優化模糊綜合評價模型在水質評價中的應用

李鑫

【摘? ?要】? ?基于熵權法和層次分析法，并采用博弈論，將主客觀權重相結合，確定了綜合權重，優化了模糊綜合評價模型的賦權過程，最后結合加權平均法，構建了水質評價優化模型。通過對案例中的水樣進行評價，結果顯示：7個采樣點當中，II類水和III類水的采樣點有4個，占比57.14%；IV類水的采樣點有3個，占比42.86%。相較于單一熵權法賦權的模糊綜合評價模型，優化后的評價模型綜合考慮了主客觀權重和評價因素對于整體水質影響，合理反映了水質特征，可為類似地區的水質評價工作提供參考。

【關鍵詞】? ?熵權法；層次分析法；博弈論；加權平均法；模糊綜合評價；水質評價

The Application of Optimized Fuzzy Comprehensive Evaluation Model

in Water Quality Evaluation

Li Xin

（Guizhou University， Guiyang 550025， China）

【Abstract】? ? ?Based on the entropy weight method and analytic hierarchy process， the author， by using game theory， combines the subjective and objective weights， determines the comprehensive weights and optimizes the fuzzy comprehensive evaluation model's assignment process， constructing the optimization model for water quality evaluation by combining the weighted average method. After evaluating the water samples in the cases， the author finds that， among the seven areas， the distribution areas of Class II and Class III water are four， accounting for 57.14%， and the distribution areas of Class IV water are three， accounting for 42.86%. Compared with the fuzzy comprehensive evaluation model assigned by the single entropy weighting method， the optimized evaluation model reasonably reflects the water quality characteristics under the comprehensive consideration of the subjective and objective weights and the influence of the evaluation factors on the overall water quality， which can provide a reference for the evaluation of water quality in similar areas.

【Key words】? ? ?entropy weight method; analytical hierarchy process; game theory; weighted average method; fuzzy comprehensive evaluation; water quality evaluation

〔中圖分類號〕? X824? ? ? ? ? ? ? ? ?〔文獻標識碼〕? A ? ? ? ? ? ? ?〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）01- 0012- 06

0? ? ?引言

開展水質評價是合理利用水資源的基礎性工作，目前，水質指數法、主成分分析法、灰色聚類分析等在水質評價中被廣泛應用［1-2］。但在實際的評價工作中，上述方法存在一些局限性，主要體現在它們無法處理水質評價中的主觀性、模糊性以及不確定性［3］。為了有效解決這些問題，許多學者開始將模糊邏輯引入到水質評價中，嘗試把各種問題轉化為數學結構來解決。模糊綜合評價法就是基于模糊數學的概念，通過隸屬度來表示各水質指標對各水質類型的歸屬程度，從而達到確定水質類型的目的［4］。

在模糊綜合評價中，指標權重的確定尤為關鍵，直接影響評價結果的合理性。張巖祥等［5］采用層次分析法、鄒志紅等［6］利用熵權法確定了評價指標權重，分別對白城市和三峽庫區進行了水質評價。錢程等［7］通過主成分分析法計算了權重矩陣，再結合模糊綜合評價對洛河油田富縣區塊的地下水質進行了評價。上述研究均只單一地從主觀或客觀角度確定了指標權重，容易受到人為主觀或某一因素的限制［8］，導致評價結果與真實水質情況之間可能會存在偏差。此外，評價結果的判定準則是否合理也是影響其準確性的一個重要因素。

過去的學者更多采用最大隸屬度原則進行最終判定，忽視了最大隸屬度原則存在的有效性問題［4］。因此，本文基于層次分析法和熵權法，采用博弈論將主觀和客觀權重相結合，確定綜合權重，同時通過加權平均法對水質類型進行綜合評價。將優化后的模糊綜合評價模型與單一方法賦權的模糊綜合評價模型進行對比，探討該模型的實用性，為水質評價工作提供新的見解。

1? ? ?構建優化模型

1.1? ?確定綜合權重

1.1.1? ?熵權法

熵權法主要是依據指標的離散程度來確定各指標的權重。對于某一指標，可以依據熵值的大小來判斷指標的離散程度，熵值越大表明指標的離散程度越小，提供的信息量越少，則該指標對整體評價的影響（即權重）就越?。?］。作為常用的一種客觀賦權方法，在水質評價中，具體賦權步驟如下［10］。

（1）構建標準化矩陣

基于n個評價指標，m個評價對象的地下水水化學數據矩陣，經歸一標準化處理后，構成標準化矩陣，如式（1）：

[Y=yijn×m] （1）

在水質評價中，對于數值越小越優的指標，歸一標準化公式如式（2）：

[yij=maxxij-xijmaxxij-minxij] （2）

式中：[0≤yij≤1]；[xij]為第j個評價對象的第i個評價指標的實測值；[minxij]和[maxxij]分別為[xij]的最小值和最大值。

（2）計算熵值

第i個評價指標的熵值（Hi）計算公式如式（3）和式（4）：

[Hi=-kj=1mfijlnfij （i=1，2，…，n;j=1，2，…，m）]（3）? [? ? ? ? ?fij=yijj=1myij，k=1lnm] （4）

式中，為避免出現[fij=0]的情況，需對其進行修正，具體修正公式如式（5）：

[fij=1+yijj=1m1+yij] （5）

（3）計算權重

計算出各評價指標的熵值后，便可確定各評價指標的熵權（wi），具體公式如式（6）：

[wi=1-Hin-i=1nHi] （6）

式中：[i=1nwi=1， 0≤wi≤1]，[wi]為各評價指標權重值。

1.1.2? ?層次分析法

層次分析法是一種解決多目標復雜問題的定性與定量相結合的決策分析方法。作為一種主觀賦權方法，主要基于決策者的主觀經驗，在評價指標間進行相互比較，同時結合各準則層之間的相對重要程度構建判斷矩陣，并得到各評價指標的權重。具體賦權步驟如下［11-12］。

（1）構建判斷矩陣

對各評價指標進行相互比較，以9標度法作為比較尺度，衡量評價指標之間的相對重要程度，層次分析法中1到9標度是一種用于量化主觀判斷的方法，可以在多個目標或方案之間做出決策。1表示兩個指標相比，具有相同的重要性；3表示兩個指標相比，前者比后者稍微重要；5表示兩個指標相比，前者比后者明顯重要；7表示兩個指標相比，前者比后者強烈重要，9表示兩個指標相比，前者比后者極端重要；2，4，6，8是層次分析1到9標度中的中間值，它們表示兩個指標之間的重要程度介于兩個相鄰的整數判斷之間。例如6，表示因素A比因素B的重要程度是明顯的，但不是強烈的。以此類推，構建判斷矩陣A。

（2）求解權重

依據構建的判斷矩陣A，計算得到判斷矩陣的最大特征根[λmax]，從而確定歸一化后的各指標權重，具體計算公式如式（7）：

[AW=λmaxW] （7）

式中：[W=w1，w2，…，wn]，[wi（i=1，2，…，n）]為各評價指標權重值。

（3）一致性檢驗

為進一步驗證上述步驟所確定的指標權重的合理性，需對構建的判斷矩陣A進行一致性檢驗，具體公式如式（8）和式（9）：

[CI=λmax-nn-1] （8）

[CR=CIRI] （9）

式中：[CI]為一致性判斷指標；[RI]為平均隨機一致性指標，1～9階判斷矩陣的[RI]取值見表1；[CR]為一致性比例，n為判斷矩陣階數。

若[CR]<0.1，則表明所構建的判斷矩陣通過了一致性檢驗，權重賦值是合理的；反之，則表明未通過，需重新調整判斷矩陣，再計算權重。

1.1.3? ?博弈論求解綜合權重

博弈論綜合賦權法實質是將不同賦權方法得到的權重進行線性組合，尋找最優權重組合的過程［13］。本文通過熵權法和層次分析法分別確定客觀和主觀權重，進而由博弈論確定綜合權重，克服單一的熵權法和層次分析法賦權存在的缺陷，使其更具有科學合理性［14］。具體的組合賦權步驟如下：

[w1wT1w1wT2w2wT1w2wT2z1z2=w1wT1w2wT2] （10）

式中：w1為熵權法所確定的權重；w2為層次分析法所確定的權重；z1、z2為待求解的線性組合系數。

將式（10）求解得到的最優線性組合系數進行歸一化處理，即可得到博弈論求解最優綜合權重的公式，見式（11）。

[W=z*1wT1+z*2wT2] （11）

式中：[z*1=z1z1+z2；z*2=z2z1+z2]。

1.2? ?模糊綜合水質評價模型

模糊綜合評價通過模糊數學的隸屬度理論把定性評價轉化為定量評價，可以對受到多種因素制約的事物或對象做出一個總體的評價［15］。它具有結果清晰、系統性強和易于理解的特點，能較好地解決水質評價中涉及各種水化學指標模糊的、非確定性的、難以量化的問題［16］。使用該方法進行水質綜合評價的步驟如下。

（1） 建立評價因子集

在原始水化學數據中選取合適的評價指標，建立評價因子集，設選取的評價指標有m個，選中的評價因子為ui，則評價因子集U=［u1，u2，...，um］。

（2） 建立評價集

在本文中，進行水質評價主要依據中國現行的地下水質量標準（GB/T14848-2017）［17］將水質分為5類，建立評價集V=［I，II，III，IV，V］。

（3） 確定模糊關系矩陣

在模糊綜合評價中，隸屬度表示水樣中的各水質指標對5類水質的歸屬程度，可通過隸屬度函數來求解，對評價集V中的5類地下水水質類型采用的隸屬度函數具體如式（12）：

[yij=1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ci≤SijSij+1-CiSij+1-Sij? ? ? Sij

式中：Ci 為第i 個評價指標的實測濃度，i=1，2，3，…，m；j為水質類型，j=1，2，3，4，5；Sij 為第i個評價指標對j類水的評價界限值；yij為第i個評價指標對j類水的隸屬度。

模糊關系矩陣由公式（12）計算的yi1 ，yi2 …yi5確定：

[Y=y11…y15??ym1…ym5] 。

（4） 矩陣復合運算

模糊綜合評價中用于權重矩陣和模糊關系矩陣進行復合運算的模糊算子共有4種，其中加權平均算子既強調了權重矩陣中影響占比最大指標的作用，又考慮了所有參評指標在整體評價中的影響，實用性更強［4］。因而選擇加權平均算子對權重矩陣和隸屬度矩陣進行復合運算，如式（13）式（14）：

[B=W?Y] （13）

[B=b1，b2，…，bs ] （14）

式中：B為模糊矩陣結果，Y為隸屬度矩陣，W為層次分析法和熵權法所確定的綜合權重矩陣，bj為對j類水的隸屬度。

（5） 水質綜合評價

為有效解決最大隸屬度原則的判定失效問題，本文通過加權平均法對模糊矩陣結果（B）中5個水質類型的隸屬度進行處理［18］，使得各類水質類型的隸屬度均能參與到水質評價中，得到一個綜合評價值（G），并依據其大小確定水質類型［4］，如式（15）：

[G=j=1mjbkjj=1mbkj] （15）

式中：G為水質綜合評價值；bkj 表示對j類水的隸屬度的k次方；m為水質類型；k 為待定系數（文中取k=2）。G值與地下水水質類別的對應關系為：G＜1.5，Ⅰ類；1.5≤G＜2.5，Ⅱ類；2.5≤G＜3.5，Ⅲ類；3.5≤G＜4. 5，Ⅳ類；G≥4.5，Ⅴ類。

本文構建優化模型的主要技術路線如圖1：

2? ? ?實例應用

為了分析比較本文所提出的優化模型的評價效果，以文獻［19］中的地下水水化學數據為算例（表2）。依據地下水質量標準（GB/T14848-2017），選取硝酸鹽、氨氮、TDS、錳、總硬度和亞硝酸鹽作為水質評價指標。在實際評價過程中，由于地下水質量標準中的V類水缺少各指標的上限值，為了有效區分每一類水并便于計算，對每一類水質的各評價指標界限值按以下規則進行劃分：水質標準中Ⅰ類水的上限值作為模糊綜合評價標準中第Ⅰ類水界限值，Ⅰ類和Ⅱ類水上限值的平均值作為第Ⅱ類水界限值，并以此類推，V類水的下限值作為第V類水界限值［7］，本文采用的各評價指標的5類水的界限值具體見表3。

2.1? ?求解綜合權重

2.1.1? ?熵權法賦權

依據公式（2）水質數據進行歸一標準化處理，構建標準化矩陣。再通過公式（3）～（5）計算得到硝酸鹽、氨氮、TDS、錳、總硬度、亞硝酸鹽各評價指標的熵值分別為：0.9982、0.9886、0.9882、0.9846、0.9823和0.9855。最后結合公式（6），計算得到各評價指標的權重如表4所示。

2.1.2? ? 層次分析法賦權

本文基于專家評分原則，對6個評價指標進行兩兩比較，并構建判斷矩陣如下。

[A=1245780.5156890.250.213670.20.1666670.3333331340.1428570.1250.1666670.3333333120.1250.1111110.1428570.250.51]

根據上述判斷矩陣，計算得到其最大特征根為6.46344，結合公式（7）可得到各評價指標權重，如表5。再由公式（8）～（9），計算出一致性比例CR=0.0747<0.1，說明判斷矩陣A通過了一致性檢驗，各指標的權重分配合理。

2.1.3? ?綜合權重

通過將上述兩種方法得到的權重代入到式（10）和式（11）中，即可得到由博弈論所確定的綜合權重，如表6。

2.2? ?水質綜合評價

以曹莊為例，將表中的水質數據及參評指標的界限值代入公式（12）后，計算出該樣本點的各評價指標對各類水質標準的隸屬度，并構成模糊關系矩陣Y：

[Y=00.78440.21560000.14580.85420000000.60530.99310.39470.006910000.98290.0171100.88890.111100]

將模糊關系矩陣Y與權重矩陣W= ［0.32141 0.28494? 0.15044? 0.10352? 0.07879? 0.06090］代入公式（13）中進行復合運算，即可得到曹莊的對評價集V中5類水質的模糊矩陣結果B：

B = ［0? 0.3478? 0.5907? 0.0614? 0］

同理可以得出其他地區的模糊矩陣結果，見圖2。

通過方程（15），即采用加權平均法對模糊矩陣結果B進行處理，計算得到曹莊的水質綜合評價值（G）為2.75，對應的水質類型為III類水。

同樣，依據上述方法，可計算出其他地區的水質綜合評價值（G），并確定其水質類型，具體結果如表7和圖3。將本文最終的評價結果與文獻中所得到的評價進行了對比，兩種評價模型的對比結果見表8。

3? ? ?分析與討論

從本文構建的優化模型得到的水質評價結果看出，7個采樣點當中，II類水和III類水的分布地區共計有4個，占比達到57.14%，而IV類水的分布地區共計有3個，占比達到42.86%。在所評價區域的地下水中，僅有4個采樣點達到了國家規定的地下水質量標準并滿足人類生活飲用水水質標準。部分采樣點如堰口、小河趙、姜莊，水質均為IV類水，說明當地的地下水水質已經受到了較為嚴重的污染，不再適宜人類生活使用，應加強這些區域的地下水水質調查評價及污染防控。同時李村的水質綜合評價結果，依據G值的分類，屬于III類水，但其G值已達到3.31，有逐漸向IV類水變化的趨勢，因此，對于李村附近的地下水水質也應加強管理。

將本文提出的評價模型與模糊熵權評價法進行對比（表8），顯示兩種方法得到的水質評價結果存在較大的差異。由傳統模糊熵權評價法得到的水質評價結果中，II類水和III類水的采樣點共計有6個，占比達到了85.71%，而V類水的地區僅有1個，占比14.29%，根據采樣點結果顯示，地下水體質量整體較好。而依據本文模型得到的水質評價結果可知，僅有57.14%的地下水適宜人類生活使用，其余42.86%的地下水水質達到了IV類水標準，表明上述區域的水資源已經受到了較為嚴重的污染。傳統的評價方法完全基于實測數據，僅從片面的角度去考慮各水質指標對于整體水質的影響，對于權重的分配并不合理，削弱了水樣中主要污染因子的危害程度，最終導致所得到的評價結果并不能真實反映水質特征。

本文的優化模型將主客觀權重相結合，綜合考慮了參與評價的各水質指標以及各類水質隸屬度在整體水質評價的作用，對地下水質進行了綜合評價。例如，在堰口和姜莊的地下水中，傳統的模糊熵權評價法將其判定為III類水，而本文的評價模型得到的結果為IV類水。結合兩個地區的評價結果分析可知，堰口的硝酸鹽含量和姜莊的氨氮含量已達到V類水的標準，且堰口的氨氮和TDS含量、姜莊的硝酸鹽和TDS含量也較為接近于IV類水的界限值，綜合考慮其他指標對于整體水質的影響，顯然本文模型將上述兩個地區地下水水質評定為IV類水更為合理。

4? ? ?結論

本文基于熵權法和層次分析法，分別計算客觀和主觀權重，采用博弈論將主客觀權重相結合，計算了綜合權重，構成了模糊綜合評價模型的權重矩陣。最后利用加權平均法，對模糊綜合評價模型的模糊矩陣結果進行處理，得到了綜合評價結果。

相較于單一熵值法賦權的模糊綜合評價模型，本文提出的優化模型綜合考慮了主客觀權重的作用，避免了單一賦權方法存在的局限性。在強調主要污染因子的同時，也兼顧其余影響較小因子的作用，能更好地反映真實的水質水平，并給出水質綜合評價結果，具有較強的實用性，可為今后的水質評價工作提供新的技術參考。同時，該模型應結合評價區域的水質特征，進一步完善評價指標體系和數據來源，更為全面地對水體質量情況做出評價。

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