對平行力分解問題的進一步探究

顧俊琪

(鹽城市教育科學研究院 江蘇 鹽城 224002)

1 問題再現

如圖1所示，把一根直尺水平地放在兩個食指上，然后讓兩個食指盡量靠攏.結果發現兩個食指不可能同時在直尺下滑動，而是其中一個食指先在直尺下面滑動，然后,另一個食指再在直尺下面滑動,如此交替地繼續下去.為什么兩個手指在直尺下面會交替地滑動?

圖1 兩食指水平托一直尺，然后兩食指相互靠攏

2 定性解釋

一個手指先在直尺下方滑動，二者之間的摩擦力為滑動摩擦力，而此時直尺與另一個手指未發生相對滑動，是因為其最大靜摩擦因數較大.手指受到的摩擦力的大小不僅與摩擦因數有關，而且還與直尺壓在手指上的壓力有關.當運動的手指向直尺中心滑動時，直尺壓在這個手指上的壓力變得愈來愈大，壓在另一個手指上的壓力變得愈來愈小.最后，運動手指作用在直尺上的摩擦力會變大，使另一個手指與直尺之間的靜摩擦力超過了它們之間的最大靜摩擦力，于是第一個手指停止了滑動，而另一個手指便開始滑動.這種交替進行的運動可以發生數次直到兩手指都移到直尺中央為止.

3 數學推導

取一根質量分布均勻的直尺，重力大小為G，長度為l，重心C位于直尺中點處.假設兩手指與直尺的動摩擦因數和最大靜摩擦因數都相同，分別為μ和μ0.

如圖2所示，假定左手指先滑動，此時右手指保持不動，整個過程可看成準靜態，直尺滿足一般物體平衡條件

(1)

N1+N2=G

(2)

圖2

由式(1)、(2)可以發現，左手指對直尺的支持力N1隨移動距離x1的增大而增大，右手指對直尺的支持力N2隨移動距離x1的增大而減小.這樣，左手給直尺的滑動摩擦力會逐步增大，右手給直尺的最大靜摩擦力會逐步減小，當滿足μN1=μ0N2時，右手指開始滑動.

不難求得

如圖3所示，右手指開始滑動后，左手指不再移動，整個過程仍可看成準靜態，直尺滿足一般物體平衡條件

(3)

圖3

再結合μN4=μ0N3可以求得，右手指到再次不動時移動的距離

以此類推，可以得到第n次移動手指停止時，離開直尺端點的距離

由于μ<μ0，所以當n→時，該結果表明，兩手指最終停在直尺中點位置.

應該注意，如果直尺放在兩手指間不再水平，有點傾斜的話，上述結論是不成立的.

4 實驗驗證

上述結論要得到實驗驗證并不簡單.我們從實驗室找到一根質量分布基本均勻的米尺，把它水平地放在兩個食指上，使標有刻度的一面朝上，然后，讓兩個食指從兩端點開始向中間滑動，記錄下有關數據,見表1.

表1 記錄的有關數據

表1中的數據表明，手指移動距離并不像數學推導得那樣具有規律性，出現結果不穩定性的主要原因是手指與直尺之間的摩擦因數不穩定.

筆者從50多根米尺中挑選出粗糙程度相對均衡的一根，按照有關要求重新實驗，得到表2數據(仍有少數數據存在漂移，表中已經剔除).

表2 采用粗糙程度均衡的米尺所測數據

5 問題討論

(1)手指在直尺下的運動是否一定會交替進行？

根據上述研究不難發現，當手指與直尺之間比較光滑時，即手指與直尺之間的摩擦因數很小時，或者說，當手指與直尺之間動摩擦因數與靜摩擦因數非常接近時，手指在直尺下運動的先后順序就有隨機性，甚至會出現同時運動的現象.在實際生活中，以上兩種情況并不多見，看到的基本是交替進行的.如果控制好條件，在具體實驗中可能會出現并非交替運動的情形.

(2)開始時，位于直尺兩端點的手指誰先滑動？

理論上講，只有兩手指與直尺之間的最大靜摩擦力存在差異，才會出現先后滑動的情況.

如果兩手指位于質量均勻的直尺對稱的兩端點上，且手指與直尺之間最大靜摩擦因數完全相同，兩手指不應該有一個先滑動.所以，先滑動的手指與直尺的最大靜摩擦因數應該偏小，或者該手指距直尺重心的距離稍遠些.

(3)在手指交替運動過程中，直尺受到的摩擦力究竟如何？

在手指交替運動過程中，直尺一直受到兩個摩擦力的作用，一個是運動手指給予的滑動摩擦力，另一個是靜止手指給予的靜摩擦力.由于直尺是準靜態的，所以這兩個力始終相等.根據滑動摩擦力公式f=μFN，運動手指與直尺之間的摩擦力隨著壓力的增大而增大，因而靜止手指與直尺之間的靜摩擦力也增大，但手指與直尺之間的最大靜摩擦力卻在減小，當靜摩擦力達到最大時，靜止手指開始運動.

(4)如果直尺質量分布不均勻，手指最終應該停在何處？

如圖4所示，根據數學推導過程中的有關公式可以推知，如果直尺質量分布不均勻，左手指移動距離將越來越趨近于l1，右手指移動距離將越來越趨近于l2，所以，手指最終應該停在直尺重心處.考慮一個極限情況，左手指已經到達直尺的重心位置，此時右手指無論怎樣移動，直尺都不會移動，因為右手指不受直尺的壓力作用，也就不會給直尺施加摩擦力的作用.

圖4

以上探究過程思考尚不夠完備，歡迎同仁賜教.

參考文獻

1 (美)Jearl Walker．生活中的物理學．徐婉華，葉慶桐譯．北京：科學普及出版社,1984