體會知識結構 把握知識要點

劉傲艷

一個零件的形狀如圖1中陰影部分.按規定∠A應等于90°，∠B、∠C應分別是29°和21°，檢驗人員度量得∠BDC=141°，就斷定這個零件不合格.這個問題很有趣，你能說明理由嗎？學習了《平面圖形的認識（二）》這一章，就會輕松解決這個問題了.

《平面圖形的認識（二）》是學好平面幾何知識的重要基礎，怎樣才能掌握這一章節，我建議同學們從下列幾方面入手.

一、 體會知識結構

二、 明確重點難點

本章的重點內容是探究兩直線平行的條件和平行線的性質，探索三角形的有關性質和應用.難點則是平行線的判定與性質的條件和結論易混淆，探索多邊形內角和與外角和公式過程中應用的化歸思想需深入領會.

三、 理解知識要點

1. 認識同位角、內錯角、同旁內角

（1） 同位角：兩條直線被第三條直線所截，如果兩個角在第三條直線的同一邊，在被截兩條直線的同一方向，那么這兩個角叫做同位角.如圖2中的∠1和∠2分別在直線c的同一邊，并且都在直線a、b的上方.同位角是指兩個角的位置關系，在判別“同位角”時，注意位置上的兩個“同”：在第三條直線的同一邊，在被截兩直線的同一方向.同位角不一定相等.

（2） 內錯角：兩條直線被第三條直線所截，如果兩個角在被截兩條直線之間，在第三條直線的兩旁，那么這兩個角叫做內錯角.如圖2中的∠2和∠7分別在直線a、b之間，并且在直線c的兩旁.內錯角是指兩個角的位置關系，內錯角的特征：在被截兩直線之間，在截線的兩旁.內錯角不一定相等.

（3） 同旁內角：兩條直線被第三條直線所截，如果兩個角在被截兩條直線之間，在第三條直線的同旁，那么這兩個角叫做同旁內角.如圖2中的∠2和∠5分別在直線a、b之間，并且在直線c的同旁.同旁內角是指兩個角的位置關系，同旁內角的特征：在被截兩直線之間，在截線的同旁.同旁內角不一定互補.

（4） 同位角、內錯角、同旁內角都是由兩條直線被第三條直線所截而形成的，將其分別從圖中分解出來，得出其基本圖形可分別形象地記為“F” 形、“Z”形、“C” 形.當圖形較為復雜時，一定要觀察清楚同位角（或內錯角、同旁內角）是哪兩條直線被哪一條直線所截的.另外這三種角講的只是位置關系，通常情況下，它們之間不存在固定的大小關系.

2. 兩直線平行的條件

① 同位角相等，兩直線平行.② 內錯角相等，兩直線平行.③ 同旁內角互補，兩直線平行.

以上三種方法都是利用角的關系判斷兩直線的位置關系.具體做法：要判斷兩條直線平行，首先需要兩個角，并且這兩個角是兩條直線被第三條直線所截成的同位角、內錯角或同旁內角；其次是要具備角的大小相等或互補.在兩者都具備的前提下，兩條被截的直線互相平行.

3. 探索平行線的性質

① 兩直線平行，同位角相等.② 兩直線平行，內錯角相等.③ 兩直線平行，同旁內角互補.

同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補是平行線特有的性質.不要誤認為凡同位角、內錯角都相等，凡同旁內角都互補.

4. 兩直線平行的條件與平行線的性質的區別和聯系

（1） 平行線的性質和兩條直線平行的條件的前提和結論恰好相反，運用時關鍵是弄清楚它們各自的前提和結論.

（2） 兩條直線平行的條件是由角的數量和位置關系推得直線的位置關系，而平行線的性質則是由直線的位置關系推得角的數量關系.

5. 圖形的平移

（1） 圖形的平移：在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形的運動叫做圖形的平移.平移運動時，圖形上的每一點都是沿同一方向移動相同的距離. 圖形的平移由平移的方向和平移的距離決定.平移的距離是指對應點之間線段的長度.

（2） 圖形平移的性質：① 平移不改變圖形的形狀、大小，即平移前后的兩個圖形全等，平移只改變了圖形的位置.② 圖形經過平移，連接各組對應點所得的線段互相平行（或在同一條直線上）并且相等.③對應線段平行且相等.

（3） 平行線之間的距離：如果兩條直線互相平行，那么其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等，這個距離稱為平行線之間的距離.兩條平行間的距離處處相等.

（4） 畫平移圖形：畫平移后的新圖形，要首先確定平移方向和距離，再確定關鍵點平移后的對應位置，最后按原有的方式依次連接，就可得到平移后的圖形.作圖的依據是平移的性質.

（5） 圖形平移的應用：利用平移的性質可以巧算某些圖形的周長和面積，還可以設計美麗的圖案.

6. 認識三角形

（1） 三角形的概念：三角形是由3條不在同一條直線上的線段，首尾依次相接組成的圖形.三角形有3條邊、3個內角和3個頂點.

（2） 三角形分類：① 按邊分類為：不等邊三角形和等腰三角形；② 按角分類為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.

（3） 三角形的三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.要判斷所給三條線段能否構成三角形，可以用兩條較小的線段長之和與最大線段長進行比較，若前者大于后者，則這三條線段能構成三角形，否則，不能構成三角形.

（4） 三角形中的特殊線段：①在三角形中，從一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.三角形的高垂直于三角形的一邊，一個三角形有3條高，并且3條高相交于一點.②在三角形中，一個內角的平分線與它對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線分三角形一角所成的兩個角相等， 一個三角形有3條角平分線，并且3條角平分線相交于一點.③在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做三角形的中線.三角形的中線分三角形一邊為相等的兩條線段， 一個三角形有3條中線，并且3條中線相交于一點.三角形的高、中線、角平分線都是線段.

7. 三角形的內角和

（1） 三角形的內角和：三角形3個內角的和等于180°.這個結論揭示了3個內角之間的數量關系.

（2） 直角三角形兩銳角互余.

（3） 三角形外角的概念及性質：① 三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫三角形的外角.三角形的一個外角就是三角形某個內角的鄰補角.② 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.

（4） 多邊形的內角和：n邊形的內角和是（n-2）180°.

（5） 多邊形的外角和：① 多邊形的一邊與相鄰的另一邊的延長線所組成的角，叫做多邊形的外角. 多邊形的外角與它相鄰的內角互補.② 在多邊形的每個頂點處取一個外角，它們的和叫做這個多邊形的外角和.任意多邊形的外角和都等于360°.多邊形的外角和與它的邊數無關.