緊扣題目特征 尋找解題方法

荊春芳

《平面圖形的認識（二）》是數學教材七年級上冊第六章《平面圖形的認識（一）》的延續，這兩章是幾何學習的基礎，只有學好了這些基礎知識點，才能為后續復雜幾何題的學習打好基礎.近幾年各地中考試題和競賽試題也經常在這些方面命題.本章的主要內容分為三大塊：平行線的判定條件及性質、圖形的平移和三角形的基礎知識.現針對這三塊重要內容舉例加以分析，幫助同學們掌握解決這些問題的方法技巧.

例1 如圖1所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2.

【分析】本題對∠A1、∠A2、∠B1的大小并沒有給出特定的數值，因此，答案顯然與所給的3個角的大小無關，也就是說，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應是確定的.我們從直觀圖形入手，有理由猜想答案大概是0，即∠A1+∠A2=∠B1.要說明兩角的和等于第三個角，通?？梢酝ㄟ^添加輔助線把較大角分成兩個較小角，首先使分出的一個角等于∠A1，這可以通過添加平行線實現，再說明余下的一個角等于∠A2即可.

【解答】如圖1，過B1作B1E∥AA1，得∠1=∠A1. 又因為AA1∥BA2，所以B1E∥BA2，所以∠2=∠A2. 所以∠A1B1A2=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠A1B1A2+∠A2=0.

【點評】（1） 當已知與未知的轉化不明顯時，常常通過作輔助線的方法加以解決，過一點作已知直線的平行線是解決平行線問題時常用的作輔助線的方法；（2） 從上面的解題過程可以看出，這個問題的實質在于已知條件AA1∥BA2，A1B1、B1A2可以看作連接A1、A2之間的折線段，當連接A1、A2之間的折線段增加到4條時，如圖2，仍然有結果∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2（即各向右凸出的角的和=各向左凸出的角的和），即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.

進一步可推廣為∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠Bn-1+∠An=0，這時如圖3，連接A1、An之間的折線段共有2（n-1）段A1B1，B1A2，…，Bn-1An（當然，仍要保持AA1∥BAn） .

【推廣】有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質，那么，在本質不變的情況下，可以將問題推廣到復雜的情況，這是一種提升自我思考能力的方法.

此題還可以進行如下變化：① AA1∥BA2這個條件不變，如果點B1向右移動到如圖4的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之間又有怎樣的關系呢？② AA1∥BA2這個條件不變，點B1向上移動到如圖5的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之間又有怎樣的關系呢？相信同學們可自行解答.

例2 在△ABC中，高BD和CE所在直線相交于O點，若△ABC不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC的度數.

【分析】因三角形的高不一定在三角形內部，又△ABC不是直角三角形，所以△ABC的形狀應分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論.

【解答】（1） 如圖6，當△ABC是銳角三角形時，高BD和CE所在直線相交于三角形內的O點，∠BOE=∠DOC=90°-（90°-∠A）=60°，所以∠BOC=180°-∠BOE=120°.

（2） 如圖7，當△ABC是鈍角三角形時，高BD和CE所在直線相交于三角形外的O點，此時∠A與∠O分別是對頂角∠ACE與∠DCO的余角，由余角的性質可知，∠BOC=∠A=60°.

綜上所述，∠BOC的度數是120°或60°.

【點評】（1） 解圖形形狀不唯一、幾何圖形位置關系不確定或與分類概念相關的問題時，常常用到分類討論法；（2） 中線、高、角平分線是三角形中的三條重要線段，從它們所處的位置看，高與中線、角平分線不一樣，中線、角平分線都交于三角形內一點，而高的位置隨著三角形形狀的變化而變化：銳角三角形三條高交于三角形內一點，直角三角形三條高交于直角頂點，鈍角三角形三條高所在直線交于三角形外一點，今后研究三角形高的問題時都要注意符合題設條件的圖形的多樣性.

例3 如圖8，將紙片△ABC沿著DE折疊壓平，則（ ）.

A. ∠A=∠1+∠2 B. ∠A=■（∠1+∠2）

C. ∠A=■（∠1+∠2） D. ∠A=■（∠1+∠2）

【分析】折疊中含有很豐富的相等的量，因此在折疊的動態變化中，尋找不變關系是解題的關鍵.在此題中，由三角形的內角和定理可知，不變關系是∠B+∠C=∠ADE+∠AED，在四邊形BCED中，未知的量減少了，利用四邊形的內角和是360°建立方程，就能夠得到問題的答案.

【解答】由三角形內角和定理可知：∠A=180°-（∠ADE+∠AED），∠A=180°-（∠B+∠C），所以∠B+∠C=∠ADE+∠AED.

在四邊形BCED中，（∠B+∠C）+（∠1+∠2）+（∠ADE+∠AED）=360°，所以（180°-∠A）+（∠1+∠2）+（180°-∠A）=360°，即∠A=■（∠1+∠2），故選B.

【點評】（1） 折疊類問題是近幾年中考的熱門考題，通常把某個圖形按給定的條件折疊，通過折疊前后圖形變換的相互關系來命題.折疊類問題立意新穎，變幻巧妙，能有效地培養同學們的識圖能力及靈活運用數學知識解決問題的能力.（2） 此題是用代數法解幾何計算問題，這種方法的基本思路是：引入未知數，運用圖形性質建立方程或不等式，把問題轉化為解方程或解不等式，因此這種方法也稱為“方程思想”.如圖9，把上題中的三角形紙片改成四邊形紙片ABCD，你能否用上面的方法找到∠A、∠D與∠1、∠2的關系？請你動手試試看.

例4 已知△ABC中，三邊長a、b、c都是整數且滿足a>b>c，a=10，那么滿足條件的三角形共有多少個？

【分析】這是一道典型的幾何類計數問題，如果一個個三角形去列舉，不僅麻煩而且容易重復或遺漏，特別地，當a的取值很大時，列舉根本不可能實現，因此解決此類問題通常需要分類討論，為了不重復、不遺漏，還可以采用列表法.

解：由三角形的三邊關系知b+c>a，因為b>c，a=10，可知b>5，又因為b<10，且b是整數，所以b=6、7、8、9，按此標準分類可求出c，列表討論如下：

因此，滿足條件的三角形共有1+3+5+7=16（個） .

【點評】（1） 計數問題要防止重復或遺漏，因此計數要按順序有條理地進行，同時經常需要分類討論；（2） 研究三角形的邊的長短關系時，三角形的三邊長度必須滿足三角形的三邊關系定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”，否則就有可能產生三條線段不能構成三角形的情況，此題是用列表法，先把大邊固定，然后根據三邊關系限制較小的兩邊；（3） 周長為30，各邊長互不相等且都是整數的三角形共有多少個？你會做嗎？（提示：先確定最長邊的范圍，然后用上面的方法討論）

通過探索直線平行的條件和平行線的性質，我們知道平行作為兩條直線的位置關系，與角的大小存在著內在的聯系，它反映了圖形與數理之間的關系，這里的數形結合既是重要的知識內容，又是重要的思想方法，同時添加基本輔助線——平行線，也為解決很多問題帶來方便；圖形的平移要求我們對圖形多觀察，多動手操作，經歷知識的形成和應用的過程，從而更好地體會圖形的變換的應用價值和豐富的內涵；研究三角形的基礎知識是要掌握解決數學問題的一般方法即化復雜為簡單、化未知為已知的化歸思想，另外整體思想、方程思想等也都是初中數學的重要思想方法，在本章中也都有所體現.