淺談高中學生的數學思維及其培養

馬曉東

高度抽象是數學的本質屬性。由于數學研究的對象是現實世界的數量關系和空間形式，它就必須是從現實的物質外殼中抽象出來的共性，所以一開始從自然數的誕生，數學便開始了抽象的過程。發展到今天，數學更是在高度的抽象性上越走越遠?？梢哉f沒有抽象，就沒有數學。

高中學生的數學思維主要有三種形式：形象思維、抽象思維和靈感思維。

形象思維又叫直觀思維。它的思維特征是具體、直觀。它有兩個層次：一個是在抽象思維產生前的初級直觀形象；另一個是在抽象思維之上的高級的理想形象。對于一個中學生來說，形象思維過程往往與具體的事物、圖表、符號等相聯系，很多人的想象思維處于初級層次。例如，學習平面幾何時，他們往往與三角形、四邊形、圓這些具體實物進行對比聯想。學習集合論時，他們往往借助于韋恩圖思考集合間的各種關系。學生有了對“初形”的感知，教師就要引導學生建立抽象思維，把概念理想化，建立理想的形象與結構，這便是高級的形象思維。

那么，教師怎樣使學生由初級的直觀形象形成高級的理想形象呢?首先，數學教師在教學中，要充分利用教具，進行實物教學，使學生建立直觀形象。學生既動手又動腦，必然在他們的腦海中留下較深的直觀烙印。然后教師引導學生將所得到的結論條理化、系統化、概念化，從而抽象出同一類事物的本質屬性。例如：兩城市間的距離抽象成一條線段，一塊磚頭抽象成一個長方體等，學生只要善于這種抽象，就可以說他已形成較簡單的高級形象思維。

抽象思維是數學思維中常見的思維形式，它以嚴密的邏輯推理為基礎，包括概念、判斷、推理與證明等基本形式。成績好的學生能把一個數學題迅速準確地解答出來，我們就說這個學生的抽象思維能力強。反之，如果學生不能把一個數學題準確地解答出來，我們就說這個學生的抽象思維能力差，學得死板，不能把老師傳授的知識抽象概括成自己的知識，從而形成解題的能力。因此，教師在教學中要有意識地培養學生的抽象思維能力，讓抽象思維貫穿于數學教學的始終。我認為中學平面幾何，是培養學生抽象思維能力的最好教材，教師通過對幾何題目的分析、證明和總結，是培養中學生抽象思維能力的重要途徑。

當然，抽象思維不是孤立的，它的基礎是初級的形象思維。學生在形象思維的基礎上，不斷地總結、概括和提煉，從而形成規律性的認識，這便是抽象思維。反過來，抽象思維中的很多理論又將回到具體的直觀現實中得到檢驗和印證，從而形成高級的形象思維，以指導學生的學習和實踐。

靈感思維又叫頓悟，它是數學思維的又一種形式，它往往在我們“不注意的時候突然產生”。靈感思維是人類思維的質變過程，有時它看來毫無邏輯可言，表現為偶然的靈感，可仔細想來，它仍然建立在長期大量的抽象思維和形象思維的基礎上，壓縮了許多邏輯過程，采取了跳躍的形式。它是人們思維形式中非常重要的一種，而且是高級的形式，它對數學的發現起著十分重要的作用。

高中學生的思維中也有靈感思維的成分。在學生的作業中，我們常常會看到學生的有些解法非常巧妙、出奇制勝，這便是學生在做題時產生的“靈感”。在幾何證明中，有時我們看到學生在做題時眉頭緊鎖，百思不得其解，當他突然想到引用什么定理或添加什么樣的輔助線時，問題便得到了解決，真是“眾里尋它千百度，暮然回首，原來她在燈火闌珊處”。這時一種成功的愉悅會使他們高興得手舞足蹈，這就是靈感。如果學生在學數學時，經常有靈感產生，學生就將對數學產生濃厚的興趣。因此，作為數學教師在教學中要注意培養學生的靈感思維，對例題不能講得過死，對學生的作業不能事先提示，要求學生千篇一律，一個解題模式，這樣不利學生產生靈感。

雖然靈感思維是在我們“不注意的時候突然發生”的，但它絕不是“空中樓閣”。第一，它往往發生于長期對于某個問題的思索與研究，必須積累豐富的有關知識，特別是有關失敗的教訓。第二，靈感思維還要求有廣泛的知識面，有時表面上看來與問題無關的知識也十分重要，要有廣博的知識基礎。費爾瑪是一位法官，但他卻發現了數學中著名的“費爾瑪大定理”。第三，靈感思維必須有極大的熱情，以興趣為動力，還必須有堅韌不撥的精神、鍥而不舍的苦苦追求的作風?！疤て畦F鞋無覓處，得來全不費工夫”，表面上是“全不費工夫”，其實有“踏破鐵鞋”的功夫在前。第四，靈感思維必須從廣泛角度解放思想，不受老師所講知識的束縛，敢于向權威挑戰。第五，靈感思維有時發生在苦思之后，又故意丟開，讓大腦松弛，突然會在不注意的時候，似乎偶然接觸，從而產生靈感，使問題解決。

由此可見，靈感思維是一種綜合性極強的思維，連他本人也說不清楚“為什么”，但它絕不會憑空產生，必須以極強的形象思維和抽象思維為基礎，它是形象思維與抽象思維的高度綜合與提煉。因此，教師在數學教學中，主要是培養學生的形象思維和抽象思維，建立好堅實的形象思維和抽象思維基礎，使學生在不注意的時候，自然而然地產生靈感。

（作者單位：遼寧省東港市第三中學）