H=I（0）I（0）…I（0）I（0）I（1，1）…I（p1，L-1）????I（0）I（pJ-1，1）…I（pJ-1，L-1）]? （1）

其中[pj，l∈0，1，…，P-1]，[1≤j≤J-1]，[1≤l≤]

[L-1]，式（1）中，[I（0）]代表[P×P]單位矩陣，[I（pj，l）]是將大小為[P×P]的單位矩陣向左循環移位[pj，l]個單位。

文獻［13］中證明了任意[（J，L）-]QC-LDPC碼的圍長小于等于12。為了構造出更大圍長的LDPC碼，下面將引入電壓圖的方法。

1.2? ?相關定義

定義1［24］ 對于無向圖[X=V，E]，令集合[A（X）]為圖的弧集，[α]為[A（X）]到有限群[G]的函數（即[α：AX→G]），則[α]稱為電壓分布，群[G]稱為電壓群。若[X]中任一弧[c∈AX]均被賦予電壓[αc∈G]，則稱圖[X]為電壓圖。

定義2［24］ 對于無向圖[X=V，E]，有限群[G]與電壓分布[α]，可構造圖[Xα=Vα，Eα]，其中[Vα=V×G]，[Eα=v1，g，v2，g?α（v1，v2）]，[0≤g≤G]，[v1，v2∈V]，[v1，v2∈AX]。

不難發現，上文中提到的偏移函數[f（?）]為電壓分布函數的特殊情況。

定義3? ?對于整數[m≥2]，在完全二部圖[K3，3m]中，定義[3，2m，3m]-圖為[K3，3m]的生成子圖，使得一部3個頂點的度為[2m]，另外一部[3m]個頂點的度為2。

2? ? ?主要結果

本文所討論的圖均為連通、無向的簡單圖，即圖中不存在重邊、環及半邊。同時文中所討論的電壓群均為有限群。

定理1［25］? ?設[Γ]是一個連通圖，[TΓ]為[Γ]的一棵生成樹，對于任意的電壓分布[α]，一定存在一個約化的電壓分布[β]滿足其在[TΓ]中所有邊[e]的電壓值為[β（e）=0]，使得[Γα]與[Γβ]同構。

（1）對于任意的電壓分布[α]和任意[Γ]的頂點[v]，令電壓分布[αv，x]為在[α]的基礎上將所有指向頂點[v]的弧集電壓值均右乘元素[x]，則電壓分布[αv，x]與[α]所確定的電壓圖同構。

（2）將指向頂點[v]的弧邊集推廣到經過頂點[v]的路徑，則電壓圖也同構。

（3）最后將經過頂點[v]的路徑推廣到圖[Γ]的生成樹，則定理1證畢。

定理2? ?設[Γ]是一個連通圖，[TΓ]為[Γ]的一棵生成樹。對于任意的電壓分布[α]及電壓群[G]來說，提升圖[Γα]為連通圖，當且僅當非生成樹邊的電壓值生成電壓群[G]。

證明? 令[v1，v2∈V]為圖[Γ]的任意兩相鄰頂點，由定義2可知，對于給定的電壓分布[α]和電壓群[G]，提升圖[Γα]中的邊集定義為[Eα=v1，g，v2，g?α（v1，v2）]。結合定理1可知，提升圖[Γα]的頂點集[Vα=V×G]可以劃分為[G]的階數個分拆子集，每一個分拆子集均包含頂點集[V]的階數個頂點。令[g]屬于[G]，對于分拆子集（記為[Sg]）來說其包含的頂點為[v，gv∈V]。令[g1，][g2]為群[G]中的兩個元素，兩個對應的分拆子集[Sg1，][Sg2]相連，當且僅當存在非生成樹弧邊[h]使得[g1=g2αh]，否則兩個分拆子集之間不存在直接邊使其連接。因此[Γα]連通當且僅當所有[αh]生成電壓群[G]。證畢。

由定理1與定理2可知，在利用電壓分布方法構造提升圖時，只需要選取合適的約化電壓分布即可。具體的電壓提升圖構造算法如下。

步驟1? ?令[Γ]為選取的基圖，任意選取[Γ]的生成樹[TΓ]，并標記所有非生成樹邊為[e1…et]，其中[t]為非生成樹邊的條數。

步驟2? ?選取階為[n]的有限群[G]作為電壓群，并給出群元素的合適表示形式。

步驟3? ?選取[α]作為電壓分布使得其在生成樹邊的電壓值為群[G]的單位元，非生成樹邊的電壓值分別記為[αe1…αe2]。計算[αe1…αe2]是否生成電壓群[G]，若生成群[G]，則進入步驟4，否則重復進行非生成樹的電壓分配。

步驟4? ?利用定義2進行提升圖的構造，并計算提升圖的圍長等結構性質；否則，重復步驟3，遍歷所有電壓分布。需要說明的是，在步驟4構造提升圖的過程中，若不在圖同構的意義下區分提升圖，則電壓選取的遍歷次數為[nt]。

步驟5? ?重復步驟2，選取下一個電壓群，并依次進入步驟3、4、5。否則，停止計算。

推論1? ? 令連通圖[Γα]為提升圖，設其基圖、電壓分布及電壓群分別為[Γ]、[α]及交換群[G]。若基圖[Γ]包含[n]個頂點及[m]條邊，則交換群[G]的秩小于等于[m-n+1]。

證明? ?由有限群的定義可知，交換群[G]的秩等于其極小生成集所含元素的個數。因此，由定理2可知，基圖[Γ]中非生成樹邊的電壓值生成交換群[G]，同時易知非生成樹邊的條數為[m-n+1]。因此，交換群[G]的秩必小于等于[m-n+1]。證畢。

若上文構造提升圖的過程中要求電壓群G為交換群，則由推論1可知。

（1）如果[G]為循環群，在步驟3中只需任取一條非生成樹邊并賦其電壓值為1，顯然所有非生成樹邊的電壓值生成電壓群[G]。同時，步驟4中的電壓選取遍歷次數降為[nt-1]。

（2）如果[G]為一般交換群并假設其秩為r，則在步驟3中先任取[r]條非生成樹邊并分別賦電壓值為[G]的生成元。此時，自然所有非生成樹邊的電壓值生成電壓群[G]。同時，步驟4中的電壓選取遍歷次數降為[nt-r]。

下文將對[3，2m，3m]-圖的提升圖進行討論。主要步驟：首先對[3，2m，3m]-圖的結構性質進行討論，然后通過對部分[3，2m，3m]-圖的結構性質進行提升得到其提升圖的結構性質。

引理1? ?任意[3，2m，3m]-圖中至少存在一個長度為[4]的圈。

證明? ?在[3，2m，3m]-圖中，記三個校驗頂點分別為[v1]、[v2]和[v3]，由于[v1]的度數[degv1≥4]，因此不妨設[v1]的三個鄰接點分別為[u1]、[u2]、[u3]。校驗頂點的度數和與變量頂點的度數和相等，且已知[degu1=degu2=degu3=2]，則三個鄰接點[u1]、[u2]、[u3]必須與三個校驗頂點[v1]、[v2]、[v3]中的兩個相鄰。因此，不妨設[u1]和[u2]的鄰接點為[v2]和[v3]，那么[u3]的另外一個鄰接點只能是[v2]或[v3]，此時分別有圈[C=v1u1v2u2v1]或[C=v1u1v3u3v1]存在。因此，[3，2m，3m]-圖中一定存在一個長度為[4]的圈。證畢。

根據引理1，下文證明[3，2m，3m]-圖中存在兩個長度為4的圈使得其僅存在1個公共頂點，如圖1所示。

引理2? ?任意[3，2m，3m]-圖中必存在如圖2所示子圖。

證明? ?首先，在[3，2m，3m]-圖中，令[v1]、[v2]、[v3]為校驗頂點部。由引理1可知，任意的[3，2m，3m]-圖至少存在一個長度為[4]的圈，不妨記為[C=v1u1v2u2v1]，其中[v1]、[v2]為校驗頂點，[u1]、[u2]為變量頂點。由于校驗頂點[v2]的度為[degv2=2m]，因此不妨設[v2]的[2m]個鄰接點分別為[u1，u2，u3，…，u2m]。若頂點[u3，…，u2m]均為頂點[v1]的鄰接點，則此時[v1]的鄰接點為[2m]個，同時[v3]的鄰接點只能是這[2m]個頂點之外的頂點，這與[3，2m，3m]-圖為連通圖相矛盾。因此，頂點[v3]存在[u1，u2，u3，…，u2m]之外的鄰接點。同時，若在頂點[u3，…，u2m]中存在兩個頂點的公共鄰接點為頂點[v3]，則證畢。已知變量頂點個數為[3m]，不妨記其余的[m]個變量頂點為[u2m+1，…，u3m]。再由頂點[v3]的度為[degv3=2m]，那么在[u3，…，u2m]中必存在至少兩個點與[v3]鄰接，分別記為[ui]和[uj]，所以由頂點[u1]、[v1]、[u2]、[v2]、[ui]、[uj]、[v3]及其相連的邊所得的子圖（圖2）必為[3，2m，3m]-圖的子圖。證畢。

根據引理2，在圖2所示的[3，2m，3m]-圖的子圖中，無論如何選取[3，2m，3m]-圖的生成樹，圖2所示的子圖中必包含2條[3，2m，3m]-圖的非生成樹邊。在下述定理中，將利用圖2所示的子圖中的2條非生成樹邊構造出[3，2m，3m]-圖的圈。

定理3? ?任意[3，2m，3m]-圖的非平凡的電壓圖的圍長小于等于16。

證明? 由引理2可得，任意[3，2m，3m]-圖存在如圖2所示的子圖。在該子圖中，不妨取其中弧邊[u2，v2]、[ui，v3]所對應的邊為兩條非生成樹邊。令任意有限群[G]為電壓群，在任一電壓分布[α]下，令弧邊[u2，v2]、[ui，v3]的電壓值分別為[a]、[b]，屬于電壓群[G]。根據定理1，記有限群[G]的運算為“+”，令其單位元為0。那么[3，2m，3m]-圖的提升圖（記為[Γα]）的頂點集[Vα=v，g]，其中[v]為[3，2m，3m]-圖的頂點，[g]為電壓群中的元素，由定義2可知[Γα]的兩個頂點[a1，g1]與[a2，g2]相連當且僅當[g2=g1+αa1，a2]。

對于[3，2m，3m]-圖的任一生成樹，將所有生成樹邊賦電壓值為0后進行提升。接下來主要圍繞圖2所示子圖的提升子圖進行討論。不妨自頂點[v1，0]起，取其鄰接點[u2，0]。此時，弧邊[u2，v2]經過提升后，可知頂點[u2，0]與頂點[v2，a]必相鄰。同理，頂點[v2，a]的鄰接點[ui，va]必與頂點[v3，a+b]相鄰。類似地，[Γα]中存在長度最大為16的圈，路徑表示為[Wg=][v1，0][u2，0][v2，a][ui，a][v3，a+b][uj，a+b][v2，a+b][u2，b][v1，b][u1，b][v2，b][uj，b][v3，b][ui，0][v2，0][u1，0][v1，0]。不難發現，當[a]、[b]及[a+b]的取值均不等于單位元0時，[Wg]的長度必為16。事實上，當電壓圖的階大于等于3時，[a]、[b]及[a+b]的取值均可不等于單位元0。因此，[3，2m，3m]-圖的提升度大于等于3的提升圖[Γα]中存在一個最大長度為16的圈，故任意的[3，2m，3m]-圖的電壓圖進行提升后，提升圖的圍長小于等于16。證畢。

3? ? ?仿真實驗與結果分析

為了體現本文優化的提升圖算法的有效性，本節通過具體例子的構造將提升圖算法進行比較。數值結果如表1所示，其中電壓群的選擇為低階交換群，自由電壓數為基圖非生成樹邊的條數減去電壓群的秩，運行時間為CPU運行時間（單位s），所有代碼在計算代數軟件Magma V2.23-1系統下運行，計算機基本參數為Intel Core i7 CPU@2.8GHz Quad-Core。

以[Γ=3，6，4]-圖作為給定的基圖，選取弧邊[（2，8）]、[（3，9）]、[（4，9）]、[（5，9）]對應的邊為非生成樹邊，如圖3所示，分別選取不同階數的循環群或交換群進行提升，具體如下。

情形1? ?如圖3所示，選取[33]階交換群[G1=Z33]作為電壓群進行提升，提升度[P=33]，記對應的提升圖為[Γ1]。在電壓圖的生成樹選取中，對4條非生成樹邊分別賦值為[1，0，0]、[0，1，0]、[0，0，1]與[1，1，0][∈G1]，其余生成樹邊均賦電壓值為[0]，由此得提升圖的圍長為[10]。圍長圈路徑可表示為[Wg=][9，1，1，1][3，1，3，1][7，1，3，1][1，1，3，1][8，1，3，1][2，3，3，1][7，3，3，1][1，3，3，1][8，3，3，1][5，3，3，1][9，1，1，1]。

若將弧邊[（5，9）]賦值更改為[1，1，1][∈Z33]，其余弧邊的賦值保持不變，則所得的提升圖圍長為[12]。圍長圈可表示為[Wg=][1，1，1，1][8，1，1，1][2，3，1，1][7，3，1，1][1，3，1，1][8，3，1，1][2，2，1，1][7，2，1，1][1，2，1，1][8，2，1，1][2，1，1，1][7，1，1，1][1，1，1，1]。

情形2? ?若將[4]條非生成樹的弧邊分別賦值為[1]、[3]、[7]、[15]屬于[Z43]或[1]、[47]、[73]、[113]屬于[Z44]，其余生成樹邊均賦電壓值為[0]，由此所得提升圖的圍長分別為14、16。圍長圈的路徑分別為[Wg=][1，0][7，0][3，0][9，3][4，60][7，60][2，60][8，61][1，61][7，61][3，61][9，0][6，0][8，0][1，0]和[Wg=][7，0][2，0]

通過表1可以發現，在優化的提升圖算法下，電壓群、自由電壓數、提升圖的圍長以及運行時間之間的關系，從中可以明顯得到如下結果。首先，在不考慮自由電壓數的情況下，電壓群的階越大，所得提升圖的圍長范圍越廣。其次，當電壓群的階相同時，自由電壓數的個數嚴重影響運行時間，說明本文的優化提升圖算法優于已有電壓圖算法。再次，從提升圖圍長的角度來看，自由電壓數不會產生影響，但從計算的角度來看，自由電壓數越少越好，說明本文優化的提升圖算法具有極大的理論與應用價值。最后，給出自由電壓數為0，即基圖中的非生成樹的邊等于交換電壓群的秩時的例子。

情形3? ?選取電壓群[t4]階交換群[G3=Zt4]（[t≥4]）進行提升，提升度[P=t4]。4條非生成樹弧邊分別賦值為[1，0，0，0][0，1，0，0][0，0，1，0]與[0，0，0，1][∈G3]，其余生成樹邊均賦電壓值為0，由此得提升圖的圍長必為16。提升圖的一個圍長圈路徑可以表示為[Wg=][（7，0，0，0，0）][（2，0，0，0，0）][（8，1，0，0，0）][（5，1，0，0，0）][（9，1，0，0，1）]

4? ? ?結論與展望

本文引入了拓撲圖論中關于電壓提升圖的重要理論與方法，大大降低了QC-LDPC碼的計算量。首先，對電壓圖的相關理論與算法進行優化，從算法上縮小了電壓圖中賦值電壓的選取范圍；其次，對電壓基圖的選取作出優化，選取非完全二部圖作為基圖；最后，選取不同的電壓群進行提升圖的構造與結果分析。與已知[（J，L）]-QC-LDPC碼的圍長（小于等于12）比較，電壓圖方法所得的LDPC碼圍長范圍被推廣到了小于等于16，同時給出了圍長為10、12、14、16的提升圖實例。因此，利用電壓圖方法構造的LDPC碼能夠有效提升圍長范圍，其中電壓基圖的選取最為關鍵，在電壓群的選取中一般交換群較循環群沒有特別優勢。這對未來LDPC碼的構造選取具有一定的理論研究價值與算法指導意義。

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