虛功原理在競賽中的妙用

姚學林　肖相如　熊兆熙

虛功原理是指物體在力系作用下處于平衡狀態，若物體由于其他原因產生符合約束條件的微小連續虛位移，則外力在位移上所做的虛功W恒等于物體內力合力在虛位移上所做的內力虛功W ?？珊唵螌懗桑篧（外力功）=W（內力功）。

虛功原理的應用條件是：力系應當滿足平衡條件——力系是平衡的。

在高中物理競賽中有一部分靜力學的問題，如果應用一般的常規方法往往需要復雜的列方程和煩瑣的數學運算，但如果對分析力學中的虛功原理有所了解并應用，會使得我們的解題過程大大簡化。下面就我們常見的幾個問題舉例：

例1如圖1所示，5根長度均為l的質量均為m的均質桿，將它們端點鉸接成為正六邊形機構，固定在天花板上，使六邊形在豎直平面內，并用不可伸長的輕繩一端連在下桿中點掛在天花板上，輕繩豎直，求繩上的張力。

解析：若用常規做法，需要列幾個受力平衡和力矩平衡方程。用虛功原理可以化簡計算。

設此時繩長為l，則五根桿構成的系統的重力勢能為E=－2mg－2mg－mgl=－3mgl

假設繩長有dl的變化，則繩子張力做功為W=－Tdl

由虛功原理有W=dE 即－Tdl=d（－3mgl）=－3mgdl

得T=3mg

可見虛功原理可大大減少運算量。

例2勻質桿AB始終在平面內，A端靠在光滑墻上，B端在一光滑曲面上，如圖2示。若無論B在何處桿均受力平衡，求曲面方程。

解法一：常規受力分析

如圖3所示，因曲面光滑，約束力合力沿法向。

于是有：=tanφ= ①

由幾何關系：sinθ=x/l ②

由豎直方向受力平衡得：N=P ③

對A點由力矩平衡得：

Ncosθ+（Plsinθ）/2=Nlsinθ ④

聯立①②③④解出N，N后代入①式得：

=

d=d

令sinu = x/l，則上式化為：d=sinudu

積分得：

=－cosu+Cy=－+C′

因x=0時y=0，故有：C′=

所以曲線方程為：y=1-

此方法較煩瑣，且用到高等數學的知識。

解法二：虛功原理

約束為理想約束，主動力為重力，由虛功原理，虛位移中主動力做功為零，即

Pδy=0

y=常量

由幾何關系：y=y+

故y+=常量

因x=0時y=0，故常量為。

故y=1-

顯而易見，采用虛功原理大大簡化了我們的解題過程。

例3如圖4所示，四根相同的長度為l的光滑輕桿由鉸鏈連接成菱形，一輕繩系在兩對角間，下部掛一重量為P的重物，系統放置于兩根等高相距為2a（2a＜2l）的桿上，求繩中的張力？φ角已知。

解法一：常規受力分析的方法

鉸鏈不提供力矩，故AP，CP對P點只有沿桿作用力。即F，Q處鉸鏈受力左右對稱，又為平衡。故作用力只有水平分量，即F。其余各力如圖5所示。

對AQ桿：

沿桿方向受力平衡：Fsinφ=F

對K點力矩平衡：Fcosφ=Fl－

對鉸鏈A：

豎直方向受力平衡：Fcosφ+Fsinφ=Fcosφ

水平方向受力平衡：T+Fsinφ+Fsinφ=Fcosφ

對鉸鏈P：

豎直方向受力平衡：2Fcosφ=P

聯立以上5式解得：T=P－tanφ

解法二：虛功原理

建立如圖4所示的坐標系，主動力為兩個T，及P，約束為理想約束，則有：

x=lsinφ δx=lcosφδφ

y=2lcosφ－acotφδy=－2lsinφδφ+a

由虛功原理得：－2Tδx+Pδy=0

將δxA，δyP代入可得：T=P－tanφ

例4四根長為l重為mg，兩根長為2l重為2mg的勻質桿由鉸鏈連接，如圖6所示懸掛，圖中連接在節點之間的輕繩長l，求其繩中的張力。

解法一：利用常規受力分析的方法再列出力的平衡方程和力矩的平衡方程求解，這里就不再贅述。

解法二：利用虛功原理進行求解

將張力視為主動力，設想一虛位移使B下降δy，則C下降2δy，BC增長δy，故張力作功為： -Tδy

系統重心為B，重力做功為8mgδy

由虛功原理，應有：

- Tδy+8mgδy=0

故T=mg

虛功原理不一定對連續體才適用，對于離散的系統同樣適用，其核心不變，主要工作是表示出系統質心的位置，從而表示出系統的能量。具體見下題。

例5如圖7所示，一豎立在豎直面內的半圓形空心管，管內剛好裝有2n個光滑小珠子，已知每個珠子重力為W，求第i個珠子與第i+1個珠子的作用力Ni。

解法一：常規做法

如圖8所示，對第k個球進行受力分析。圖中的角量分別是：α= β=－=

球在x方向受力為0，有：Ncosα+Wcosβ－Ncosα=0

整理得：N－N=W

那么求和可以得到：

N ==

==W

用常規方法作受力平衡的方程好列，但是最后數學運算技巧性很高。

解法二：利用虛功原理解答

如圖9，設任意珠子的球心到管的圓心OO′長度為R，前面i個球為系統質心為C，設CO長度為L。

由虛功原理有：Ncosαdθ=iWd（Lsinθ）=iWLcosθdθ 其中α=

即：N=

現在目的是求出質心位置參量L和θ

由對稱性已知角度θ=2iα=iα

求L用旋轉矢量法：如圖10所示。

i個大小為mR、方向一次相差角度2α的矢量和的大小應該為imL。

有：imL=2sin（iα） 即L=

代入N的表達式得：

N===

=W

可見此題利用虛功原理不需太復雜的數學運算，但是在計算質心這個物理工作上要求也挺高的，就此題而言，利用旋轉矢量法計算質心位置是此題的關鍵。對物理方面的技巧的靈活應用，是競賽的基本素質，也很好地體現了競賽對提高思維的有效幫助。

除了在力學中，虛功原理在電磁學中同樣有應用，對于有些情況，電磁力用常規方法無從下手，利用虛功原理便能很好地解決。

例6如圖11所示，一個外半徑為R1，內半徑為R2的圓柱形電容器，豎直地插進相對介電常數為ε的密度為ρ的電解液中，若將電容器接上電壓為U的電源，求電解液中液面上升的高度。

解析：為了求出液面上升的高度，需求出電容器內液體受的電場力，在此用虛功原理求解。

先求出電容器電容：設單位長度電容帶點為λ，則離軸線r處電場強度為E=

內外筒電勢差為U=Edr= dr=ln

單位長度電容為C==

若有電解質有C′=

設電容器長為L，其中有電解液長度為x，則電容器電容為：

C=xC′（L－x）C=

電容儲存電場能為E=CU2，設電解液受力為F（方向向上），假設電解液在F作用下向上移動dx，由虛功原理有Fdx=dE=dCU2=dC=

得F=

液面上的電解液受力平衡有：F = ρhπ（R21-R22）g

得h=

從以上幾例中，我們可以看出虛功原理在一些常見問題中的妙用。它其實讓我們從復雜的方程和運算中解脫出來，把靜力學的問題與能量的觀點結合起來。因為在很多的問題中受力盡管很復雜，但能量的關系卻很簡單。需注意，也不能亂用虛功原理。一定要注意它的適用條件。