利用IIR自適應頻率估計器實現多頻點估計*

(裝備指揮技術學院 測控工程研究中心,北京 101416)

1 引 言

頻率估計研究在通信系統中占有舉足輕重的地位。傳統的頻率估計利用鎖相環實現，由于數字鎖相環是由模擬鎖相環轉變而來，設計參數存在經驗值調整，難以建立起精確的數學模型。Lank[1-2]等人提出線性預測頻率估計器，以及在此基礎上加Kay[3]的線性預測頻率估計器，其運算量小，易于實現，是對多普勒常用的估計方法，Griffiths[4]的自適應瞬時頻率估計，梁國龍[5-6]單頻信號自適應瞬時頻率估計，算法簡單，兼有可同時檢測、窄帶濾波、估計信號幅度、相位等優點，但諸方法頻率估計器都只對單點頻信號頻率估計，應用范圍受到限制。本文從IIR濾波器性能分析著手，使得IIR自適應頻率估計多點頻估計成為可能。

2 自適應濾波器原理及方差分析

2.1 二階自適應濾波器

單點頻信號估計一般采用二階自適應濾波器。如圖1所示，原始輸入是信號s(k)和噪聲n0(k)的混合波形，其中噪聲與信號不相關；另一路參考輸入是與信號不相關而與噪聲相關的信號n1(k)。IIR濾波器的傳遞函數[7]為

(1)

式中，a=-2cosω，ρ1、ρ2為系統調節參數，ρ1可以直接實現對系統增益進行調整，ρ2為決定濾波器帶寬的參數，0≤ρ1≤1，0≤ρ1<ρ2≤1。

圖1 自適應濾波器模型結構Fig.1 Adaptive filter model structure

由圖1可知，誤差信號可通過式(2)求得：

e(k)=α(k)-β(k)

(2)

自適應算法的目的是通過調節參數a使得均方誤差信號e2值達到最小。

E[e2]=E[α2]+E[β2]-2E[αβ]

(3)

由文獻[8]可得到：

(4)

式中，Pss、Pnn和Psn分別為輸入信號、參考信號和它們的相關功率譜。

(5)

(6)

式中，

與B*分別為A、B的共軛函數。

∮ρ1B*dz=∮ρ2A*dz

(8a)

由0≤ρ1<ρ2≤1可得:

(9)

從式(9)可以看出，方程無條件存在極值。圖2為H(z)、a與ρ2的關系，從圖中可以看出，ρ2越接近單位圓，傳遞函數波谷越陡。

圖2 二階濾波器幅頻響應(f=0.5，ρ1=1)Fig.2 Amplitude-frequency responses of second order filter(f=0.5，ρ1=1)

2.2 高階自適應濾波器

多點頻信號估計必須采用高階自適應濾波器。通過對雙通道自適應濾波器性能分析可以有效推導高階自適應濾波器的特性。雙通道濾波器的傳遞函數為

式中，a1=-2cosω1，a2=-2cosω2，k0=k4=1，k1=k3=a1+a2，k2=a1a2+2。

則通過自適應濾波后可求得:

式中，C1、C1分別為兩個信號的幅度，Pn1n1、Pn2n2分別為兩個通道引入的噪聲功率，Pn1n2為輸入信道相關功率譜?？汕蟮?

(13)

圖3 高階濾波幅頻響應(f1=0.2，f2=0.6，ρ1=1)Fig.3 Amplitude-frequency responses of high order filter(f1=0.2，f2=0.6，ρ1=1)

與二階自適應濾波器系統響應相比，對于k1、k2來說，式(13)并非為線性變化，均方差存在局部最大值。圖4為方差與參數d1、d2之間的關系，從圖中可以看出，當-4≤d1≤4與-4≤d2≤4時，方差呈現出單峰特性，自適應濾波器趨于收斂，然而在區域外存在許多局部最小點?？梢缘贸鼋Y論：高階自適應濾波器只有當信號載波頻率與窄帶過程中心頻率相差控制在適當范圍內，濾波器才能實現收斂。因此對多頻點頻率跟蹤時，需要利用FFT對信號進行初始值估計。在此對FFT特性不再贅述。

圖4 參數d1、d2對自適應濾波器均方差的影響Fig.4 The effect of parameters d1，d2 on mean square of adaptive filter

3 抽頭權向量的時間更新

算法中抽頭權向量[9]新使用了變步長μ設計，令

則可以求得:

(14a)

誤差信號為

(15)

該算法的濾波器參數更新如下：

w(k)=w(k-1)-μ(k)e(k)

(16)

目標是保證當算法遠離最優值的時候步長μ(k)要足夠大，而當算法逐漸接近最優值的時候μ(k)要逐漸減小。本文通過建立中間變量φ(k)對μ(k)進行控制：

φ(k)=γφ(k-1)+(1-γ)α(k)α(k-1)

(17)

式中，γ為指數權參數控制濾波器估計質量。在自適應最初階段，φ(k)的估計值很大，產生很大的μ(k)；當自適應過程接近最優值時，輸出信號接近零，產生較小μ(k)，通過調整可以加快收斂速度。

步長的更新公式為

μ(k)=μ(k-1)+φ(k-1)

(18)

在干擾不變時，前一次輸出信號包含了自適應變化信息，使自適應參數逐漸向最優值靠近。

4 仿真與結果分析

性能仿真中主要采用雙點頻信號及三點頻信號進行頻率估計。圖5為載噪比10 dB-Hz的多點頻信號進行頻率跟蹤，濾波器的初始頻率由FFT估計得到。隨著頻點自跟蹤的進行，頻率估計偏差減小，表明頻點自跟蹤的過程是向著頻率估計優化的方向進行的，而且是收斂的。

圖6為IIR自適應濾波器與傳統鎖相環跟蹤性能比較。參數如下:信號長度為1 s，載波頻率為100 Hz，采樣率為24 kHz，白噪聲，穩態時自適應濾波器與鎖相環帶寬同時調整為1 Hz和3 Hz。選取濾波的穩態部分估計頻率，在每個載噪比下選取500個樣本作頻率估計。仿真結果表明，在FFT頻率輔助下IIR自適應濾波器可以實現多頻點信號頻率估計；在不同帶寬條件下IIR自適應濾波器擁有與鎖相環相近的跟蹤精度，當等效噪聲帶寬為1 Hz，頻率估計誤差小于0.1 Hz。

圖5 對多頻點信號參數估計曲線Fig.5 Estimation plot for multi-frequency signal

圖6 不同載噪比下IIR與PLL跟蹤頻率誤差比較Fig.6 Comparison of the frequency tracking error between IIR and PLL with different CNR

5 結束語

IIR自適應頻率估計器的優點是具有窄帶濾波的作用，當通帶較窄時，能夠獲得較大處理增益，然而估計器的性能受傳遞函數影響較大。本文通過分析二階及四階IIR濾波器均方差對自適應的影響，證明了二階IIR模型具有單峰特性，能夠實現穩定收斂；而高階IIR模型具有多態性，因此需要對估計參數進行初始化。在此基礎上,提出利用FFT頻率估計輔助IIR自適應濾波器實現多點頻頻率估計，為多點頻頻率估計的自適應過程的參數選取提供了理論依據，較傳統的鎖相環算法，IIR自適應頻率估計器具有不產生混頻分量、能夠實現全頻段頻率估計的優點。該設計方案在直擴/跳頻混合擴頻測控中對多點頻率估計值的提取具有一定的指導意義。

參考文獻：

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