摘 要:圓錐曲線中的定直線問題較為復雜,且運算量較大,文章從2023年的一道高考題入手,對這一問題再研究.
關鍵詞:圓錐曲線;過定直線;高考題
中圖分類號:G632?? 文獻標識碼:A?? 文章編號:1008-0333(2024)07-0015-05
圓錐曲線綜合題中的定直線問題較為復雜,其解題方法也是多種多樣.求動點坐標證明動點在定直線上,運算量較大,屬于一類難度較大的問題. 本文從2023年的一道高考題入手,對這一問題再研究.
1 試題再現
(1)求C的方程;
(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點-4,0的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于點P.證明:點P在定直線上.
這是一道直線與圓錐曲線綜合題,考查了計算能力、轉化能力和綜合應用能力,考查了數學抽象、數學推理、數學運算等核心素養.(1)由題意求得a,b的值即可確定雙曲線方程;(2)雙曲線方程中的定直線問題,根據設而不求的思想, 可用韋達定理法、非對稱結構韋達定理轉化法、點乘雙根法、定比點差法、交軌法探析.
2 追根溯源
以極點與極線理論為背景,如果把點P作為該雙曲線的極點,那么它對應的極線必然過-4,0,根據極點極線的對偶性質,極線共點,則極點必共線,故點P必在一條定直線上,這條直線即點-4,0的極線x=-1.
3 解法探析
下面對(2)進行解法探析.
解法1 ( 韋達定理法)由(1)可得
A1-2,0,A22,0,設Mx1,y1,Nx2,y2,則
x1<-2且x2<-2.
顯然直線的斜率不為0.
所以設直線MN的方程為
4m2-1y2-32my+48=0,
且△=64(4m2+3)>0.
即xP=-1.
據此可得點P在定直線x=-1上運動.
評注 聯立直線方程與圓錐曲線方程,得到一元二次方程,利用根與系數的關系同位置關系相結合來求解,是通解通法[1].
解法2 (非對稱結構韋達定理轉化法)由(1)可得A1-2,0,A22,0.
設Mx1,y1,Nx2,y2,則
x1<-2且x2<-2.
顯然直線的斜率不為0.
所以設直線MN的方程為
4m2-1y2-32my+48=0,
且△=64(4m2+3)>0.
所以2my1y2=3(y1+y2).
即xP=-1.
據此可得點P在定直線x=-1上運動.
評注 遇到非對稱結構表達式時,可以通過x1+x2,x1x2整體關系,得出x1x2=λx1+x2+μ,和積轉換成對稱結構的形式,應用韋達定理處理 .本題亦可由
解法3 (點乘雙根法)由(1)可得A1-2,0,A22,0,設Mx1,y1,Nx2,y2,則
x1<-2且x2<-2.
兩邊平方,得
即xP=-1.
若過點-4,0的直線的斜率存在,不妨設直線MN的方程為y=kx+4,
4-k2x2-8k2x-16k2-16=0.
因為x1,x2是方程4-k2x2-8k2x-16k2-16=0的兩個根,
所以4-k2x2-8k2x-16k2-16=4-k2(x1-x)(x2-x).(*)
在(*)式中令x=-2,得
4-k24+16k2-16k2-16=4-k2(x1+2)·(x2+2).
即-4k2=4-k2(x1+2)(x2+2).
在(*)式中令x=2,得
4-k24-16k2-16k2-16=4-k2(x1-2)·(x2-2).
即-36k2=4-k2(x1-2)(x2-2).
可得x=-1.
即xP=-1.
據此可得點P在定直線x=-1上運動.
二次函數的雙根式y=ax2+bx+c=a(x-x1)·(x-x2),通過雙根式來解決解析幾何中涉及(x-x1)(x-x2)的問題,可以減少計算量[2].
即x1+λx2=-4(1+λ),y1+λy2=0.
因為M,N在雙曲線上,
兩式相減,得
所以-x1-λx2=1-λ.
又x1+λx2=-4(1+λ),
所以x=-1.
即xP=-1.
據此可得點P在定直線x=-1上運動.
解法5 (交軌法)由(1)可得A1-2,0,A22,0,設Mx1,y1,Nx2,y2,T-4,0 ,則
x1<-2且x2<-2.
直線MA1的方程為x=my-2,
直線NA2的方程為x=ny+2,
4m2-1y2-16my=0.
顯然4m2-1≠0,
4n2-1y2+16my=0.
顯然4n2-1≠0,
由題意,M,T,N三點共線.
當MN⊥x軸時,A1A2=2A1T,所以A1是△A2MN的重心,從而P是線段A2N的中點,P的橫坐標為-1.
當MN不垂直x軸時,kMN=kMT,即
即(4m2-1)(3m+n)=0.
所以3m+n=0.
由x=my-2,x=ny+2,得
3x+x=(3m+n)y-4.
所以x=-1.
即xP=-1.
據此可得點P在定直線x=-1上運動.
評注 求兩條直線交點的軌跡常用交軌法,先寫出兩條直線的方程,然后尋求它們之間的關系.
4 結束語
圓錐曲線綜合問題是考查學生數學運算能力的有效載體,充分考查了學生靈活應用代數方法解決幾何問題的能力.縱觀2023年Ⅱ卷的解析幾何試題,運算量比較大,而且直線MA1,NA2的交點P的橫坐標表達式形式不對稱,直接代入計算將無法求解,需要對根與系數關系進行局部轉換,構造對稱的形式進行化簡求解.由于解析幾何解答題綜合性強,代數推理要求高,解題過程中復雜冗長的運算不可避免,在復習備考中,要引導學生關注代數的本質———結構特征,多想少算,培養學生嚴謹、耐心細致的運算習慣,從而提高運算求解能力,發展數學運算素養.
參考文獻:
[1]胡貴平.點乘雙根法解決一類直線與圓錐曲線相交弦問題[J].數理化解題研究,2019(31):2-4.
[2] 胡貴平.例談圓錐曲線中的定比點差法[J].數理化學習,2022(05):22-24.