循環加卸載條件下考慮溫度的煤體本構模型

周宏偉 ， 侯 魏 ， 張龍丹 ， 謝森林 ， 賈文豪 ， 史貝貝

(1.中國礦業大學(北京) 能源與礦業學院, 北京 100083；2.中國礦業大學(北京) 煤炭精細勘探與智能開發全國重點實驗室, 北京 100083；3.中國礦業大學(北京) 力學與土木工程學院, 北京 100083)

深部煤炭資源賦存條件除高地應力外，同時伴隨著高地溫的情況[1]。深部煤層賦存環境中所存在的高地溫會顯著影響煤體強度、變形特征以及圍巖的穩定性[2-5]。其次，在對深部煤體的開采過程中會受到長期的采動應力作用影響，其循環加卸載作用特點導致煤體的力學行為相較于單調的單軸或者三軸加載或者卸載條件會更加地復雜多變[6-8]。因此研究處于不同溫度的深部煤體在循環加卸載作用下的變形破壞規律及演化特征對深部煤層的穩定性分析和綠色安全開采具有重要的理論意義和工程參考價值。

深部工程作業中，巖石將受到熱-力學耦合的復雜作用[2,9-10]。馮子軍等[11]認為熱力耦合效應促進了無煙煤煤樣基質活化，更易于進入塑性區。低于臨界溫度時，溫度對煤樣的變形以熱膨脹為主，而高于臨界溫度值后，由于高溫而揮發的氣體使得煤樣產生更大的變形。而周長冰等[12]發現有煙煤在熱力耦合作用下的變形機制與無煙煤有所不同。薛東杰等[13-14]通過熱力耦合作用下的巖樣聲發射特征指出了巖樣強度隨著溫度升高呈指數型降低的趨勢，另外細觀有限元模擬結果顯示出應變能及耗散能隨著溫度的升高而增大。WANG 等[6]對熱力耦合下的花崗巖力學行為進行了實驗研究，發現隨著溫度的升高，巖石的彈性模量、裂紋損傷應力和破壞強度等力學特性略有降 低。 XU 等[15]、 YIN 等[16]和WANG 等[17]利 用Weibull 分布和連續損傷理論建立巖石的熱-力損傷本構模型，擬合曲線顯示出峰值應力對應的巖石損傷值和應變能釋放率均隨圍壓和溫度的增加呈指數增長，同時XU 等[18]基于Weibull 分布和Lemaitre 應變等效原理建立的花崗巖損傷本構模型表明溫度和圍壓對巖石試件的延性有增強作用。綜上研究結果均顯示出熱損傷隨溫度的升高而持續增長，溫度場的存在促進了巖石裂紋發育。

在循環加卸載條件下煤體的損傷機理研究工作越來越多，包括損傷本構模型和能量演化等方面。彭瑞東等[19]和李濤等[20]分別設置不同的軸向峰值荷載對煤體和凍結砂巖進行重復加卸載，通過變換圍壓發現彈性模量的變化并不是單一的。彭瑞東等[19]基于此定義了以耗散能為主的損傷變量，發現損傷隨著應力單調增大?；诖?，王向宇等[21]對飽和深部煤樣展開了循環加卸載實驗，引入修正定義的損傷變量有效表征了彈塑性煤體的損傷演化程度。楊磊等[22]以煤巖組合體為研究對象，發現了峰前階段能量以彈性能為主。孟慶彬等[8]指出基于彈性模量恒定的能量計算方法的不足，建立了以應力-應變曲線面積為準的能量表征方法。為了對峰后階段巖樣的本構關系有更深刻的認識，楊小彬等[23]組建了峰后重復加卸載實驗，通過對巖樣裂紋演化規律的研究，建立了摩擦耗散能以表征結構面之間的錯動、滑移而損失的能量。陳結等[24]利用聲發射對含有瓦斯的煤樣進行了多種應力路徑下的加卸載實驗，總結了氣體吸附下煤樣的能量密度演化過程，并指出了彈性能與總輸入能之間的線性關系。

由于分數階導數對描述非線性問題有著很好的優勢[25]，近年來眾多學者基于分數階流變理論建立了煤體循環加卸載條件下的巖石本構模型[26-29]。王軍保等[26]引入分數階Burgers 模型用于研究鹽巖在低頻循環荷載作用下的蠕變特性，并通過實驗結果對所建軸向蠕變的Burgers 模型進行了驗證。郭建強等[27]提出彈性、黏性和塑性疲勞元件組合建立了循環荷載作用下巖石的一維非線性黏彈塑性疲勞模型。PU 等[28]將循環荷載分解為靜荷載和平均應力為零的循環荷載，并根據流變力學理論和黏彈性力學理論分別建立對應的流變本構方程，再將兩者進行疊加得到新的巖石循環加卸載動態本構方程。

綜上，分數階在描述煤體在循環加卸載條件下的力學特性具有一定的優勢，并且溫度對于深部煤體力學特性的影響不可忽略。鑒于此，筆者擬開展不同溫度下的循環加卸載試驗，通過煤體的全應力應變曲線，結合能量原理分析煤體在試驗過程中彈性參數、能量演化及損傷特性。利用連續介質損傷理論引入熱力耦合損傷變量，建立了基于分數階導數的深部煤巖考慮溫度效應的黏彈塑性本構模型，并通過試驗結果驗證了其適用性。

1 試驗流程

1.1 試樣制備

試驗所用煤樣取自中國平煤十二礦己16-17-17200工作面，取樣深度約為1 050 m。依據國際巖石力學學會(ISRM)建議方法將采集的煤體經過鉆孔取心、切割、打磨等工序，加工成?50 mm (直徑)×100 mm(高度)的圓柱體標準試件，保證試樣的上下端面直徑偏差不大于0.3 mm 以滿足試驗要求。如圖1 所示。

圖1 煤樣制備示意Fig.1 Diagram of coal samples preparation

1.2 試驗設備及方案

本次試驗采用MTS 815 Flex Text GT 巖石力學試驗設備開展不同溫度下的循環加卸載試驗，圍壓設定為25 MPa，參考平頂山礦區平均地溫梯度值在32.0～46.0 ℃/km[30]，分別設置為30、50、70 ℃，其中30 ℃為地表淺層煤體所處環境溫度，50 ℃為試驗煤體所處環境溫度，70 ℃為該地區煤體極端溫度，并可為未來更深處煤炭資源開發利用提供參考。根據煤樣常規三軸試驗預設30、50、70 ℃條件下的峰值為30、25 和20 MPa。本試驗按照以下步驟進行，具體過程如圖2 所示，圖中σ1為軸向應力，σ2=σ3為環向應力：① 按照20 ℃/h 的升溫速率將目標煤體從常溫加到預定溫度30、50、70 ℃并保持恒定；② 以20 kN/min 的加載速率將圍壓和軸壓逐漸加載至25 MPa，使煤體處于靜水壓力狀態；③ 采用軸向應力控制方式，以20 kN/min 的速率加載至軸向預定值；④ 以0.15 mm/min 的速率卸載至靜水壓力，完成一次循環試驗；⑤ 重復步驟③和④，逐級增加軸向預定值，考慮到煤體的離散性，可適當增加循環次數，直至峰值；⑥峰后按照峰值的80%、60%，繼續進行循環加卸載試驗，直致其失去承載能力。

圖2 循環加卸載示意Fig.2 Schematic diagram of cyclic loading and unloading

2 試驗結果與分析

2.1 不同溫度下煤體力學特性分析

通過對試驗所得數據進行后處理，得到了各個煤體的循環加卸載應力應變曲線如圖3 所示。

圖3 不同溫度下煤體循環加卸載的應力-應變曲線Fig.3 Stress-strain curves of cyclic loading and unloading of coal and rock at different temperatures

為了便于觀察分析，將原圖中前4 個循環部分進行放大并置于原圖右方，如圖3 中的(ii)所示。從圖3可以看出，軸向加卸載應力-應變曲線外包絡線與常規三軸壓縮曲線類似，在整個加卸載過程中，再加載曲線仍沿著單調加載曲線上升，即煤體具有記憶效應。根據已有研究成果[8,21]，可將軸向加卸載應力-應變曲線分為線彈性階段、穩定破裂發展階段、非穩定破裂發展階段以及應變軟化階段。在30 ℃與50 ℃條件下，第4 次循環軸向應力峰值為實際峰值強度的43.55%和55.72%，可認為煤體仍處于線彈性階段；第5 次循環過程中試驗煤樣內部開始出現塑性區，應力應變曲線下彎，煤體內部的原生微裂紋的端部、微缺陷等引起局部應力集中，使得裂隙面產生剪切運動，從而導致微裂紋穩定擴展。而70 ℃條件下，從第2個循環開始出現塑性區。通過比較不同溫度下的應力-應變外包絡線可以發現，隨著溫度的升高，曲線會更快出現下彎，說明溫度的升高增強了煤體的塑性。30 ℃條件下煤體在第5 次循環過程中失穩破壞，而50 ℃和70 ℃條件下的煤體的失穩破壞出現在第6次循環過程中。在超過峰值強度后，煤體內部出現破裂，承載能力下降，但由于圍壓的存在，煤體仍具有一定的強度。不同溫度下峰后第1 次循環應力峰值與其峰值強度相比較，可知30 ℃時下降幅度最大，為45.88%，50 ℃次之，為29.27%，70 ℃時下降幅度最小，為6.77%。說明溫度的升高降低了煤體的脆性。

在循環加卸載過程中，受載煤體內部原生裂隙以及內部微缺陷的閉合、擴展、貫通乃至破壞等都會消耗能量且不可逆。在三軸循環加卸載偏應力-應變曲線中表現為卸載曲線始終位于加載曲線下方，并且下一個循環對應的再加載曲線與卸載曲線相交形成一個閉合的環形區域，此為滯回環。在試驗過程中煤體的損傷程度越大，相應的耗散能也就越多，滯回環的面積也就越大。煤體的損傷程度與滯回環的面積呈現出明顯的正相關關系，因此可以通過觀察計算應力應變曲線中滯回環的面積來表征煤體的損傷程度。

從圖3 可以明顯看出，在前4 次循環加卸載中，滯回環面積隨著循環次數的增加而逐漸增大。30 ℃條件下在第5 次循環加卸載過程中試件到達峰值強度，滯回環面積到達最大，說明在這個階段試件達到儲能極限，前期積聚的彈性能快速釋放并轉化為煤樣破裂形成宏觀裂縫所需的表面能，同時伴隨著劇烈的聲響，說明部分轉化為聲發射等輻射能，此階段耗散能達到最大，隨后在殘余應變階段逐漸減小。通過對比不同溫度下試件達到的峰值強度，30 ℃對應的試件峰值強度為48.61 MPa、50 ℃對應的試件峰值強度為39.19 MPa、70 ℃對應的試件峰值強度為19.64 MPa，可以看出，隨著溫度的增加，峰值強度逐漸減小，說明溫度的升高會加速煤體孔裂隙的擴展貫通，導致損傷的積累加速，進而造成煤體承載能力的降低。

2.2 不同溫度下煤體變形特性分析

通過對比不同溫度下煤體的軸向應變可知，隨著溫度的增加，煤體的軸向應變最大值越來越大，分別為2.70%、3.72%、4.38%，表明隨著溫度的升高，煤體延性逐漸增強；通過觀察圖3 中不同溫度下的環向應變和體積應變隨著軸向應變的變化情況，可知不同溫度下前4 個循環加卸載過程中，體積應變與偏應力呈線性關系，環向應變穩定增長。在第5 次循環的加載階段以及之后的循環過程中，煤體的橫向體積膨脹抵消了部分軸向體積壓縮，然后達到擴容點，此時體積應變增量近乎為0，煤體開始進入屈服階段，之后體積膨脹大于體積壓縮，煤體內部出現宏觀裂隙，體積明顯增大，最終導致煤體破壞。

變形模量以及泊松比在循環加卸載條件下的演化能直觀地表征煤體的變形特性。由于卸載曲線平均斜率與加載曲線直線段斜率相同[21]，因此試驗所得的變形模量采用卸載割線斜率(卸載曲線的斜率)。泊松比為每階段卸載點到靜水壓力點對應的環向應變之差與此階段兩點對應的軸向應變之差的除數的相反數。試樣每階段對應的變形模量及泊松比如圖4 所示。

圖4 不同溫度煤體變形模量、泊松比與循環次數關系Fig.4 Relationship between deformation modulus and Poisson’s ratio of coal and rock at different temperatures with the number of cycles

從圖4 可以看出，不同溫度下的試樣的變形模量隨著循環次數的增加整體呈現線性減小的趨勢。30 ℃時變形模量谷值相對初始彈性模量下降了24%；50、70 ℃時試樣相比下降了11%、21%；值得注意的是在50 ℃最后2 個循環對應的變形模量略有上升，此階段位于煤體破壞形成宏觀破裂面之后，此時煤體的殘余強度主要來自于接觸面之間的滑動摩擦力提供。此階段變形模量的上升主要是由于形成了具有較穩定接觸面所致。

不同溫度下煤體的泊松比變化趨勢大致相同。在線彈性階段，煤樣泊松比增長較為平緩，說明隨著循環次數的增加，試樣的環向變形速率大于軸向變形速率；當煤樣加載到峰值強度后，試樣的泊松比急劇上升，這是由于試樣在此階段已經破環，出現了宏觀裂縫，從而體積膨脹，由于環向應力相對軸向應力較小，煤體環向開始膨脹，宏觀上表現為煤樣側向變形量急劇增大。峰后階段煤體泊松比開始下降?？傮w來看，煤體泊松比在到達峰值應力前，呈現出減速上升趨勢，在峰值應力處達到最大值，在峰后階段略有下降。

2.3 不同溫度下煤體能量演化

在循環加卸載試驗中，煤樣從初始狀態加載到圍壓穩定的靜水壓力狀態，煤體內部產生了一定量的能量變化，但這部分能量變化較小，筆者忽略這部分能量。

考慮煤樣單元在外力作用下產生變形，假設在循環加卸載試驗過程中處于一個封閉系統，與外界沒有發生能量交換，由能量守恒定律可知

式中，U為輸入能密度(外力對煤體所做的功)；Ue為彈性能密度；Ud為耗散能密度。

從軸向方向看，圍壓在加載過程中做負功，在卸載過程中做正功；在橫向方向上，圍壓在加載過程中做正功，在卸載過程做負功。在此次循環加卸載試驗中，圍壓水平不高并且固定不變，使得在軸向和橫向所做的功絕對值相差較小，筆者予以忽略。

對于試驗中第i個循環來說，其輸入能密度、彈性能密度和耗散能密度可根據偏應力-軸向應變曲線進行積分得到，如圖5 及式(2) ～ (4)所示。其中A為峰值強度點，B為最大軸向應變點對應的應力點，需要注意的是由于“滯回效應”，當到達峰值A后的AB段，儀器仍然在對煤體做正功，故B亦為卸載點。C為卸載到靜水壓力狀態后的軸向應變，D為卸載點B對應的軸向應變。

圖5 循環加卸載下的能量計算示意Fig.5 Schematic diagram of energy calculation under cyclic loading and unloading

式中，σi為第i次循環中應力-應變曲線中任意一點對應的偏應力；εi為第i次循環中σi對應的軸向應變。

通過上述方法計算出不同溫度下每個階段煤體內部的能量狀態，結果見表1，將表1 中的數據進行具象化，可直觀地展示出變化趨勢，如圖6 所示。首先觀察隨著循環次數增加各能量的變化趨勢。在達到峰值強度前，隨著循環應力的增加，輸入能密度穩定增加。在前兩次循環中，輸入能密度以及耗散能密度增長平緩，彈性能密度高于耗散能密度，說明煤體處于彈性階段，內部裂隙尚未擴展。進入第2、3 次循環后，彈性能密度與耗散能密度都有所增加，但耗散能密度增長的速度比彈性能密度增長速度更快，說明此階段煤體已經進入塑性階段，并且內部裂隙已經開始擴展延伸。到了第5 次循環，荷載達到煤體的峰值強度并導致煤體迅速破壞，輸入能密度和耗散能密度都急劇增加，彈性能密度增加較為平緩，此為破壞階段。此階段煤體內部裂隙擴展并貫通，輸入能密度的持續增加使得煤體達到破壞臨界值，然后所儲存的彈性能突然釋放，導致煤體破壞并出現明顯的破裂面，加上結構面之間的相互摩擦消耗了大量的能量，這也是耗散能密度急劇增加的原因。在破壞后的2 次循環中，由于圍壓的存在，煤體仍然具有一定的承載能力，輸入能密度以及耗散能密度急劇降低，峰后階段的耗散能多為結構面相互摩擦而消耗的能量，即摩擦耗散能。

表1 各能量密度隨循環次數和溫度的變化情況Table 1 Variation of each energy density with number of cycles and temperature

圖6 能量隨循環次數與溫度的變化曲面Fig.6 Energy variation surface with the number of cycles and temperature

其次觀察各能量密度隨著溫度的增加的變化趨勢?？傮w來看，不同溫度下能量的演化趨勢相似，但大小卻不同。彈性能密度可表征煤體在當前條件下釋放能量的程度。在前4 次循環中，彈性能密度隨著溫度的增加而遞減，說明溫度對煤體的彈性儲存能力具有劣化作用。在達到峰值強度以及峰后階段，彈性能密度與溫度變化未表現出相關性，主要是因為不同溫度下煤體產生損傷破裂的臨界條件不同，并且破壞過程中產生的裂隙，不同結構面之間的摩擦等導致耗散能的增加具有較強的隨機性，此時煤體的結構對彈性能密度影響占主導地位。也正是由于不同煤體結構的差異性，使得表現出溫度的變化對輸入能密度與耗散能密度的影響并不明顯。

從上文分析可知通過不同溫度下各能量密度的大小對比并不能準確地判斷煤體的損傷破裂程度，因此引入無量綱參數[21]：彈性能比例Rie(彈性能在輸入能中的占比)和耗散能比例Rdi(耗散能在輸入能中的占比)來分析不同階段彈性能密度和耗散能密度的大小分配規律。

圖7 為不同溫度下彈性能及耗散能演化規律。在彈性階段，彈性能占據輸入能量的80%以上，耗散能顯著低于彈性能。在第3、4 循環加卸載中，30 ℃對應的彈性能比例高于耗散能比例，但50 ℃以及70 ℃對應的耗散能就已經開始高于彈性能，耗散能比例達到了60%左右，說明隨著溫度的升高，煤體內部熱應力對裂隙的增長有促進作用。進入第5 次循環后，煤體達到峰值強度，煤體內部裂隙急劇擴展形成宏觀裂縫并伴隨著較大的聲響，釋放并消耗了大量的能量，在圖7 中表現為耗散能比例急劇增加，彈性能比例大幅衰減，在30 和50 ℃條件下煤體耗散能比例達到了峰值，分別為0.87 和0.73。而此時70 ℃條件下的耗散能比例并未到達峰值，由于試驗加載過程中采用的是軸向應力控制方式，峰值判定條件為軸向應力降低到預設峰值強度的2%時，即認為達到峰值，隨后進行卸載過程。由于煤樣的孔裂隙的隨機分布，軸向應力的增加導致部分裂隙產生一定的錯動，導致軸向應力的小幅降低，并達到了系統判定條件，而此時煤體仍未形成宏觀裂縫，仍具有承載能力，使得70 ℃條件下其耗散能密度在第6 次循環后到達峰值，為0.83。在峰后階段，由于循環峰值應力的減小，輸入能密度也開始較少，彈性能密度以及耗散能密度也相對的開始減小，耗散能比例開始下降或趨于穩定，彈性能比例相對增長，但耗散能比例仍然大于彈性能比例，說明在圍壓的作用下，煤體在破壞后又形成了新的相對穩定結構。耗散能比例在第7 次循環時達到最低，30、50 和70 ℃條件下的耗散能比例分別為0.56、0.58 和0.81，相較峰值時下降了35.6%、20.5%和0.02%。隨著溫度的升高，耗散能比例減小的速率減緩，相對地彈性能比例增速變緩。這是因為當溫度增加時，能量的輸入相對減小，同時煤體內的損傷和變形受到的限制減弱，因此使得耗散能比例減速下降。

圖7 不同溫度下彈性能及耗散能演化Fig.7 Evolution of elastic energy and dissipative energy at different temperatures

3 考慮溫度影響的分數階黏彈塑性模型的建立與驗證

3.1 考慮溫度影響的分數階黏彈塑性模型的建立

從以上對煤體循環加卸載過程中的能量演化可知，煤體在變形的全過程中損傷是存在并不斷累計的?；谶B續介質力學理論，單獨使用塑性模型或者損傷模型能表征煤體在單調加載中力學演化過程，但并不能準確地表征卸載過程中的強度演化趨勢[29]。因此需要考慮塑性-損傷的耦合作用，將虎克體中彈性模量的損傷和塑性應變相結合。并且試驗過程中外部荷載具有一定的速率，與時間相關聯，而分數階微分算子具有長期的歷史依賴性或記憶效應[28]，被認為是描述黏彈和黏塑性行為的有力工具，特別是用于建立時間相關本構模型，故引入分數階Abel 元件，得到黏彈性體的一般本構方程[31]為

由前一節的實驗結果可知，高溫作用產生的熱應力會破壞煤體內部結構，導致巖石力學參數的劣化。因此有必要建立考慮溫度影響的本構關系。而其中最關鍵部分是建立合適的損傷變量去表征溫度對煤體力學參數的劣化程度?？紤]溫度對彈模的影響較為顯著，根據宏觀損傷力學理論[39]，采用間接描述的方法對熱損傷DT(0 ≤DT＜1)進行表征，即

式中，ET為材料在T℃下彈性模量；E0為常溫下的無損煤體的彈性模量，可通過實驗獲取。

熱力耦合作用下，循環加卸載中煤體的損傷累積在Abel 元件中主要為黏度系數的劣化[33]，在這個過程中溫度與外部應力共同作用影響黏性系數。因此我們引入了考慮熱-力耦合作用的損傷變量來定義黏度系數的衰減過程。結合式(9)、(10)，可得黏性系數的本構方程表達形式為

其中，DTM為熱-力耦合損傷變量， 0 ＜DTM＜1。將式(11)代入到式(7)中，即可得考慮溫度影響的變系數分數階的本構方程可定義為

3.2 循環加卸載條件下的解析解

在三軸循環加卸載試驗中，煤體在加載階段受恒定應力速率控制，在卸載階段受恒定應變速率控制，如圖2 所示。由于2 者都與時間相關聯，可將2 者轉化為時間-應力-應變問題。在加載階段，恒定應力速率c1與施加的應力的關系可表示為

同理，在卸載階段，恒定應變速率c2與煤巖應變的關系可表示為

3.3 分數階本構模型驗證分析

為了驗證上述考慮溫度影響的分數階黏彈塑性本構模型的有效性，選取深部煤體在不同溫度下循環加卸載的試驗數據對模型進行驗證，如圖8 所示。在加載階段，使用式(17)對恒應力速率試驗結果進行擬合，而卸載階段需使用式(18)對恒應變速率試驗結果進行擬合。模型中的參數通過擬合試驗數據獲取，具體數值見表2。

表2 不同溫度下的試驗曲線擬合結果Table 2 Fitting results of test curves in different temperature

圖8 不同溫度下的試驗數據和理論曲線對比Fig.8 Comparison of experimental data and fitting curves at different temperatures

不同溫度下的擬合結果如圖8 所示，其中圖8(a)～(c)中的(i)為整個循環過程中試驗數據與擬合曲線的對比。便于觀察分析，將前4 次循環部分放大并置于原圖右方，如圖8(a)～(c)中的(ii)所示。從圖8 可以看出總體上本構模型擬合曲線與試驗結果吻合良好，相關度較高，表明上述考慮了溫度影響的黏彈塑性本構模型能較好地表征深部煤體在循環加卸載條件下的變形過程，特別是能夠反映出處于彈塑性階段煤體的變形情況。

4 結 論

(1) 煤體變形模量隨著循環次數的增加呈線性減小的趨勢，而煤體泊松比減速上升，在峰值應力處達到極值，然后降低，表明循環加卸載作用對煤體的力學性能有劣化作用。隨著溫度的升高，損傷累積變緩，對應的應變逐漸增大，表明溫度對煤體的延性有增強作用。相同應變條件下煤體的損傷程度加劇，溫度的上升加速了煤體損傷的發展，降低了巖石的平均強度。

(2) 將不同加卸載速率相關的應力-應變問題轉化為時間-應力-應變問題，同時引入分數階微積分理論，建立了考慮熱力耦合作用的分數階本構模型，可以有效表征深部煤體的黏彈塑性。

(3) 針對應力控制和應變控制2 種不同基本加載方式，得到了相應模型的解析解，并通過三軸循環加卸載實驗數據驗證了所提出的分數階黏彈塑性模型。結果顯示考慮溫度影響的分數階黏彈塑性本構模型能很好地表征深部煤體在不同溫度下的應力應變關系。