再談構造法求an+1=kan+f(n)型遞推關系數列的通項

摘 要：針對an+1=kan+f（n）型遞推關系，以系數k是否為1和f（n）的類型為標準，以構造等差數列、等比數列和常數列為基本途徑，借助等差數列和等比數列的通項公式，實現求數列通項公式的目的.

關鍵詞：數列；遞推關系；通項公式；構造法

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0053-04

數列遞推關系是考查學生探究能力的重要載體，探究數列的性質，探究如何求數列的通項.在解答題中，擔心學生能力不足，命題者一般會設置解題坡度，學生只需按圖索驥就能解決問題.但這并不影響我們對遞推關系的研究，從簡單到復雜，不斷開拓視野，提升學生應變和解決問題的能力.形如an+1=kan+f（n）的遞推關系是一類比較常見的問題，如何求數列的通項公式，方法是多樣的.下面以系數k為第一分類標準，分別討論f（n）的常見類型，統一采取構造法，實現求數列通項的目的.

1 系數k=1的類等差型

an+1-an=f（n）是等差數列定義的升級版.當

f（n）為常數時，遞推關系表明{an}就是等差數列，直接套用公式就可以得到通項.下面主要考查f（n）不為常數的情形.

1.1 f（n）為一次式，構造常數列求通項

例1 在數列{an}中，a1=1，an+1-an=7-2n，求數列{an}的通項公式.

分析 我們知道，當f（n）是關于n的一次式時，通常采取疊加法求數列的通項.如果能將f（n）改寫成某個數列相鄰兩項之差，則遞推關系重組后出現相鄰兩項相等，從而得到一個常數列.設7-2n=g（n+1）-g（n），顯然，當g（n）是關于n的一次式時，g（n+1）-g（n）為常數，不符合條件，這時必需“升級”g（n）為常數項為0的二次式[1].

解析 由an+1-an=7-2n，可設

an+1-［k（n+1）2+b（n+1）］=an-（kn2+bn）.

則an+1-an=［k（n+1）2+b（n+1）］-（kn2+bn）=2kn+k+b.

所以2kn+k+b=7-2n，

解得k=-1，b=8.

則an+1-［-（n+1）2+8（n+1）］=an-（-n2+8n）.

故數列an-（-n2+8n）是常數列.

所以an-（-n2+8n）=a1-（-1+8）=-6.

則an=-n2+8n-6.

小結 疊加是差為一次式的遞推關系求通項的通法，雖然構造法看起來“復雜”，但如果差是二次式或更高次，除了需要應用特殊公式（如前n個正整數的平方和公式）外，構造應該是比較合理又好操作的方法.一般利用相鄰高次式相減得低次式，待定系數完成多項式的“分配”[2].

1.2? f（n）為指數式的倍數，構造常數列求通項

例2 設數列{an}滿足a1=2，an+1-an=3·22n-1，則an=.

分析 由于同底數的高次冪減低次冪，結果為低次冪，因此，將指數冪的倍數分解給an+1和an，只需要配置一個系數即可.

解析 由an+1-an=3·22n-1，

設

an+1-k·22n+1=an-k·22n-1，

則an+1-an=k·22n+1-k·22n-1

=3k·22n-1.

所以k=1.

即an+1-22n+1=an-22n-1.

所以數列an-22n-1是常數列.

從而an-22n-1=a1-2=0.

即an=22n-1.

1.3 f（n）為指數式加常數，構造等差數列求通項

例3 在數列{an}中，a1=1，an+1-an=2n+1，則數列{an}的通項公式是.

分析 通過疊加，借助等比數列前n項和公式是可以確定數列的通項公式，但由于指數式可以對應分解成相鄰兩項的差，因此可以構造一個等差數列.

解析 因為2n=2n+1-2n，

所以由an+1-an=2n+1可得

（an+1-2n+1）-（an-2n）=1.

則數列an-2n是公差為1的等差數列.

因為a1-2=-1，

所以an-2n=-1+（n-1）=n-2.

則an=2n+（n-2）.

1.4 f（n）為指數式加一次式，構造常數列求通項

例4 若a1=1，an+1-an=2n-n，n∈N*，則an=.

分析 雖然疊加法可求通項，但這是類型1和2的合并，因此可以構造常數列求通項.

解析 因為2n=2n+1-2n，且

所以由an+1-an=2n-n，可得

2 系數k≠1的類等比型

當系數k不等于1時，遞推關系是等比數列的升級版.

2.1 f（n）為常數，構造等比數列求通項

例5 已知數列{an}中，an+1=4an-6，則an=.

列的首項.如果首項是0，則所有項都為0；如果首項不為0，則新數列為等比數列.求出an+m的通項，就可以得到數列{an}的通項公式.

解析 由an+1=4an-6，得

an+1-2=4（an-2）.

當a1-2=0，即a1=2時，由遞推關系得an-2=0，所以an=2；

所以an-2是首項為a1-2，公比為4的等比數列.

因此an-2=（a1-2）·4n-1.

即an=（a1-2）·4n-1+2.

顯然a1=2時也符合上式.

因此，an=（a1-2）·4n-1+2.

2.2? f（n）為一次式，構造等比數列求通項

例6 已知數列{an}滿足a1=5，an+1=3an-4n+2（n∈N*）.數列bn滿足bn=an-2n，則數列bn，{an}的通項公式分別為.

解析 由an+1=3an-4n+2，得

an+1-2（n+1）=3［an-2n］.

即bn+1=3bn.

因為b1=a1-2=3≠0，

所以數列bn是首項為3，公比為3的等比數列.

所以bn=3n.

從而an=3n+2n.

評析 為求數列{an}的通項公式，需要對數列遞推關系式進行重構.設置數列bn，既是解題梯度，也是構造方向.為了“處理”掉一次項，相對于系數為1的遞推關系，為什么是一次式而不是二次式，主要原因就在于系數.由于an+1和an兩項的系數不相等，因此相鄰一次項的差運算后就不會抵消掉一次項.故只需設an+1-［k（n+1）+b］=3［an-（kn+b）］，待定系數得到f（n）的分解，即an+1-2（n+1）=3（an-2n）[3].

2.3 f（n）為指數式，指數式的底數與系數相等，構造等差數列求通項

例7 已知數列{an}中，a1=1，an+1=3an+3n，則an=.

則an=n·3n-1.

2.4 f（n）為指數式，指數式的底數與系數不相等，構造等比數列求通項

例8 數列{an}中，已知a1=26，an=3an-1+2·5n（n∈N*，n≥2）.求證：數列an-5n+1是等比數列.

分析 當系數和冪底數不相等時，指數冪的轉化有兩種方式，一是同時除以冪，轉化為線性遞推關系，兩次轉化求解；二是分解冪，直接得到等比結構.

證法1 （同除構造）等式an=3an-1+2·5n兩邊同時除以5n，得

證法2 （分解構造）設an-k·5n+1=3（an-1-k·5n），則an=3an-1+2k·5n.

所以k=1.

又a1-52=1，

所以an-5n+1是公比為3的等比數列.

所以an-5n+1=3n-1.

即an=5n+1+3n-1.

2.5 f（n）為指數式加常數，構造等差數列求通項

證明 依題意，得an-1=2（an-1-1）+2n.

小結 由于系數和冪底數相等，先處理常數，再采取同除構造法比較簡單；如果系數和冪底數不相等，先分解指數冪，轉化為線性遞推關系，再處理常數.

至于說f（n）的其他結構如分式，構造方式大同小異，本文不再贅述，讀者可自行參閱相關文獻.

3 結束語

關于an+1=kan+f（n）型數列遞推關系，系數k為1是等差數列升級版，系數不為1則是等比數列的升級版.等差型遞推關系一般采取疊加法，僅僅只能解決f（n）為一次式或可裂項的分式結構，等比型遞推關系一般采取累乘法，解決的類型也不多.以等差和等比數列的定義為核心，基于構造法，通過改變遞推關系式的結構，巧妙構造等差（常）數列和等比數列，實現求通項公式的自由.

參考文獻：

［1］李秀元，夏志超.升冪裂項法在數列中的應用[J].中學生數學，2017（01）：19.

[2] 李秀元，夏志超.例談構造常數列求通項公式[J].數理化解題研究，2016（25）：18.

[3] 李秀元.an+1+an=f（n）型數列問題的求解策略[J].數理天地（高中版），2021（03）：14-16.