基于遺傳算法的星載InSAR多基線編隊構形優化設計*

李 潔1,黃海風,梁甸農

(1.海軍裝備研究院，北京 100161;2.國防科技大學 電子科學與工程學院，長沙 410073)

1 引 言

分布式星載干涉合成孔徑雷達(InSAR)測高系統是將衛星編隊和星載SAR技術相結合形成的新體制雷達系統[1-2]，它利用編隊衛星構成的空間基線進行干涉測高，具有測高精度高、生存力強、周期短、成本低等優點。它的多星編隊模式能夠形成多個干涉通道，是實現多基線定位與測高的重要前提。本文以此為背景，研究了多基線編隊構形的優化設計問題。

衛星的編隊構形決定了空間基線的長度和指向角，而基線直接關系到干涉測高中參數的誤差傳播系數，因此，編隊構形設計是實現高精度測高任務的一個非常重要的環節。實現此類任務的編隊構形設計，一方面需要符合編隊運動模型，另一方面需要滿足干涉測高的功能要求。目前，國內外很多文獻提出若干衛星相對運動模型描述編隊構形中的運動規律。理論上講，分布式SAR系統可以根據需要設計任意形狀的編隊，但在實際中由于很多構形需要消耗大量燃料而很難實現[3]。文獻[4]推導了被動穩定的編隊軌道飛行要素的解析解，提出了一種適用于分布式SAR特點的編隊構形設計方法。干涉車輪、干涉鐘擺等典型構形亦是基于Hill方程、消耗燃料少、從傳統正側視幾何出發分析基線穩定性得到的。文獻[5]基于單基線測高精度模型設計編隊構形。文獻[6]設計了干涉基線長度相等的編隊構形，解決了空間立體編隊中基線耦合的問題，兼具高程測量和地面運動目標檢測兩種功能。另外，還有一些分布式星載InSAR編隊設計是建立在典型構形上，例如Cartwheel、星下點圓形構形、空間圓形構形等[7～9]。本文采用遺傳算法(GA)對星載InSAR系統的多基線編隊進行優化設計，直接以編隊衛星的6個軌道根數為設計變量，同時考慮衛星飛行安全因素和去相關因素的影響，以三星編隊的分布式InSAR提供系統的多基線為背景，以提高測高精度為優化目標對多基線優化問題進行討論。首先從多基線定位方程出發推導了測高精度公式并建立了多基線測高精度模型，然后分析并推導了編隊構形需要考慮的約束條件，最后根據約束條件利用遺傳算法搜索得到較好的三星編隊構形。

2 目標函數

分布式衛星系統具有多種任務功能。優化模型的目標函數應根據分布式衛星系統的任務功能以及系統頂層設計的性能指標要求來選取，用性能指標的加權和來表示：

(1)

式中,km是性能指標σm的加權系數。

分布式星載InSAR系統實現干涉測高任務，頂層設計要求較高的測高精度，因此，本節以多基線高程誤差σh為性能指標優化編隊。構造如下目標函數：

J=khσh-1

(2)

J越大，表示各性能指標越高，而σh越大表示測高誤差越大，因此改為σh-1。

3 多基線測高誤差方程

建立如圖1所示的地心固連坐標系XYZ。其中，O為坐標原點。S為既發射信號又接收信號的主星，S1和S2為編隊小衛星群中兩顆只接收信號的輔星。主圖像成像慢時刻t，主星位置矢量用RS表示；兩幅輔圖像成像慢時刻t1、t2，輔星位置矢量分別用RS1和RS2表示。B1和B2分別表示主星和兩輔星間的基線。T為待求的點目標，它在地球表面的位置用RT表示。

圖1 三星編隊分布式InSAR成像幾何模型Fig.1 The geometrical imaging model of InSAR system

根據干涉測高基本原理，分別列出點目標的距離方程和多普勒方程：

|RS-RT|=r

(3)

(4)

主圖像和輔圖像1、輔圖像2分別干涉形成兩個干涉通道，Δφ1、Δφ2分別表示目標在兩個干涉通道中的干涉相位。根據干涉測量的原理，列出干涉相位方程如下：

(5)

(6)

聯立式(3)、(4)、(5)、(6)，即可求出目標三維坐標。根據式(7)即可求出目標的絕對高程：

h=|RT|-Re

(7)

式中,Re為當地水準面地心距。

每個參數的誤差乘以各自的誤差傳播系數后成為測高總誤差σh的一部分。將式(3)～式(6)對各參數求偏導可計算出參數與定位解之間的誤差傳播系數，進而推導出高程誤差傳播系數[15]。

假設各參數測量誤差之間統計獨立，則測高總誤差表達式為

(8)

4 約束條件

基線的設計必須考慮以下幾個約束[11]：

(1)任意兩顆衛星的距離小于臨界基線，保證回波的相干性；

(2)防止衛星碰撞，確保編隊飛行安全；

(3)限制垂直基線長度，滿足測高精度的要求。

其中,第二條約束牽涉到衛星動力學的諸多理論知識和軌道控制的豐富的實踐經驗。文獻[12]在分析了地球扁率、大氣等攝動因素后，指出應當以一定的交軌跡基線保證編隊的安全性。具體辦法是，設計編隊衛星的a、i、ω相同，而e、Ω、f略有不同。構形在垂直于飛行方向的平面內的投影是一個以aΔΩ、aΔe為長短半軸的橢圓，長度至少大于150 m。沿航向基線長度由Δf確定，以2aΔe振幅振蕩。另外，aΔΩ、aΔe的上限還受到垂直基線去相關的限制，主要表現在受垂直于軌道面的基線長度Bc(Cross-track Baseline)和衛星到地心連線方向基線長度Bv(Vertical Baseline)的約束。

4.1 軌道根數與Bc、Bv的關系

在相對運動坐標系中，Bc為伴隨衛星位置z方向的分量，Bv為x方向的分量。假設s表示參考衛星，c表示伴隨衛星，(x,y,z)T為伴隨衛星的坐標。令

由相對運動方程可以得到[13]：

(9)

根據二體運動模型可知[13]：

式中,Δe=es-ec,Δf=fs-fc。將式(10)代入式(9)，不考慮f和i的影響，則有：

(11)

(12)

4.2 距離向相關系數對Bc、Bv的約束

不考慮配準誤差，那么距離向相關系數與垂直于軌道面的基線長度Bc和衛星到地心連線方向基線長度Bv的關系分別為[14]

(13)

(14)

式中,θ為下視角，r為目標到輔星的距離，Br為發射信號帶寬，βr為距離向地面坡度。為了得到較好的測高性能，令{ρc,ρr}≥0.9，根據式(13)、(14),即可得到Bc和Bv的臨界基線Bcc、Bvc。綜合式(11)、(12)，即可計算出aΔΩ、aΔe的上限。

5 遺傳算法與仿真實驗

遺傳算法是一種通過模擬自然進化過程搜索最優解的方法，具有解決復雜的全局優化問題的能力。結合目標函數和優化條件，以衛星的軌道根數xi=(ai,ei,ii,Ωi,ωi,fi)為設計變量，X=(x1,x2,…xn)為決策變量，求解帶約束的目標函數J。

設定參數進行仿真分析。給定主星的軌道根數和雷達參數(如表1所示)。根據式(13)、(14)，結合條件{ρc,ρr}≥0.9可以得到Bcc、Bvc約為1 100 m，方位向臨界基線約為800 m。根據式(11)、(12)計算可得a0Δe、a0ΔΩ的上限為1 500。高程誤差σh根據式(8)計算得到，各參數的誤差取為合理的常數：σr=1.5 m，σfdc=0 Hz，σB=0.01 m，σRs=1 m，σVs=0.01 m/s。由于基線的方向變化使距離向去相關和方位向去相關分別變化，因此,σφ是隨著基線姿態變化的，并非一個固定值。σφ根據兩個通道信號相干系數來計算[10]。

表1 仿真參數Table1 Simulation parameters

綜合上述約束條件，遺傳算法優化模型為

(15)

式中，下標i為輔星的編號，0表示主星。

操作的具體過程如下：

(1)設置遺傳算法參數。種群規模設為30，交叉概率為0.4，變異概率為0.05；

(2)初始化種群。在各設計變量約束范圍內選取服從均勻分布的隨機變量組成30個決策變量(初始種群)，決策變量即為遺傳算法中的染色體；

(3)對染色體依概率進行交叉和變異操作；

(4)計算所有染色體的目標函數J，并設定門限值，將目標函數值大于門限值的染色體保存在次最優解的集合中；

(5)計算次最優解集合中染色體的目標函數值；

(6)通過旋轉賭輪選擇染色體。將次最優解集合中所有染色體的目標函數值相加求和，然后產生一個在0與總和之間的隨機數m。從次最優解集合中編號為1的染色體開始，將其目標函數值與后繼染色體的目標函數值相加，直到累加和大于等于m，最后加進去的即為要選擇的染色體；

(7)重復步驟3～6，直到滿足終止條件；

(8)從最優解集合中選取染色體作為最優解。

采用遺傳算法求解多基線編隊構形優化問題的基本流程如圖2所示。

圖2 遺傳算法基本流程Fig.2 The basic flow of GA

設繁殖迭代500次，根據式(15)搜索得到優化編隊，軌道根數如表2所示。表3列出優化后編隊各參數的誤差傳播系數。為方便比較，表3亦同時給出經簡單優化的三星編隊和兩星編隊的誤差傳播系數[15]。經過比較可以看出：多基線的誤差傳播系數小于單基線的誤差傳播系數；經本文算法優化后，多基線的某些較大誤差傳播系數變小，高程誤差變小?？梢缘贸鲆韵陆Y論：多基線系統提供的冗余信息可以提高測高精度；本文的算法優于文獻[15]中簡單的以基線指向角為優化變量的優化算法。

表2 優化編隊參數Table 2 Optimization formation parameters

表3 誤差傳播系數對比Table 3 Error coefficient contrast

6 結束語

本文采用遺傳算法基于多基線測高精度模型對分布式星載InSAR多基線測高系統的編隊構形進行優化，將多基線高程誤差的倒數作為優化問題的目標函數。從相對運動模型出發綜合衛星飛行安全、信號相干性等因素推導了設計變量的約束條件，至此建立了完整的優化問題。采用遺傳算法進行求解，并進行了仿真實驗。此種編隊構形優化方法沒有基于任何編隊構形的假設，具有通用性，仿真實驗證明了優化方法的正確性。

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