圓錐體全局角度尺寸評定方法

趙新宇, 趙則祥, 李 彬, 任東旭, 席建普

(1.中原工學院 計算機學院，河南 鄭州 450007； 2.中原工學院 機電學院，河南 鄭州 450007； 3.機械工業光學傳感與測試技術重點實驗室，河南 鄭州 450007)

1 引 言

圓錐形要素是機械零(部)件中常用的要素之一,如刀柄和一些機床的尾部頂尖部件、錐形銷、錐形滾子軸承、錐齒輪等均包含圓錐形要素。圓錐面的尺寸、角度規格及其公差和幾何公差在國際標準化組織(ISO)、美國機械工程師學會(ASME)和我國的相關標準[1～3]中進行了規定,但標準一般是基于兩點尺寸。為了提高圓錐面的質量,在測量和評定中使圓錐的角度尺寸更加明確,GB/T 38762.3規定了全局角度尺寸[4],在圖樣上需標注相應的附加符號。有關圓錐全局角度尺寸的測量和評定的文獻目前尚未看到。與在圓柱體圓柱度誤差和全局尺寸評定時確定參考圓柱的軸線參數一樣,可以使用一些幾何誤差評定中所使用的優化算法來確定參考圓錐(最小二乘圓錐和最大最小圓錐)的軸線參數等,以評定圓錐的全局角度尺寸。許多學者利用優化算法對幾何誤差進行了評定,取得了較好的效果。董紫燕等[5]將改進后的差分進化算法與人工蜂群算法混合迭代優化,用于空間直線度誤差的評定,提高了計算精度和收斂速度;孔玉強等[6]通過改進區域算法,提高了圓度誤差的評定效率;干江紅等[7]利用將外包絡點壓縮至常數范圍等方式,提高了最小外接法圓度誤差的評定效率;Liu W W等[8]將最小區域圓柱度誤差評定模型的線性化處理與蒙特卡洛方法相結合,實現圓柱度誤差最小區域法的評定;Yang Y等[9]采用改進和聲搜索算法研究了圓柱度誤差的評定問題;Liu F等[10]提出了適用于多測點的遞推最小區域算法,具有快速、精確評定的特點;吳天昊等[11]采用海鷗優化算法對圓柱度誤差進行了評定,并研究了該算法在評定應用中的相關問題;Zhao Z X等[12]將最速下降和BFGS-0.618綜合算法、基因算法用于圓柱體全局尺寸的評定,并對兩種優化算法的精度和效率進行了比較。

除了上述幾何誤差與全局尺寸評定用優化算法外,烏鴉搜索算法(crow search algorithm, CSA)、人工生態優化算法(artificial ecosystem-based optimization, AEO)、平衡優化器(equilibrium optimizer, EO)、飛蛾撲火優化算法(moth-flame optimization, MFO)等算法[13～17]均可用于圓錐全局角度尺寸的評定。本文基于圓周輪廓提取方案,開展圓錐全局角度尺寸的評定方法研究,建立圓錐全局角度尺寸的評定模型,在用上述部分優化算法對圓錐角度尺寸評定的基礎上,綜合考慮各優化算法的評定精度和效率,選用MFO作為圓錐全局角度尺寸評定的優化算法,研究該算法在圓錐全局尺寸評定應用中的相關問題。本文的研究將有助于GB/T 38762.3在機械制造業中的實施。

2 全局角度尺寸及其圖樣標注

圖1 圓錐全局角度尺寸的圖樣標注Fig.1 Drawing indications of global angular sizes of cone

3 全局角度尺寸評定模型的建立

3.1 最小二乘全局角度尺寸的評定模型

根據全局角度尺寸的定義和測量儀器的功能,采用圓周法[18]作為圓錐(臺)輪廓要素的提取方案,如圖2所示,圖中,EA為參考圓錐面的軸線。當用最小二乘法擬合參考圓錐面時,參考圓錐面即為最小二乘圓錐面,其軸線EA用LA表示,該軸線一端點OL1(或oLn1)在xOy平面上的x,y和z坐標分別為xL1(或xLn1),yL1(或yLn1)和0。

圖2 圓周輪廓和參考圓錐面Fig.2 Roundness profiles and reference cone surface

圖3是第i圓周輪廓及其參數的示意說明,參考圓實際上是參考橢圓,因為在圓錐面輪廓提取之前通常要對被測工件進行調心調平處理,因此,為簡化建模,用參考圓代替參考橢圓。當用線性最小二乘法和非線性最小二乘法擬合最小二乘圓錐面時,圖中參數下標E分別用L和Ln表示。eLi(或eLni)為第i參考圓的偏心量,其x,y和z的坐標為xLi=xL1+pLzi(或xLni=xLn1+pLnzi),yLi=yL1+qLzi(或yLni=yLn1+qLnzi)和zi,pL(或pLn)和qL(或qLn)的含義見文獻[19],zi=(i-1)Δz,Δz為相鄰圓周輪廓的z向距離。Pij為第i圓周輪廓上第j采樣點到z軸(工作臺回轉軸線)的徑向尺寸,rLij(或rLnij)為第i圓周輪廓上第j采樣點到偏心點OLi(或OLni)的距離,RLi(或RLni)為參考圓的半徑。

圖3 第i圓周輪廓及其相關參數Fig.3 The ith roundness profile and its related parameters

根據最小二乘法的定義,最小二乘方程可表示為:

(1)

式中:m為提取的圓周輪廓數;n為每個圓周輪廓的采樣點數;rLnij和RLni可表示為:

(2)

式中:RLn1是最小二乘圓錐面的大端半徑;TLn是最小二乘圓錐面半角的正切;φj是第j采樣點與x軸間的夾角,等于(j-1)Δφ,Δφ是每個提取輪廓上相鄰采樣點之間的夾角。由于式(1)是一個非線性最小二乘方程,待定參數xLn1,yLn1,pLn,qLn,RLn1和TLn可用優化算法確定上述參數和最小二乘全局角度尺寸。

在圓錐輪廓提取之前,對被測圓錐進行了調心和調平處理,偏心量eLni較小,因此,rLnij可簡化為rLij,最小二乘圓錐面待定參數xLn1,yLn1,pLn,qLn,RLn1和TLn轉化為待定參數xL1,yL1,pL,qL,RL1和TL,即

rLij≈Pij-(xLi+pLzi)cosφj-(yLi+qLzi)sinφj

(3)

將式(3)代入到式(1),非線性最小二乘問題變成線性最小二乘問題后,對6個待定參數xL1,yL1,pL,qL,RL1和TL分別求偏導,并分別等于0,整理后得到六元一次方程組,通過求解該線性方程組,得到待定參數xL1,yL1,pL,qL,RL1和TL。

參數TLn或TL確定后,可由式(4)確定圓錐面的最小二乘全局角度尺寸αLn或αL,單位:(°)。

(4)

3.2 最大最小全局角度尺寸的評定模型

當用最大最小法擬合參考圓錐面時,圖1中的參考圓錐面即為最大最小圓錐面,其軸線EA用MA表示,該軸線一端點OM1在xOy平面上的x,y和z坐標分別為xM1,yM1和0。圖2中的下標E均替換為M,表示是與最大最小圓錐面相關的參數。根據最大最小擬合法的定義,最大最小圓錐面方程可表示為:

(5)

式中:CM=[xM1yM1pMqMRM1TM];1≤i≤m;1≤j≤n;dMij可由式(6)計算得到。

dMij=[(Pijcosφj-xM1-pMzi)2+(Pijsinφj-yM1-qMzi)2]1/2-(RM1-TM×zi)

(6)

利用優化算法確定參數CM后,將式(4)中的下標L或Ln替換為M,即可作為最大最小全局角度尺寸的計算公式。

3.3 MFO在全局角度尺寸評定中的應用

全局角度尺寸的非線性最小二乘評定和最大最小全局角度尺寸的評定均可歸類為最優化問題,可用優化算法搜索全局角度尺寸評定中圓錐相關參數CLn和CM,兩者的優化函數分別見式(1)和式(5)。MFO是一種群智能算法,該算法的主要靈感來自于自然界中飛蛾被稱為橫向方向的導航方法。飛蛾在夜間通過相對于月球保持一個固定的角度來飛行,這是一種非常有效的長途直線飛行的機制。該優化算法具有程序編寫簡單,運算速度快,運算精度高等特點,有關該算法的原理和詳細信息見文獻[17]。本文給出了圓錐相關參數評定的MFO流程圖,如圖4所示,圖中,符合度ft由式(1)和式(5)確定。式(1)用于非線性最小二乘全局角度尺寸評定中ft的計算;式(5)用于最大最小全局角度尺寸評定中ft的計算;E=Ln或M,用于全局角度尺寸的非線性最小二乘評定或最大最小全局角度尺寸評定。CM0或CLn0為搜索CM或CLn的初始值;f=[f1f2],其含義見式(11);lb和ub是2個1×6的行矢量,分別為搜索CM或CLn的下、上邊界;bc為邊界系數;N和T分別為種群數和最大迭代次數;rand為在區間(0,1)內生成的一個均勻分布隨機數;～為邏輯非;ftS和CES分別是符合度ft從小到大排序后的符合度及其對應的CE;ftSB和CESB為迭代過程中設定的較優符合度及其對應的優化參數行向量;ftP和CEP分別等于上一次迭代得到的ftS和CES;ftPS為由符合度ftP和ftS合并形成的2×N維行向量;CEPS則由CEP和CES合并得到;火焰數F_No可由式(7)計算得到。

圖4 圓錐全局角度尺寸評定用MFO流程圖Fig.4 MFO flowchart used in the evaluation of cone’s global angular sizes

F_No=round(N-(Iter×((N-1)/T))

(7)

式中:round是將括號中計算得到的數值圓整到最近的整數;Iter為迭代次序。

4 實驗與討論

4.1 實驗

基于圓周提取方案的4個圓錐仿真試樣S-1、S-2、S-3和S-4的仿真過程如下:1)用Talyrond 585LT形狀測量儀分別對4個圓柱按表1所示的m、n、Δz提取圓周輪廓。2)用標準圓柱消除圓周輪廓的徑向系統誤差,徑向系統誤差的消除方法見文獻[20]; 4個圓柱消除徑向系統誤差后的圓周輪廓如圖5所示(分別對應于4個圓錐仿真試樣)。3)仿真圓錐試樣上第i圓周第j采樣點到形狀測量儀回轉工作臺回轉軸線(圖1所示z軸)的徑向尺寸Pij可表示為:

表1 4個圓錐仿真試樣規格與輪廓提取參數Tab.1 Specifications and parameters of profiles’ extraction of four cone simulated samples

(8)

圖5 4個圓柱圓周輪廓示意圖Fig.5 Schematic of roundness profiles of four cylindrical samples

式中:PCij為消除徑向系統誤差后圓柱試樣第i圓周輪廓第j采樣點到形狀測量儀回轉工作臺回轉軸線的徑向尺寸;zi為第i圓周輪廓與xOy平面間的z向距離;α為圓錐仿真試樣的圓錐角的公稱尺寸(見表1)。依據上述仿真原理和表1中的參數,由4個圓柱試樣C-1、C-2、C-3和C-4的圓周輪廓分別獲得了四個圓錐仿真試樣S-1、S-2、S-3和S-4的圓周輪廓,如圖6所示。圖5和圖6中的輪廓未按比例繪制,由程序生成,局部放大比為2 000。

圖6 4個圓錐仿真試樣圓周輪廓示意圖Fig.6 Schematic of roundness profiles of four cone simulated samples

基于式(1)和式(4),對4個圓錐仿真試樣的最小二乘全局角度尺寸進行了評定,最小二乘全局角度尺寸αL和最小二乘圓錐相關參數xL1,yL1,pL,qL,RL1和TL見表2～表5?；谑?1)、式(2)和圖4,用非線性最小二乘法對4個圓錐最小二乘全局角度尺寸進行了評定,最小二乘全局角度尺寸αLn和最小二乘圓錐相關參數xLn1,yLn1,pLn,qLn,RLn1和TLn見表2～表5。

表2 圓錐試樣S-1的最小二乘全局角度尺寸評定結果Tab.2 Evaluation results of least square global angular sizes of cone sample S-1

表3 圓錐試樣S-2的最小二乘全局角度尺寸評定結果Tab.3 Evaluation results of least square global angular sizes of cone sample S-2

表4 圓錐試樣S-3的最小二乘全局角度尺寸評定結果Tab.4 Evaluation results of least square global angular sizes of cone sample S-3

表5 圓錐試樣S-4的最小二乘全局角度尺寸評定結果Tab.5 Evaluation results of least square global angular sizes of cone sample S-4

用非線性最小二乘法評定最小二乘全局角度尺寸時,將CLs=[xLs1yLs1pLsqLsRLs1TLs]作為搜索CLn的優化初始參數CLn0,由式(9)確定。

(9)

用最小二乘圓錐參數CL=[xL1yL1pLqLRL1TL]或CLn=[xLn1yLn1pLnqLnRLn1TLn]作為MFO評定圓錐最大最小全局角度尺寸優化時的初始參數CM0。

對于圓錐角度尺寸優化時的初始參數CE0k,k=1,…,6。全局角度尺寸優化參數CE的下、上搜索邊界可由式(10)確定。

(10)

式中:bc和c均為搜索邊界系數,本文中bc和c分別為40和0.3;f可由式(11)確定。

(11)

式中1≤j≤n。

表2～表5中,EEa為最小二乘方法的優化特征值,可由式(12)確定,即,

(12)

由表2～表5可知:線性最小二乘方法和非線性最小二乘方法評定全局角度尺寸得到的圓錐軸線參數基本相同;對于試樣S-1、S-2、S-3,2種最小二乘方法評定得到特征值ELa與ELna相同、全局角度尺寸αL與αLn基本相同;對于試樣S-4,盡管2種最小二乘方法得到的參考圓錐的軸線參數相同,但由于兩種方法的RL1和RLn1不同、TL和TLn不同,導致優化特征值EEa與ELna不相同,兩種最小二乘方法得到的全局角度尺寸之差為0.997″?？傮w上講,線性最小二乘方法在評定精度和效率方面優于非線性最小二乘方法。

表6～表9為基于式(5)和圖4,優化參數初始值CM0分別等于CL和CLn,由MFO優化得到的圓錐最大最小全局角度尺寸及其相關參數的評定結果。表中,EMd為最大最小全局角度尺寸評定效果的優化特征值,EMd值小者,其對應的圓錐最大最小全局角度尺寸的評定精度高。EMd可表示為:

表6 圓錐試樣S-1的最大最小全局角度尺寸評定結果Tab.6 Evaluation results of minimax global angular sizes of cone sample S-1

表7 圓錐試樣S-2的最大最小全局角度尺寸評定結果Tab.7 Evaluation results of minimax global angular sizes of cone sample S-2

表8 圓錐試樣S-3的最大最小全局角度尺寸評定結果Tab.8 Evaluation results of minimax global angular sizes of cone sample S-3

表9 圓錐試樣S-4的最大最小全局角度尺寸評定結果Tab.9 Evaluation results of minimax global angular sizes of cone sample S-4

EMd=maxdMij-mindMij

(13)

式中:1≤i≤m; 1≤j≤n;dMij的含義見式(6)。將式中的下標M換成L或Ln,即可確定表2～表5中的EEd。

由表6～表9可以看出:優化參數初始值影響最大最小全局角度尺寸的評定精度。對于試樣S-1和S-2,優化參數初始值CM0等于CL時的EMd小于優化參數初始值CM0等于CLn時的EMd,說明前者最大最小全局角度尺寸αM的評定精度高于后者的評定精度;對于試樣S-3和S-4,情況與試樣S-1和S-2相反,優化參數初始值CM0等于CLn時得到的最大最小全局角度尺寸αM的評定精度高于CM0等于CL時的評定精度。MFO是1個全局優化算法,從理論上講,不同優化初始參數得到的優化特征值EMd應基本相同,但兩者實際上還是有差別的。表6～表9中試樣S-1、S-2、S-3和S-4對應于2個優化初始值的EMd之差(單位:mm)分別為-1.71×10-6、-1.29×10-5、9.1×10-7和1.26e×10-6,對應的最大最小全局角度尺寸αM值之差分別為-0.046″、0.181″、0.068″和-0.012″。

為了使最小二乘圓錐面和最大最小圓錐面評定結果可視化,將上述確定最小二乘圓錐面和最大最小圓錐面相關參數的計算方法用于圖6所示的局部放大輪廓的最小二乘圓錐面和最大最小圓錐面的相關參數的計算。以最小二乘全局角度尺寸評定的可視化為例,4個圓錐面仿真試樣輪廓及其最小二乘參考圓錐面的可視化如圖7所示。

圖7 四個圓錐仿真試樣的最小二乘圓錐面可視化Fig.7 Visualization of least square cones of four cone simulated samples

4.2 討論

由表2～表9中的EEd和EMd值可知,4個圓錐試樣的EMd值均小于EEd值,與最大最小評定準則一致。

由表2～表5中的優化特征值EEa和表6～表9中的優化特征值EMd可以看出,評定結果可能未達到最優。實際上,影響MFO算法優化結果的因素很多,如邊界系數bc和c、優化初始值、種群大小N和最大迭代次數T等。表2～表9中的值評定時,N和T分別為20和500。

本文以圓錐試樣S-4的最大最小全局角度尺寸為例說明邊界系數bc和c以及N和T對評定結果的影響,將上述參數進行了5組組合對優化特征值和圓錐最大最小全局角度尺寸進行評定。優化參數分組如下:組Ⅰ:bc、c、N和T分別為40、0.3、10和500;組Ⅱ:bc、c、N和T分別為40、0.3、30和500;組Ⅲ:bc、c、N和T分別為40、0.3、20和200;組Ⅳ:bc、c、N和T分別為1、0.2、20和500;組Ⅴ:bc、c、N和T分別為40、0.3、20和500。

5組優化特征值EMd和最大最小全局角度尺寸αM評定結果如圖8所示。

圖8 圓錐試樣S-4不同優化參數組合下的EMd和αM評定結果Fig.8 Evaluation results of EMd and αM of cone sample S-4 under different combinations of optimization parameters

由圖8(a)可以看出,表5和表9選用的優化參數組合(組Ⅴ)在5組組合中是較佳的組合,其優化特征值相對較小。由圖8(b)可以看出,當CM0=CL時,5種組合的最大最小角度尺寸αM的最大值與最小值之差為0.125″,當CM0=CLn時,5種組合的最大最小角度尺寸αM的最大值與最小值之差為0.191″。由圖8可以看出,CL和CLn分別選作CM0時,組Ⅲ的αM2個評定結果相差較大,其差為-0.164″,組Ⅴ的相差較小,其差為-0.012″。由上述分析可知,優化參數的組合和CM0的選用,對評定結果均有一定的影響,但規律性不強。為使全局角度尺寸評定達到較高的精度,需要通過大量的實驗和評定,探索較佳的優化參數組合。

為進一步驗證MFO在圓錐全局角度尺寸評定中的適應性,選擇組Ⅴ的優化參數組合,用CSA、AEO、EO、粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)4種算法對4個試樣的最大最小全局角度αM進行評定,獲得相應的優化特征值EMd,見圖9,圖中,CSA、AEO、EO和PSO的8個優化特征值EM小于MFO對應的優化特征值EMd的個數分別為1、3、2和1?？傮w上講,MFO的評定結果優于其他4種優化方法的評定結果。盡管基于MFO的評定結果并非全局最優,但其評定精度可以滿足圓錐全局角度尺寸評定的需要。

圖9 四個圓錐試樣不同優化優化算法的EMd評定結果Fig.9 Evaluation results of EMd of four cone samples under different optimization algorithms

除了用EMd值評價優化算法的圓錐全局角度尺寸的評定精度外,優化算法的評定效率也是評價其在圓錐全局角度尺寸評定中的適應性的一個重要方面,5種優化算法的評定效率如表10所示。表中,ΓLn和ΓM分別表示非線性最小二乘全局角度尺寸和最大最小全局角度尺寸每1 000采樣點的評定時間(單位:s),ΓLn和ΓM由式(14)計算得到。

表10 5種優化算法的評定效率Tab.10 Evaluation efficiencies of five optimization algorithms

E=Ln,M

(14)

式中:圓錐試樣S-1、S-2、S-3和S-4的全局角度尺寸評定時間分別為tE1、tE2、tE3和tE4;圓周輪廓數分別為m1、m2、m3和m4;每個圓周輪廓的采樣點數為n1、n2、n3和n4。

由表10可以看出,5種優化算法中,MFO的評定效率略低于CSA和PSO的評定效率,但高于AEO和EO的評定效率。綜合考慮評定精度和評定效率,MFO盡管尚未實現全局最優,但可以滿足圓錐全局角度尺寸評定的需要。

5 結 論

根據圓錐全局角度尺寸的定義,提出了基于圓周輪廓提取方案的最小二乘全局角度尺寸和最大最小全局角度尺寸評定方法,建立了圓錐最小二乘全局角度尺寸評定模型和最大最小全局角度尺寸評定模型?；趫A錐全局角度尺寸評定模型,給出了MFO評定圓錐全局角度尺寸的流程圖,并編制了相應的圓錐全局角度尺寸評定程序。采用所編制的評定程序,對4個圓錐仿真試樣進行了全局角度尺寸評定,并給出了相應的評定結果。

將線性最小二乘圓錐面參數CL和非線性最小二乘圓錐面參數CLn分別作為最大最小圓錐面優化的初始參數,4個圓錐試樣的基于MFO的對應試樣2個最大最小圓錐面優化特征值EMd之差位于-1.291×10-5～9.1×10-7mm之間,2個最大最小全局角度尺寸αM之差位于-0.046″～0.181″之間。評定結果表明:MFO的圓錐全局角度尺寸評定尚未實現全局最優;且優化初始值、搜索區間、種群數、最大迭代數等對評定結果均有一定的影響,但其缺乏規律性?？傮w上講,MFO評定結果優于CSA、AEO、EO和PSO四種優化算法的評定結果。