“一元一次不等式”知識點

王競進

小穎準備用21元錢買筆和筆記本.已知每支筆3元，每本筆記本2元，她買了4本筆記本，那么她最多還可以買幾支筆？怎么解答這類問題呢？在這個問題中，隱含著買筆和筆記本所花的錢與準備的錢之間具有不相等的數量關系.與方程類似，不等式是刻畫現實世界中量與量之間不等關系的有效模型.一元一次不等式是表示不等關系的最基本的工具，是學習其他相關數學知識的工具.學習時，應關注以下幾個方面：

一、 正確理解基本概念

1. 不等式解與不等式解集的概念

能使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解.如：x=3.5、5、6、10.2等大于3的實數都是不等式x-3>0的解；x=-1、0、2、3、3.5、-5、-6等小于4的實數都是x-4<0的解.一個含有未知數的不等式的解的全體叫做不等式的解集.因此，不等式的解集包含了不等式的所有解，解集中的任何一個數都是不等式的一個解.

例1 下列說法中正確的是（ ）.

A. x=2是不等式x+2>3的解 B. x=2是不等式x+2>3的唯一解

C. x=2不是不等式x+2>3的解 D. x=2是不等式x+2>3的解集

【解答】A.

【點評】弄清不等式的解及解集的區別，是解本題的關鍵.不等式的解可以有無數個，一般是某個范圍內的所有數.不等式中的未知數取解集中的任何一個值時，不等式都成立；不等式中的未知數取解集外的任何一個值時，不等式都不成立.

2. 一元一次不等式的概念

只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1，系數不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.這個不等式必須同時滿足3個條件：（1） 只含有一個未知數；（2） 含未知數的式子是整式；（3） 未知數的次數是1.這3個條件缺一不可.如：2x-（4x+1）>3、5y+2≤3（y-1），都是不等式，而x2-3x+2<0、y+■<2都不同時滿足上述的3個條件.反過來，如果（a-1）x+3>0是關于x的一元一次不等式，則a必須具備的條件是a-1≠0，即a≠1.

3. 一元一次不等式組的概念

小明要制作一個長方形的相片框架，這個框架的長為25 cm，面積不小于500 cm2，試確定這個長方形寬的長度范圍.在這個問題中具有兩個不等關系：長方形的相片框架的長總大于寬，其面積不小于500，因而可以得到兩個不等式：x<25、25x≥500，再聯立這兩個不等式，記作x<25，25x≥500，從而組成一個關于x的不等式組.像這樣，由幾個含有同一個未知數的一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不等式組.根據概念，可以知道組成一個不等式組的條件有（1） 含有同一個未知數，（2） 幾個不等式是一次不等式.如：2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，2x+1<3（3-x），■（x-1）-1>x+■都是一元一次不等式組，而x2-4x<5，4（x-1）-3>-2x+1，■-13（x-1）都不是一元一次不等式組.

4. 不等式組的解集概念

我們知道一個含有未知數的不等式的解的全體叫做這個不等式的解的集合，簡稱為這個不等式的解集，那么一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，就稱為這個一元一次不等式組的解集.如x<3，x<1中兩個不等式解集的公共部分為x<1，則其解集為x<1；x>3，x>1中兩個不等式解集的公共部分為x>3，則其解集為x>3；x<3，x>1中兩個不等式解集的公共部分為13，x<1中兩個不等式解集的公共部分不存在，則其解集為無解.我們可以用一句口訣來概括其中的規律：同大取大，同小取??；大小小大取中間，大大小小便無解.

二、 了解不等式解集的表示方法

1. 用不等式表示 一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解，它的解為某個范圍，這個范圍可以用一個具體的、簡單的不等式來表示.如：不等式x+3>-1的解集為x>-4；不等式2x+1<3的解集為x<1.

2. 用數軸來表示 用數軸可以直觀地表示出一個不等式的解集.表示時，必須注意不等式的類型.小于a則在數軸上表示a的點的左邊，大于a則在數軸上表示a的點的右邊，且表示a的點處是一個空心；如果是“小于或等于a”或“大于或等于a”時，則表示a的點處應該是一個實心.

例3 在數軸上表示下列不等式的解集：

（1） x<3； （2） x≥3.

【解答】（1） 在數軸上表示x<3為： ；

（2） 在數軸上表示x≥3為： .

【點評】在數軸上表示不等式時，首先在數軸上找到表示不等號右邊數的點，再根據“小于向左畫、大于向右畫、無等號畫空心、有等號畫實心”用相應的線在數軸上表示出不等式的解集.

三、 理解不等式的性質，掌握一元一次不等式的解法

不等式的性質有兩個.不等式的性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變；不等式的性質2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.其中特別要注意的是：在不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數時，不等號的方向必須改變.

和一元一次方程的解法類似，解一元一次不等式的基本步驟是：（1） 去分母；（2） 去括號；（3） 移項；（4） 合并同類項；（5） 系數化為1.逐步將不等式轉化為x>a（x≥a）或x

四、 掌握解一元一次不等式組的一般步驟

解一元一次不等式組的一般步驟大致為：先分別求得不等式組中各個不等式的解集，再求出這幾個不等式解集的公共部分，從而確定不等式組的解集.

如：解不等式2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，先分別求得不等式2x-4<6的解集為x<5，不等式5（x-2）+3>-3x+1的解集為x>1，再把它們在如圖所示的數軸上表示出來，因此，這個不等式組的解集為1

五、 正確理解題意，找出不等關系，列出一元一次不等式，解決實際問題

和列一元一次方程解決實際問題類似，在解答具有不等關系的實際問題時，往往先列出不等關系，再用含有未知數的代數式分別表示相關數量，再根據不等關系列出一元一次不等式，進而解出不等式，寫出答案.

例4 某單位共有36位工作人員，為改善辦公設備，提高工作效率.單位準備為每位工作人員配備一臺手提電腦. 現有A、B兩種型號的手提電腦供選擇.根據預算，共需資金145 000元.購買一臺A型電腦和兩臺B型電腦共需資金11 840元；購買兩臺A型電腦和一臺B型電腦共需資金12 040元.

（1） 購買一臺A型電腦和一臺B型電腦所需的資金分別是多少元？

（2） 問該單位最多能購買A型電腦多少臺？

【分析】本題中第（2）題，隱含著一個不等量關系：購買A、B兩種型號的手提電腦的費用和≤總資金.因此，可以建立關于所購買商品的價格為未知數的不等式解決問題.

【解答】（1） 設A型電腦x臺，B型電腦y臺，根據題意，列方程組，得：

x+2y=11 840，2x+y=12 040.解得：x=4 080，y=3 880.

答：購買一臺A型電腦和一臺B型電腦所需的資金分別是4 080元和3 880元.

（2） 設該單位能購買A型電腦a臺，根據題意，得：

4 080x+3 880（36-a）≤145 000，解得a≤26.6.

所以該單位最多能購買A型電腦26臺.

【點評】本題能夠融二元一次方程組與一元一次不等式的應用于一體，考查同學們分析問題、解決問題的能力.解答這類問題的關鍵是理解題意，找到題目的等量關系和不等量關系分別列出方程組和不等式組求解.對于問題中出現的“至少”、“至多”、“不少于”等等，往往隱含著不等關系，需要建立不等式進行解答.