李昌成
中圖分類號:G632?? 文獻標識碼:A?? 文章編號:1008-0333(2024)07-0106-09
一、單選題:本大題共8小題,共40.0分.在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項.
1.復數i3(1+i)2=(? ).
A.2? B.-2? C.2i? D.-2i
2.已知集合A={x|-2 3.某校三位同學報名數理化生四科學科競賽,每人限報且必須報兩門,由于數學是該校優勢科目,必須至少有兩人參賽,若要求每門學科都有人報名,則不同的參賽方案有(? ). A.51種 B.45種 C.48種 D.42種 6.函數f(x)=ex-ln(x+m)在[0,1]上單調遞增,則(? ). 8.已知數列an的各項均為正數,且a1=1,對于任意的n∈N*,均有an+1=2an+1,bn=2log2(1+an)-1.若在數列bn中去掉an的項,余下的項組成數列cn,則c1+c2+…+c100=(? ). A.12 010 B.12 100 C.11 200 D.11 202 二、多選題:本大題共4小題,共20.0分.在每小題有多項符合題目要求. 9.如圖1所示的圓錐的底面半徑為3,高為4,則(? ). A.該圓錐的母線長為5 B.該圓錐的體積為12π C.該圓錐的表面積為15π D.三棱錐S-ABC體積的最大值為12 10.已知拋物線y2=4x的焦點為F,頂點為O,過點F的直線l與拋物線交于A,B兩點,A在第一象限,若|AF|=3|FB|,則下列結論正確的是(? ). C.OA⊥OB D. 以AF為直徑的圓與y軸相切 B.f(x)有兩個不同的零點 12.有3臺車床加工同一型號的零件.第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床的零件數分別占總數的25%,30%,45%,則下列選項正確的有(? ). A.任取一個零件是第1臺生產出來的次品概率為0.06 B.任取一個零件是次品的概率為0.052 5 三、填空題:本大題共4小題,共20.0分. 13.已知向量a=(1,-2),b=(-3,1),那么 |a-b|=. 15.已知圓C:x2+y2-4x-2y+1=0,點P是直線y=4上的動點,過點P作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則AB的最小值為. 四、解答題:本大題共6小題,共70.0分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 17.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosB=(3c-b)cosA. (1)求sinA; 18.已知數列an滿足a1=1,an+1=an+2,數列bn的前n項和為Sn,且Sn=2-bn. (1)求數列an,bn的通項公式; (2)設cn=an+bn,求數列cn的前n項和Tn. (1)求該嘉賓第一關闖關成功且獲得公益基金為零的概率; (2)求該嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值. 20.如圖3,等腰Rt△ABC的底邊AB=2,點D在線段AC上,DE⊥AB于點E,現將△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如圖4). (1)求證:PB⊥DE; (2)若PE⊥BE,直線PD與平面PBC所成的角為30°,求平面PDE與平面PBC所成的銳二面角的正弦值. (1)求雙曲線的標準方程; 22.已知函數f(x)=aln(x+1)-sinx. 參考答案 1.i3(1+i)2=(-i)(1+2i+i2)=(-i)×2i=-2i2=2,故選A. 3.設三位同學為A,B,C,由題意,參賽方案分為兩種情況: (1)數學學科有2人報名:先選2人報名數學,有C23種結果(假設為A,B),其余三科的參賽方式又分為兩種情況: ①A,B選同科,有C13種結果;②A,B選不同科(即A,C或B,C選同科),有C12·C13·A22種結果,所以數學學科有2人報名時共有C23·(C13+C12·C13·A22)=3×15=45種結果; (2)數學學科有3人報名:先選3人報名數學,有C33種結果,其余三科的參賽方式有A33種結果,所以數學學科有3人報名時共有C33·A33=6種結果. 綜合(1)(2)得不同的參賽方案有45+6=51種. 故選A. 故-x(2x-1)(x+a)=-x(-2x-1)(-x+a). 化簡,得2(2a-1)·x2=0. 故選A. 5.設M(x1,y1),N(x2,y2),則 因為MN的中點坐標為(1,-1), 因為直線MN的方程是y=2(x-1)-1, 所以y1-y2=2(x1-x2). 故選B. 所以m≥e-x-x在[0,1]上恒成立. 而y=e-x-x在[0,1]上單調遞減, 則(e-x-x)max=1,則m≥1. 又x+m>0在[0,1]上恒成立,所以m>0. 所以m的取值范圍為m≥1. 故選A. 故選A. 8.因為an+1=2an+1(n∈N*),即 an+1+1=2(an+1). 故數列{an+1}是公比為2的等比數列. 又a1+1=2,所以an=2n-1(n∈N*). 由bn=2log2(1+an)-1=2log2(1+2n-1)-1=2n-1(n∈N*), 則b1=1,bn+1-bn=2(常數). 所以數列bn是以1為首項,2為公差的等差數列. 又b1=a1=1,b64=127,b106=211,b107=213, 可得a7=127,a8=255. 因為b64=a7=127,a7 故選D. 圓錐的表面積S=π×32+π×3×5=24π,故C錯誤; 故選ABD. 10.如圖5,過點A,B分別作拋物線的準線x=-1的垂線,垂足為A′,B′,過點B作AA′的垂線,垂足為點E.設|BF|=m,則|AF|=3m. 由拋物線定義得|AE|=|AA′|-|BB′|=|AF|-|BF|=3m-m=2m,|AB|=4m. 故選ABD. f(1)=0,當0 故選ACD. 12.取到的零件可能來自第1臺,第2臺或第3臺車床,有3種可能. 設Ai為“零件為第i臺車床加工”(i=1,2,3),則樣本空間Ω=A1∪A2∪A3且A1,A2,A3兩兩互斥. B為“任取一零件為次品”,根據題意得P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)= 0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05. 由全概率公式,得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525, 故B正確. 如果取到的零件是次品,計算它是第i(i=1,2,3)臺車床加工的概率,就是計算在B發生的條件下,事件Ai發生的概率. P(A1B)=0.25×0.06=0.015,故A錯誤. 故C正確; 故D錯誤. 故選BC. 13. 因為向量a=(1,-2),b=(-3,1), 所以a-b=(4,-3). 15.圓C:x2+y2-4x-2y+1=0, 即(x-2)2+(y-1)2=4. 如圖6,由于PA,PB分別切圓C于點A,B,則PA=PB,CA⊥PA,CB⊥PB. 所以S四邊形APBC=2S△ACP=CA·PA. 因為CA=CB=r=2, 所以S四邊形APBC=2PA. 所以AB最短時,CP最短,點C到直線y=4的距離即為CP的最小值. 所以CPmin=3. 若使得n-m取最小值, 17.(1)在△ABC中,由acosB=(3c-b)cosA及正弦定理,得 (3sinC-sinB)cosA=sinAcosB. 得3sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B). 因為A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sinC≠0. (2)因為△ABC的面積為 解得bc=3. 可得b2+c2=10. 18.(1)由題知,a1=1,an+1-an=2.所以數列an是首項為1,公差為2的等差數列. 所以an=1+(n-1)×2=2n-1. 又當n=1時,b1=S1=2-b1, 所以b1=1. 當n≥2時,Sn=2-bn,① Sn-1=2-bn-1.② 由①-②,得bn=-bn+bn-1. 利用分組求和可得, 19.(1)設“該嘉賓第一關闖關成功且獲得公益基金為零”為事件A,“第一關闖關成功第二關闖關失敗”為事件A1,“前兩關闖關成功第三關闖關失敗”為事件A2,則A1,A2互斥. (2)由題意知,X的所有可能取值為0,1 000,3 000,6 000, 所以X的分布為 (2)由(1)知DE⊥PE,DE⊥EB,且PE⊥BE, 所以DE,BE,PE兩兩垂直.