三角函數中考熱點問題探究

王衛勝

涉及三角函數的中考題一般以實際應用為背景，考查三角函數知識的應用、方向方位角問題應用（仰角、俯角測高方法與其類似）及生活中實際問題的應用等，下面分類介紹這類問題的解法.

例1 如圖1，為了豐富學生的文化生活，學校利用假期組織學生到素質教育基地A和科技智能館B參觀學習. 學生從學校出發，走到C處時，發現A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上. 老師將學生分成甲、乙兩組，甲組前往A地，乙組前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1000 m. 請求出甲組同學比乙組同學大約多走多遠的路程. （參考數據：[2] ≈ 1. 41，[6] ≈ 2. 45）

分析：應先審清題意，找出方位角條件所對應角的角度. 根據題意可得∠ACD = 25°，∠BCD = 55°，∠FAB = 20°，CD[?]FA，從而可得∠CAF = ∠ACD = 25°，進而可得∠BAC = 45°，∠ACB = 30°. 又已知AB = 1000 m， ?這就轉化成三角函數一個重要模型，即在一個三角形中，已知兩個特殊角和一條邊. 解題思路是作垂直構造直角三角形，不要破壞特殊角，所以過點B作BE⊥AC，垂足為E，然后在Rt△ABE中，利用銳角三角函數的定義求出AE和BE的長，再在Rt△BCE中，利用含30°角的直角三角形的性質或三角函數求出CE和BC的長，從而求出AC的長，最后進行計算即可解答.

解：如圖1，過點B作BE⊥AC，垂足為E，

由題意得∠ACD = 25°，∠BCD = 55°，∠FAB = 20°，AB = 1000 m，CD[?]FA，

∴∠CAF = ∠ACD = 25°，

∴∠BAC = ∠FAB + ∠CAF = 45°，∠ACB = ∠BCD - ∠ACD = 30°.

在Rt△ABE中，AE = AB·cos 45° = 1000 × [22] = 500[2]（m），

BE = AB·sin 45° = 1000 × [22] = 500[2]（m），

在Rt△BCE中，∠BCE = 30°，

∴BC = 2BE = 1000[2] m，CE = [3]BE = 500[6] m，

∴AC = AE + CE = （500[2] + 500[6]）m，

∴AC - BC = 500[6] - 500[2] ≈ 520（m），

∴甲組同學比乙組同學大約多走520 m的路程.

點評：解決本題的關鍵是作垂直，注意不要破壞特殊角，并把特殊角放到直角三角形中.

例2 如圖2是某校教學樓正廳一角處擺放的“教學樓平面示意圖”展板，數學學習小組想要測量此展板的最高點到地面的高度. 他們繪制了如圖3所示的展板側面的截面圖，并測得AB = 120 cm，BD = 80 cm，∠ABD = 105°，∠BDQ = 60°，底座四邊形EFPQ為矩形，EF = 5 cm. 請幫助該數學學習小組求出展板最高點A到地面PF的距離. （結果精確到1 cm. 參考數據：[2] ≈ 1.41，[3] ≈ 1.73）

分析：應先審清題意，已知AB = 120 cm，BD = 80 cm，∠ABD = 105°，∠BDQ = 60°，這相當于給了兩條邊和一個特殊角，作垂線即可求出其他的邊和角. 所以只要過點A作鉛錘線，過點B作水平線，過點D作鉛錘線，如圖4，即可把AB，BD分別放到含有特殊角的直角三角形中. 分別解作出的直角三角形即可.

解：如圖4，過點A作AG⊥PF于點G，與直線QE交于點H，過點B作BM⊥AG于點M，過點D作DN⊥BM于點N，

∴四邊形DHMN、四邊形EFGH均為矩形，

∴MH = ND，EF = HG = 5 cm，BM[?]DH，

∴∠NBD = ∠BDQ = 60°，

∴∠ABM = ∠ABD - ∠NBD = 105° - 60° = 45°.

在Rt△ABM中，∠AMB = 90°，

∵sin∠ABM = sin 45° = [AMAB]，

∴AM = AB·sin 45° = 120 × [22] = 60[2]（cm）.

在Rt△BDN中，∠BND = 90°，

∵sin∠NBD = sin 60° = [NDBD]，

∴ND = BD·sin 60° = 80 × [32] = 40[3]（cm），

∴MH = ND = 40[3] cm，

∴AG = AM + MH + GH = 60[2] + 40[3] + 5 ≈ 60 × 1.41 + 40 × 1.73 + 5 ≈ 159（cm）.

答：展板最高點A到地面PF的距離約為159 cm.

點評：解決本題的核心是作垂直，并把105°角轉化成特殊角，再應用三角函數求解.

（作者單位：遼寧省實驗中學初中部）