勾股定理應用題分析

作者簡介 馮瑞先，鄭州市教研室教研員，鄭州市教研室中學數學學科組組長，中學高級教師，數學奧林匹克國家級教練員，人民教育出版社新課程培訓專家組成員，河南省骨干教師，河南省教育學會中學數學教學專業委員會常務理事，河南省數學會理事，河南省數學競賽委員會委員，鄭州市數學會副秘書長.長期從事中學數學教學和評價研究，主編、參編初、高中教輔資料幾十套，在國家級報紙、雜志上發表論文數十篇.

勾股定理和其逆定理在解決實際問題時都有廣泛的應用.

例1 有一根長為70 cm的木棒，要放在長、寬、高分別為50 cm、30 cm、40 cm的木箱中，能放進去嗎？

分析：木棒能否放進木箱中，要比較木棒的長度與木箱（長方體）的體對角線的長度.若體對角線大于70 cm，則木棒能放進木箱中.否則，木棒不能放進木箱中.

解：如圖1，設木箱為ABCD-A1B1C1D1，連接A1C1，AC1.

在Rt△A1B1C1中，

A1C12=A1B12+B1C12=502+302=3 400．

在Rt△AA1C1中，

AC12=AA12+A1C12=402+3 400=5 000．

因為5 000＞702，所以AC1＞70 cm.

所以70 cm長的木棒能放進木箱中．

點評：長方體的棱長若分別為a、b、c，則它的體對角線長為.

例2 如圖2所示，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O 的距離為2 m，梯子的頂端B到地面的距離為7 m.現將梯子的底端A向外移動到A′，使梯子的底端A′到墻根O的距離為3 m，同時梯子的頂端B下降到B′，那么，BB′等于多少？

分析：要求BB′的長，已知BO的長為7 m，所以，只要求出B′O的長即可．而A′O是易知的，并且梯子在運動過程中其長度是不變的，即AB= A′B′.

解：在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2＝22+72＝53.

在Rt△A′B′O中，A′B′2＝A′O2+B′O2＝32+B′O2＝53.

所以，B′O＝＝=2（m）.

所以BB′＝BO－B′O=7-2（m）.

點評：解梯子問題的關鍵，是抓位梯子長度不變這個特點.不要想當然地認為，梯子一端移動了多少，另一端也會移動多少.

例3 如圖3，A，B，C，D是四個小鎮，它們之間都有筆直的公路相連接（除B，C外）.公共汽車行駛于城鎮之間，其票價與路程成正比．已知各城鎮間的公共汽車票價如下：AB：10元；AC：12.5元；AD：8元；BD：6元；CD：4.5元．為了B、C之間的交通方便，現要在B、C之間建成筆直公路.請按上述標準計算出B、C之間的公共汽車的票價．

分析：解決此題的關鍵是讀懂題意.題設條件中給的是票價，而小鎮與小鎮之間是距離，所以，必須把路程和票價之間的關系理順.由已知，票價與路程成正比，故可把票價視為路程來處理，問題就變成解三角形了.

解：因為票價與路程成正比，故可把票價視為路程來處理．

由已知可以認為：AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5．

因為AD2+BD2=82+62=100=102=AB2，所以△ABD為直角三角形，且∠ADB=90°．

連接BC，在Rt△BDC中，CD=4.5，BD=6，所以BC==7.5．

故B、C之間的公共汽車票價為7.5元．

例4 等腰△ABC的底邊長為8 cm，腰長為5 cm.一動點P在底邊上從B點向C點以0.25 cm/s的速度移動.請探究：當P點運動幾秒時，PA與腰垂直？

分析：要使PA與腰垂直，只須PC2=AP2+AC2或BP2=AB2+AP 2.為此，應分別列出三邊的長.而已知圖形中沒有直角三角形，所以應作出直角三角形.過點A作底邊BC上的高AD，直角三角形就出現了，問題可以用勾股定理來解決.

解：如圖4，作底邊BC上的高AD，垂足為D點．設PA⊥AC．

由等腰三角形的性質知BD=DC=BC=4 cm．

在Rt△ADB中，AD2=AB2-BD2=9，所以AD=3 cm．

在△PAC中，AP 2+AC2=PC2，而AP 2=AD2+PD2=32+（PC-4）2，故代入有32+（PC-4）2+52=PC2.解得PC= cm，故BP=8-=（cm）．

P點移動的時間為÷0.25=7（s）．

當P點移動到D點與C點之間時，由等腰三角形的對稱性，作P點關于D點的對稱點P′，此時有P′A⊥AB.

則P′C= cm．BP′=8-=（cm）．

此時P點的運動時間為÷0.25=25（s）．

所以，當P點移動7 s或25 s時，PA與腰垂直．

點評：與等腰三角形有關的問題，大都涉及分類討論，其原因之一，是兩個腰相等，具有“雙重性”.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。