傳染率季節性和流動人口對麻疹動態的影響

韓世峰　翟夏菲　趙繼軍

摘要： 為分析傳染率季節性和流動人口對于河南省的麻疹動態的影響，比較分析麻疹的傳染率季節性變化模式，對中國麻疹的未來防控提供理論支持。建立了包含流動人口和傳染率季節性階梯模型的SIR模型，使用馬爾科夫蒙特卡洛方法估計模型中的參數，比較本地流動人群和省外流動人群的傳染率，分析不同傳染率模型對傳播動態的影響。在河南的麻疹傳播動態中，省外流動人群對麻疹傳播動態的影響大于本地人群，河南傳染率季節性變化模式更符合階梯變化，流動人口對于河南麻疹傳播動態的影響高于傳染率季節性。在未來的麻疹防控工作中應該加強對流動人口的監測，合理選擇免疫接種時間和人群。

關鍵詞： 麻疹；傳染率；季節性；春運；開學放假；MCMC

中圖分類號： R512.5;R181文獻標識碼： A

Effects of Seasonal Transmission and Floating Population on the Dynamics of Measles

HAN Shifeng， ZHAI Xiafei， ZHAO Jijun

（Institute of Complexity Sinence， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract：This paper analyzes the influence of seasonality of infection rate and floating population on measles dynamics in Henan province， compares and analyzes the seasonal variation pattern of measles infection rate， and provides theoretical support for the future prevention and control of measles in China. In this paper， a SIR model including the seasonal ladder model of migrant population and infection rate was established， and the parameters in the model were estimated using the Markov Monte Carlo method， the infection rate of local mobile population and the migrant population outside the province was compared， and the influence of different infection rate models on transmission dynamics was analyzed. In the measles transmission dynamics in Henan， the influence of migrant population outside the province on measles transmission dynamics was greater than that of the local population， and the seasonal change pattern of infection rate in Henan was more in line with the step change， and the influence of migrant population on measles transmission dynamics in Henan was higher than that of seasonal infection rate. In the future measles prevention and control work， we should strengthen the monitoring of the migrant population and reasonably choose the time and population of immunization.

Keywords： measles; infection rate; seasonality; spring festival; school holidays; MCMC

0 引言

麻疹是一種由麻疹病毒引起的急性呼吸道傳染病，具有高度傳染性。世衛組織監測數據顯示，2016～2019年全球麻疹報告發病數不斷上升，在有安全有效的疫苗的情況下，2018年全世界仍約有14萬人死于麻疹［1］。隨著中國麻疹防控水平的提高，中國2019年相較2018年麻疹報告發病數下降了24.52%［2］。此外，中國自2015年后麻疹報告發病數仍然存在明顯的周期性，麻疹傳播的季節性波動沒有改變。盡管中國麻疹疫苗接種率遠高于阻斷傳播所需要的95%［3］，相關研究表明中國的麻疹報告發病數依然較高［2］，麻疹在中國的傳播并未消除。在較高疫苗接種率的情況下麻疹在中國仍存在發病數周期性波動的原因，沒有明確的解釋，這說明我們對中國的麻疹傳播特性了解依然不足。

目前針對麻疹在中國傳播的研究主要集中于流行病學特征［4］、血清學［5］、麻疹分子流行病學［6］等方面，也有研究針對氣候因素對麻疹發病數的影響［7］，或者通過空間統計學研究中國麻疹的空間聚集性［8］，然而這些研究并沒有考慮麻疹的傳播特性。在麻疹免疫沒有大范圍覆蓋的時期，季節性的流動人口是麻疹傳播的重要驅動力［9］。中國幅員遼闊，人口眾多，區域間的人口流動數量巨大，一項針對中國3個省的調查展示了中國的流動人群疫苗接種水平比較低［10］，流動人口中有未免疫或者病毒攜帶個體，中國的麻疹免疫工作存在一定空缺，流動人口會在很大程度上影響中國的麻疹傳播。在既往的麻疹研究當中，較少在傳染病動力學模型中考慮人口流動和輸入病例的因素［11］。因此，建立包含流動人口和輸入病例的模型，并依此分析麻疹的傳播特性，有利于進一步了解麻疹在中國的傳播動態。

傳染率是傳染病傳播特性的一個重要參數，是一個感染者單位時間內有效傳染易感者的概率，傳染率會隨著時間周期性變化，這種變化被稱為傳染率的季節性。眾所周知，許多疾病具有季節性，傳染率的季節性直觀表現為發病數的周期性。中國的麻疹發病數也呈現規律的年周期性，一般在每年的3、4月份達到流行高峰，故麻疹在中國的傳播具有季節性。影響麻疹傳染率季節性變化的因素有很多［12］，比如，在歐洲等發達工業國家，開學放假會使得兒童為主的人群接觸率變化，導致傳染率的季節性，與之相似的是中國的開學放假時間也是固定的，對于人群的接觸率變化有相似的影響；在非洲地區尼亞美旱季和雨季交替帶來的人口流動影響了傳染率的季節性，中國的春運也是更大規模的季節性人口流動。這些因素是否也導致了中國麻疹傳播的季節性？

綜上分析，本文建立了考慮流動人口和輸入病例的SIR模型，用于研究人口流動以及輸入病例對麻疹傳播動態的影響，同時考慮傳染率的季節性，并比較分析兩種麻疹傳染率季節性變化模式。相關研究顯示［13］，河南地區在全國麻疹發病數峰值時間較早，每年病例數較多。因此本文將探究河南省與中國其他省份間人口流動和傳染率季節性變化對于河南麻疹傳播動態的影響。

1 資料與方法

1.1 數據來源

本文中使用的麻疹發病數據為2004年到2018年的月報告發病數，來自公共衛生科學數據中心（www.phsciencedata.cn）的統計數據。通過國家統計局2018年統計年鑒（www.stats.gov.cn）得到全國年人口總數及年出生率和年死亡率。河南年人口總數、年出生率和年死亡率以及公路鐵路客運量引用河南統計局2018年統計年鑒（www.ha.stats.gov.cn）。本文使用文獻［14］的2017年的旅客出行數據，該數據記錄了2017年中國主要城市間的人口流動日數據。本文通過日數據累加得到了中國河南省的省內月人口流動數據、省外流入省內月人口數據以及省內流入省外月人口數據。通過河南省統計年鑒查詢得到2004—2018年年人口出生率和死亡率，月出生率和月死亡率則由年出生率和死亡率計算得到。

1.2 模型

本文建立了考慮輸入病例和傳染率季節性的SIR倉室模型，本文假設：1）河南省外流入人口中有一定數量的感染者，假設流入人群發病率和全國除河南外地區的麻疹發病率相同；2）2004到2018年每年的人口流動模式與2017年相同，則某年的月人口流動量為：某月人口流動量=該年客流量2017年客流量*2017年同期人口流動量；3）傳染率具有季節性變化特性。根據文獻［15］的研究結果，中國的麻疹傳染率季節性在主要考慮學生假期和春運時期兩個因素時，模型示意如圖2所示。

河南麻疹傳播SIR模型由3個倉室組成。即易感者倉室（S），本地感染者倉室（I），以及恢復者倉室（R）。模型為

其中，S為易感者人數；I為感染者人數；R為恢復者人數；c為河南省的麻疹免疫率；b為每月新出生人口；γ為麻疹恢復率；μ為河南省人口月死亡率；θ為月人口流動系數，由每月流動人口除每月總人口得到；β0為河南本地人群基礎傳染率；β1為流入河南省人群基礎傳染率；PMOV定義為河南省每月的人口總數變化量，數值為每月進入河南的人口數減去離開河南的人口數。因為假設有輸入病例，所以在本地感染者倉室中引入外來感染者Iin，Iin假設是進入河南省的人群中麻疹感染者，因此由每月進入河南的人口數乘當月全國除河南地區以外麻疹的發病率得到。

本文將考慮了輸入病例和傳染率季節性的SIR模型作為模型1，為了進一步探究流入感染者和傳染率季節性的影響，對模型進行修改，分別考慮以下3種情況：1）模型2，僅考慮流入感染者，不考慮傳染率季節性的影響，即令模型1中的βAt=1；2）模型3，僅考慮傳染率季節性，不考慮流入感染者的影響，即令模型1中的Iin=0；3）模型4，流入感染者和傳染率季節性二者都不考慮，同時令βAt=1和Iin=0。

除了本文中使用的階梯變化傳染率模型，正弦變化的傳染率模型也經常在麻疹傳播的研究中使用，在關于中國麻疹的季節性動態的文獻［18］中傳染率為

其中，a為一年中的平均傳染率，b為傳染率相對于平均傳染率改變的程度，用式（6）中的傳染率正弦模型代替前文麻疹模型1中的階梯變化模型：

作為模型5。將模型3的中階梯傳染率季節性模型替換為上述正弦模型，作為模型6。

本文使用這6個模型來仿真發病數，進一步分析流入感染者和傳染率季節性對河南省麻疹發病數的影響。

1.3 參數估計

本文采用馬爾科夫蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）方法來估計β0和β1，使用MH采樣法來構造馬爾科夫鏈。使用R中的fitR包來實現。程序的初始值做如下設置：β0和β1的先驗參數都服從均勻分布，取值范圍為［1，80］?？紤]到2004年河南新生兒麻疹抗體陽性率為89%，因此將初始易感者人數S（0）設為河南省2004年1月總人口的11%。初始感染者I（0）設為河南省2004年1月麻疹病例報告數。根據2004年至2016年河南省麻疹月發病數據和模型1，采用R Software Version 4.1.2軟件。將模型感染者與實際報告數進行擬合，采用MCMC方法來估計β0和β1。并基于R提供的deSolve包和fitR包進行參數估計。

2 結果

2.1 參數估計結果

使用MCMC方法來估計模型1中的本地人群傳染率β0和外部流入人群傳染率β1兩個參數，經過5 000次的迭代后參數趨于穩定，收斂在一定區間內。結果為圖4所示，其中，A和C為參數采樣的蹤跡圖，蹤跡圖是MCMC函數生成的參數樣本隨迭代次數的變化圖，B和D為參數采樣的密度圖，密度圖是參數樣本的直方圖。選擇參數樣本最集中的數值作為最佳參數，參考β0和β1的后驗分布抽樣結果，參數估計值分別為：β0=27.45和β1=45.35。對于模型5中β0，β1，βA三個參數，同樣使用MCMC方法來估計，參數估計值分別為：β0=12，β1=39和βA=－0.04。在兩種不同的傳染率季節性變化模式下，β0的估計值都要比β1的估計值要小，河南本地人群傳染率小于外部流入人群傳染率，外部流入人群對于麻疹在河南的傳播影響更大一些。

2.2 模型仿真結果

圖4使用模型1進行仿真得到。仿真結果總體較好，基本與實際病例報告數變化趨勢一致。2004年到2010年呈現出年周期性，大部分年份仿真病例數與實際病例數接近且峰值時間準確。2011年至2016年仿真結果低于實際發病數，但一定程度上二者的峰值時間較為接近。

2.3 模型比較

2.3.1 流入感染者與傳染率季節性的影響

本文使用AIC準則來評價1.2節的6個模型，AIC準則通常用于權衡所估計模型的復雜度和此模型擬合數據的優良性，AIC值通常越小越好。AIC值的計算公式為

其中，k為參數個數，n為觀察數，SSR為殘差平方和。I_simulate為模型產生的仿真值，I_report為麻疹報告發病數。

分別使用上述6個模型進行仿真，得到發病數的6組仿真值。使用發病數的仿真值和報告值計算得到每個模型的SSR，將k=10，n=180和每個模型的SSR代入公式（8）計算AIC值，使用AIC來評價模型的擬合程度，結果見表2。

如表2所示，模型1的AIC值最小，對于報告發病數的擬合效果最優。同時模型2的AIC值小于模型3，說明在只考慮流入感染者時，模型對于報告發病數擬合效果優于只考慮傳染率季節性的的模型。流入感染者對于河南麻疹傳播動態影響大于傳染率季節性。

2.3.2 傳染率階梯變化與正弦變化模式的比較

模型1相較于模型5的AIC更小，模型1的仿真結果對于報告發病數擬合效果最優，在都不考慮流入感染者的情況下，使用正弦變化模式的模型6的AIC值要大于使用階梯變化模式的模型3，傳染率季節性的階梯變化模式更符合實際情況。

3 討論

通過對河南省2004年到2016年的麻疹發病情況進行建模分析，使用SIR模型分析比較外部流入人群與本地人群傳染率的大小，我們發現在考慮到學生開學與春節等季節性增幅因素的情況下，外部流入人群對河南省麻疹傳播動態的影響要大于本地人群流動帶來的影響。外部流入人群中的輸入感染者是影響河南麻疹的重要因素，而春運期間是中國人口流動性最大的一段時間，人群的接觸率上升使得傳染率急劇增加。河南的麻疹免疫覆蓋率在2010年前較低，也會使得麻疹易感人群容易累積，在春節期間放大了外部輸入病例的影響。2010年9月全國進行麻疹免疫強化活動，由于之前的麻疹高爆發數和該次免疫強化活動，使得人群的免疫率上升，易感人群數量下降從而使得發病數的年周期改變。

通過傳染率季節性階梯模型與正弦模型的比較，階梯模型更符合麻疹發病數實際情況，河南省一年當中某些月份的傳染率顯著高于其他月份。與歐美發達國家類似，中國的麻疹傳染率也受到開學放假學齡人群聚集情況的影響。通過對每年九、十月傳染率季節性增幅的建模，仿真結果也顯示了一個小的發病數峰值。除常規免疫和補充免疫外，防疫部門應該對特定人群實施麻疹免疫，選擇合適的麻疹疫苗接種時間。例如對每年秋季學期前新入學兒童進行麻疹疫苗接種。

本文對河南省的麻疹傳播動態建立數學模型，發現傳染率季節性和流動人口共同作用于河南省的麻疹傳播，在文獻［13］中對于山東省的麻疹傳播也有類似結論。河南和山東在2004～2018年中，每年的麻疹發病數較多，麻疹活動時間較早。其結論也許能代表大多數中國省份的麻疹傳播情況，感染者的流動和季節性的高傳染率是中國麻疹傳播的重要驅動力。與文獻［13］的發現不同的是，河南作為全國麻疹發病數比較高的省份，河南本地的麻疹傳播會受到全國其他省份流入人群的影響，說明河南和全國其他省份的麻疹傳播是相互影響的。這也凸顯出中國麻疹防控的困難之處。中國幅員遼闊，人口眾多，每年的流動人口數量巨大，任何一地的疫苗接種免疫空白都可能造成麻疹疫情爆發。

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（責任編輯 耿金花）

收稿日期： 2022－09－11；修回日期： 2022－12－16

第一作者： 韓世峰（1996－），男，山東濰坊人，碩士研究生，主要研究方向為傳染病的動態傳播。

通信作者： 趙繼軍（1966－），女，山東青島人，博士，教授，主要研究方向為傳染病的動態傳播。