含時緊束縛模型中的波包動力學

王羽婷，張禧征

（天津師范大學物理與材料科學學院，天津 300387）

近年來，離散量子系統引起了人們的廣泛關注，通過對離散量子系統的分析，人們可以更容易地理解一些實驗中觀察到的反常量子現象，如量子相變和布洛赫振蕩等，并從中加深對量子力學理論的認識.離散量子系統可以通過多種實驗手段進行模擬，光學晶格中的超冷原子氣體是量子模擬的理想模型系統[1].為研究復雜的量子過程，通常需要引入人工電場和磁場.在電場作用下，布洛赫粒子運動問題在固體量子理論提出之初就被涉及，最重要的例子之一是布洛赫振蕩[2-5]，隨著實驗技術的發展，已經可以分別在簡并玻色/費米氣體[6-7]、強關聯量子系統[8-9]和玻色-愛因斯坦凝聚[10-13]中觀察到布洛赫振蕩現象.通過對外場的調制，波包可以展現出相干定向傳輸和擴展[14-15]以及隧穿相干破壞[16].此外，外場的作用可以使波包在實空間中呈現出振幅較大的傳輸，即超級布洛赫振蕩，其動力學行為已在冷原子系統中被觀察到[17]，并有相關研究進行了理論分析[18-20].在外加磁場系統中，相關研究表明在含時磁通的作用下存在類似布洛赫振蕩現象[21]以及量子態的控制[22-23]，并根據量子態傳輸的特點提出量子態控制的方案[24]，但離散系統中可否利用磁場模擬電場作用效果的相關機制還不清楚.

因此，本研究基于含時磁通作用的一維緊束縛環體系，針對波包的動力學行為，討論了采用半經典近似理論描述波包運動的前提條件，分析了磁場作用的緊束縛環與線性勢作用的緊束縛鏈2 個不同體系的等價性，進而將離散體系的特點與經典物理中的法拉第電磁感應定律建立聯系，以期擴展經典理論在量子物理中的應用.

1 理論模型

在具有N 個格點的一維緊束縛環模型中，系統的哈密頓量為

式（2）中：派爾斯相位因子φ（t）表示在每個格點上由于矢勢A（t）作用引起的相位變化，體系的哈密頓量可寫為

用相位φ（t）表示A（t）的影響稱為派爾斯替代，是研究電子在緩慢變化的矢勢作用下的緊束縛模型中運動的一種近似方法.當離散系統取連續極限時，體系的哈密頓量可以過渡到連續體系的形式（詳細計算步驟參考附錄A）.

設穿過緊束縛環的總磁通為Ф（t），示意圖如圖1所示，即含時變化的磁場作用于閉合的緊束縛環內，系統滿足周期性邊界條件，以磁通量子Ф0=hˉ/e 為單位，平均分布在每個跳躍項上的相位變化可寫為

圖1 含時變化的磁通Ф（t）穿過緊束縛環的示意圖Fig.1 Schematic illustrations of time-varying magnetic flux Ф（t）passing through tight-binding ring

因此，系統的哈密頓量可以改寫為

引入傅里葉變換

式（6）中：k=2πn/N，n∈[1，N].將哈密頓量（式（3））對角化為

系統的色散關系為

2 波包的運動

離散模型中的空間波函數類似于連續模型中局域分布的波包，電子的狀態由k0附近Δk 范圍內的布洛赫本征態疊加構成，可以近似認為波包的動量k 圍繞中心動量k0分布，表現為波包在動量空間的分布非常窄，根據量子力學中的不確定關系可知，波包在實際空間中的位置不確定度較大，實空間中波包較寬，在僅限于寬波包的情況下，可根據Ehrenfest 定理計算寬波包質心的動力學演化.

在不含外場的離散體系中，波包寬度隨時間變化的結果為（詳細計算步驟參考附錄B）

式（10）中：α 為初始時刻的波包寬度.此結果表明，演化過程中波包寬度的變化取決于波包初始動量和系統的色散關系，且隨時間變化而變化.某些特殊情況下，如波包的中心動量k0=±π/2 時，波包寬度不會隨時間變化而發生改變，可以實現波包的理想傳輸，波包的運動可以近似視為一個經典粒子.

考慮質量為m 的粒子在勢場中運動，假設含時變化的外場在空間中的變化非常緩慢，使用線性勢作用在系統上即滿足此條件.在一維緊束縛模型中，線性勢的效應通常用外力F（t）來描述，波包中心的位移D（t）隨時間的變化使用Ehrenfest 定理進行描述

這與經典牛頓方程相似.外力F（t）導致波包的動量k（t）隨時間的變化線性增加，其隨時間的變化可用經典的沖量定理

進行描述，式（12）與牛頓力學中動量的表述相似.波包的群速度由系統的色散關系決定

對式（13）進行微分并應用式（12）得到波包運動的加速度

與經典的牛頓定律相比，定義有效質量

與牛頓定律不同，此時有效質量由粒子的狀態和色散關系決定，而不是粒子的真實質量.對于線性勢作用下的波包，動量隨時間的變化會導致有效質量隨時間變化，這說明波包運動的加速度由外力F（t）和動量k（t）共同決定，進而展現出不同于自由粒子的運動特點.

3 數值解和解析解

在含時磁通作用的一維緊束縛環中，波包動力學行為的數值解可由能譜計算得到，波包的群速來自能譜的色散關系（式（9））.中心動量為k0的波包的群速

將群速對時間進行微分得到波包的加速度，對時間進行積分得到波包中心的位移.

由解析結果可以得到波包隨時間演化的動力學規律，在動量空間中，t 時刻到t′時刻系統的傳播子矩陣元為[24]

并有

式（21）中：κeff為有效跳躍常數.

在離散體系中，初態使用局域分布的高斯波包來描述粒子的空間分布

式（22）中：Λ=（2πα2）-1/4為歸一化系數；α 為波包寬度，N0和k0分別為波包的中心位置和中心動量.高斯波包在動量空間中可以表示為

式（23）中：Ω=（α2/2π3）1/4為歸一化常數.在寬波包近似條件下，利用傳播子式（17）計算波包由0 時刻經歷時間t 的演化

式（24）中：γ（t）= 2tκeff（t）{cos [k0+ φ（t）] + k0sin[k0+φ（t）]}表示波包在演化過程中的相位變化；波包中心的位移D（t）=2tκeff（t）sin[k0+φ（t）]，對位移D（t）求微分得到波包的群速度vg（t）=2κ sin[k0+φ（t）]，此結果與數值結果（式（16））一致.進一步計算出波包的加速度

根據式（14）可以初步將此時波包的運動看作一個有效質量為meff={2κ cos[k0+ φ（t）]}-1的粒子在大小為?φ（t）/?t 的外力作用下展現的動力學行為.

考慮一個含時線性勢作用在一維緊束縛鏈上，圖2 為含時變化的線性外場F（t）作用在緊束縛鏈上的情況，其中j 用來標記格點位置.由于緊束縛鏈首尾格點間存在較大勢差，波包在首尾2 個格點間不能發生隧穿，系統滿足開鏈邊界條件，在波包沒有運動到緊束縛鏈邊界的情況下，2 個不同體系的邊界條件對計算波包的動力學行為沒有影響.當波包受到一個電場力F（t）的作用時，系統的哈密頓量可寫為

圖2 含時變化的線性外場F（t）作用在緊束縛鏈上的情況Fig.2 Time-varying linear external field F（t）acting on tight-binding chains

假設波包經歷時間t 后，通過式（12）得到t 時刻波包的動量

式（27）中：I（t）為波包動量的平移，波包的群速度由沒有外力作用時的色散關系決定，在僅考慮最近鄰跳躍時，系統的色散關系為E（k）=-2κ cos（k），波包運動過程中的群速度vg（t）=2κsin[k0- I（t）]，波包的加速度

即波包在含時線性勢作用下的演化可以描述為有效質量meff={2κcos[k0-I（t）]}-1的粒子在[-F（t）]作用下的運動.對比式（25）和式（28），當

時，式（25）和式（28）具有相同的結果，表明波包的動力學行為在2 個不同的體系中具有一定的等價性.對于等效的結果可以從經典電磁學角度進行理解，當穿過系統的磁通量發生變化時，就會產生一個電場，這個電場給波包的作用力大小可用式（29）描述，波包在實空間中的運動可以看作是一個有效質量為meff的粒子在外力F（t）作用下產生的運動.

以上結果與經典物理中的法拉第定律一致，說明含時磁通作用的離散體系可以模擬電場在離散體系中對波包的作用，即波包在含時磁通作用下展現的動力學行為是法拉第電磁感應定律的結果.

本節理論推導對外場隨時間變化的形式和局域的波包形式沒有任何限制，但要求波包在含時演化過程中擴散不厲害，使得波包能夠近似作為一個粒子在體系中運動.

4 寬波包的含時演化

考慮含時磁通隨時間的正比變化

式（30）中：φA為磁通強度，初態取高斯波包（式（22）），在寬波包近似下，波包群速為

波包中心的位移和加速度為

由式（32）可得波包中心的位置隨時間的變化N（t）=N0+D（t），由此結果可知，波包呈現出周期性運動，其運動的周期τBO=2π/φA，運動的振幅LBO=2κ/φA.波包的含時演化及波包中心位置如圖3 所示.圖3 中格點數N=200，高斯波包的波包寬度α=12，波包中心位置N0=100，中心動量k0=π/2，外場參數φA=0.05，跳躍常數κ=1，時間t 以波包中心位移的周期τBO為單位.波包的運動可以等效為波包在電場中的運動，此時電場力

圖3 高斯波包在含時磁通（式（30））作用下的演化結果Fig.3 Evolution result of a Gaussian wave packet under the actionoftime-dependentmagneticflux（equation（30））

波包的有效質量為

即波包在含時磁通（式（30））作用的體系下的動力學行為可以等效為有效質量為meff的粒子在均勻外場F作用下的運動.波包的群速（式（31））表明在含時磁通的作用下波包呈現周期性加速或減速，波包經過一個運動周期后回到初態，這與波包在均勻電場中的動力學行為一致，這一現象稱為布洛赫振蕩.通過計算可知，在含時磁通作用的外場中，布洛赫振蕩的運動周期和振幅取決于φA的大小，表現為φA越大，運動的周期和振幅越小，這與外加電場作用下的計算結果一致[5].

當驅動頻率與布洛赫頻率間存在恒定失諧時，波包的傳輸展現為較大振幅的緩慢振蕩行為，稱為超級布洛赫振蕩[17].考慮外部磁通隨時間的變化

式（36）中：n 為任意整數；δ<<1 表示一個失諧因子；ω為磁通隨時間變化的頻率.波包的群速為

波包群速的周期τ=2π/ω 為波包運動的準周期，不再是波包運動的嚴格周期，假設波包的演化經歷很短的時間τ，波包中心的位移

式（38）中：Jn（φA/ω）為n 階第一類貝塞爾函數.

由波包位移的表達式可知，波包經歷時間τ=2π/ω后，波包中心的位移D（τ）≠0，通過計算式（38）可知，波包在經過每個準周期τ 后，波包中心的位移并不總是增加一個固定值，有可能在演化一段時間后由增加變為減少，展現為在波包傳輸過程中出現褶皺，波包中心位移的變化周期近似等于τ′=2π/δω，波包含時演化結果及波包中心隨時間的變化情況如圖4 所示.由圖4 可看出，波包呈現超級布洛赫振蕩，其振蕩周期取決于δ 的大小.

圖4 高斯波包在含時磁通（式（36））作用下的演化結果Fig.4 Evolution result of a Gaussian wave packet under theaction of time-dependent magnetic flux（equation（36））

圖4 中高斯波包的參數與圖3 相同，含時磁通（式（36））的參數n=1、δ=0.05、φA=0.5 和ω=0.5，時間t 以波包中心位移的周期τ′為單位.波包的加速度a（t）=2κ[（n+δ）ω-φAcos（ωt）]cos[k0+（n+δ）ωt-（φA/ω）sin（ωt）]，波包的運動可以等效為1 個有效質量為meff={2κcos[k0+（n+δ）ωt-（φA/ω）sin（ωt）]}-1的粒子在等效電場力F（t）=-（n+δ）ω+φAcos（ωt）作用下的運動.

為說明不同含時磁通對波包動力學的影響，選取簡單的方波型磁通進行研究.方波型磁通在符號函數的作用下，磁通大小在突變處存在導數無窮大，即磁通變化瞬間波包受到的電場力為無窮大，這在實驗中很難實現.在實驗中通?？梢酝ㄟ^調制誤差函數的參數得到類似方波型磁通的結果，考慮含時磁通隨時間的變化為誤差函數的形式，

誤差函數的圖像如圖5 所示，其中φA=π/2.

圖5 誤差函數的圖像Fig.5 Image of the error function

波包的群速

積分式（40）得到波包中心的位移D（t），高斯波包式（22）在φ（t）作用下的演化及波包中心隨時間的變化如圖6 所示，圖6 中高斯波包的參數與圖3 一致.

圖6 高斯波包在含時磁通（式（39））作用下的演化結果Fig.6 Evolution result of a Gaussian wave packet under the actionoftime-dependentmagneticflux（equation（39））

當φA=π/2、k0=π/2 時，在磁通不隨時間變化的階段，即誤差函數的兩端，存在dφ/dt=0，波包的群速等于0；當磁通隨時間變化時，即誤差函數在t=0附近dφ/dt 是線性的，波包在短時間內進行加速或減速，在實空間中表現出微小的位移.此速度的含時變化可認為來自磁通的變化，磁通量的變化產生隨時間變化的電場，波包受到電場力的作用，導致波包獲得加速度從而進行加速或減速運動.波包的加速度a（t）=4κφAπ-1/2exp（-t2）cos[k0+φ（t）]，波包的運動可以等效為有效質量為meff={2κ cos[k0+φ（t）]}-1的粒子在電場力F（t）=-2φAπ-1/2exp（-t2）作用下的運動.

考慮含時磁通隨時間的變化為

式（41）中：Jn（t）為n 階第一類貝塞爾函數.波包的群速vg（t）=2κ sin[k0+φAJn（t）]，波包隨磁通的變化做加速和減速運動.波包中心的位移D（t）可由群速的積分得到，高斯波包式（22）在φ（t）作用下的含時演化及波包中心N（t）隨時間的變化結果如圖7 所示.

圖7 高斯波包在含時磁通（式（41））作用下的演化結果Fig.7 Evolution result of a Gaussian wave packet under the action of time-dependent magnetic flux（equation（41））

圖7 中高斯波包的參數與圖3 一致，外場參數分別為n=1，φA= 1，波包運動的加速度可以寫為a（t）=2κφAJn′（t）cos[k0+φAJn（t）]，其中Jn′（t）=[Jn-1（t）-Jn+1（t）]/2.當n=1、φA=1 時，波包的運動可以等效為有效質量為meff={2κcos[k0+φAJn（t）]}-1的粒子在等效電場力F（t）=-φA[J0（t）-J2（t）]/2 作用下的運動.

5 窄波包的含時演化

為了更加直觀地表示波包的寬窄對動力學行為的影響，取波包初態為狄拉克脈沖波δn，此時可以認為波包局域在一個格點上，表現為波包較窄.在前面討論過的外場作用下，波包的含時演化如圖8 所示.

圖8 狄拉克脈沖波在不同含時磁通作用下的演化結果Fig.8 Evolution results of Dirac pulse waves under the action of different time-dependent magnetic flux

將初態波包固定在格點n0=100 上，在含時磁通（式（30））的作用下，波包的含時演化結果如圖8（a）所示，外場的參數與圖3 一致.波包表現為周期性的變寬和收縮，波包在一個布洛赫振蕩周期后回到初態，這樣的現象稱為呼吸模式[5].由波包的動力學特點可知，窄波包在含時磁通體系中的運動與在均勻電場（式（29））作用下的運動相同，均呈現出呼吸模式，這表明離散體系中的外場可以做經典近似，波包在實空間中的動力學行為是法拉第定律的結果.但此時由于波包的擴散使得波包不能視為一個粒子，波包的動力學行為不能使用Ehrenfest 定理進行描述.

當磁通隨時間的變化形式為式（36）時，波包的含時演化結果如圖8（b），外場參數與圖4 一致，波包在含有失諧的外場中同樣會迅速擴散，經歷一個超級布洛赫振蕩周期后回到初態，波包的動力學行為與呼吸模式相似.當磁通隨時間的變化形式為式（39）時，波包的含時演化結果如圖8（c），外場參數與圖6 一致，波包在磁通不隨時間變化的階段不會固定在初態，波包會發生擴散，且波包不會回到初始狀態.當磁通隨時間的變化形式為式（41）時，波包的含時演化結果如圖8（d），外場的參數與圖7 一致，此時波包的擴散程度隨時間不斷變大.

以上數值模擬的結果表明，當波包很窄時，波包會在運動中發生擴散，使波包整體不能當作一個粒子，波包會展現出不同于寬波包的動力學行為，波包的運動無法使用經典理論進行描述.

6 結論

本文主要研究了波包在含時離散系統中的動力學行為，得到以下結論：

（1）在一維緊束縛環的體系中加入含時變化的磁通，使用派爾斯替代可以將磁通的影響等效為在跳躍項上增加一個派爾斯相位，進而將哈密頓量對角化.

（2）在波包不散傳播的條件下，使用Ehrenfest 定理描述波包的運動.通過分析波包的加速度表達式，說明在磁通作用的緊束縛環中產生的波包動力學行為是法拉第定律的結果.

（3）利用數值模擬的方法得到波包在不同外場中的演化結果，結果表明：在波包較寬時，波包的中心位移、群速和加速度可以完全使用經典物理中的牛頓定律進行描述；當波包很窄時，波包在體系中表現出擴散行為，Ehrenfest 定理不再適用.

綜上所述，通過研究含時磁通對一維緊束縛環上波包動力學的影響可知，含時變化的磁通可以模擬電場對波包的影響，拓展了法拉第電磁感應定律的應用.同時，波包的演化結果不僅取決于外場形式，還取決于波包自身的狀態參數.根據動力學特征可以選擇合適的系統對波包進行控制，這為今后應用于量子信息處理提供了一定的理論參考.

附錄A 派爾斯替代

派爾斯替代（Peierls substitution）是描述含有矢勢Ax作用的一維緊束縛模型中電子運動的一種近似方法.矢勢的作用可以等效為在跳躍項上增加一個相位因子φ，用于表示平均分布在每個跳躍項上的相位變化，這個相位因子φ 稱為派爾斯相位.考慮具有N 個格點的一維緊束縛環模型，系統的哈密頓量

在離散體系中，定義平移算符

電子在相鄰格點上的平移算符

式（A-4）中：px=hˉk 為電子的動量.

現對離散體系取連續極限，令a→0，對exp（-ipxa/hˉ）做泰勒展開并保留到二階小量，得到

式（A-5）中：o（a3）為三階及高階的小量.同理可得

假設矢勢Ax在格點間隔范圍內沒有明顯改變，則相位因子φ 中的積分式（A-2）可以近似等于Axa，則φ 可以改寫為

同理，對eiφ和e-iφ做泰勒展開并保留到二階小量

哈密頓量的兩部分可以改寫為

合并整理后，總的哈密頓量在取連續近似時可寫為

有效哈密頓量為

由式（A-13）可知，離散體系在取連續極限后可以得到磁通作用在連續系統中的哈密頓量，此時系統的有效質量定義為meff=hˉ2/（2κa2），這表明矢勢以指數因子的方式改變離散系統中的跳躍項，這與連續體系中動量算符px用（px-eAx）代替具有相同的作用.

附錄B 離散體系中波包含時演化的位置不確定度

在討論一維緊束縛模型中波包的演化時，初態取為高斯波包形式

式（B-1）中：Λ=（2πa2）-1/4為歸一化系數，α 為波包寬度，N0為波包的中心位置，k0為波包的中心動量.根據量子力學態疊加原理，任意波函數都可以用一組力學量的完全集所展開，波包按哈密頓量的本征函數展開為

利用周期性邊界條件，將離散傅里葉變換連續化，通過高斯積分公式

求得展開系數為

式（B-4）中：Ω=（α2/2π3）1/4為歸一化常數.波函數在能量表象下的表示為

波函數隨時間的演化可寫為

在一維緊束縛模型中，一個有限的波矢空間中包含了電子結構的所有信息，即要求在第一布里淵區進行積分，有-π/a

對式（B-7）進行以下兩點近似：首先，要求波包足夠寬，在動量空間中，波包中心動量為k0的質心距離第一布里淵區的邊界足夠遠，使得在積分的極限處被積函數可以忽略不計，積分范圍可以擴展為-∞< k <∞；其次，在僅考慮電子的最近鄰跳躍時，系統的色散關系滿足E（k）= -2κcos（k），其中κ 為跳躍常數.將Ek在k=k0處做泰勒展開，并保留至二階小量

利用式（B-8），式（B-7）的積分寫成高斯積分的形式

式（B-9）中：ξ=k-k0.利用高斯積分公式（B-5）計算得到

式（B-10）中：Ω1=（α2/2π）1/4.波包中心的不確定度

式（B-11）中：﹤…﹥表示演化態的平均值，計算得到

式（B-12）和式（B-13）中：E′（k0）=2κ sin（k0），E″（k0）=2κ cos（k0）.代入波包位置的不確定度，得到

即

結果表示波包位置的不確定性是時間的函數，但當k0=±π/2 時，波包位置的不確定度不隨時間的變化而變化，此時可以實現波包的理想傳輸.