基于推廣B樣條的非齊次旋轉曲面細分生成

(杭州電子科技大學計算機學院，浙江 杭州310018)

0 引 言

在自然界以及工業產品設計中，大量的物體表面幾何(包括常用的二次曲面等)皆為旋轉曲面，因此研究快速高效且利于分析的旋轉曲面的幾何造型方法在CAD/CAM 中具有十分重要的意義。從初始多邊形或網格按照一定的規則不斷細分逼近光滑曲線或曲面的造型技術，這一技術在20世紀末得到了很好的發展和應用，日漸成為幾何造型的一個重要研究方向[1-3]。由于細分模型具有概念簡單易于修改，能從一般拓撲的控制網格高效、分層遞進地定義光滑形體等優點成為三維動畫造型的首選方法，目前應用最廣的三維動畫制作軟件MAYA系統也是以細分曲面為造型工具的。關于細分造型技術的主要方法與分析詳見文獻4。常用的二次曲面屬于旋轉曲面，可以用NURBS 曲面精確表示，但其有理形式給計算和分析帶來不便，另外，NRUBS 也不具有分層細分的性質，因此包含二次曲面在內的旋轉曲面的精確表示及細分方法成為一項重要的研究課題。文獻5 中提出了動態的Do-Sabin 細分推廣方法，其極限曲面為雙二次的三角B樣條曲面，從而可細分生成包括圓柱面、球面和橢球面的雙二次旋轉曲面，文獻6 中提出了基于CB樣條的雙三次的細分方法，其極限曲面為雙二次的三角B樣條曲面，可細分生成包括圓柱面、球面和橢球面及圓環面的雙三次旋轉曲面，文獻7 中進一步提出了基于雙三次三角B樣條及雙曲B樣條的細分方法，在文獻5，6的基礎上，又增加了包括雙曲面在內的雙三次三角及雙曲B樣條旋轉曲面的細分生成能力。但已有方法能細分生成旋轉曲面在兩個方向上只限于均次數和均參數的情況，因此能生成的旋轉曲面的類型和形狀調整方式都十分受限。文獻8 中提出了一種基于推廣B樣條的曲線細分方法，它能細分生成所有二次曲線、三角及雙曲函數曲線、螺旋線、懸鏈線等，其極限曲線為任意次帶張力參數的推廣B樣條曲線，本文將這種細分方法推廣到旋轉曲面的細分生成方法，可細分生成比已有方法豐富得多的旋轉曲面，同時可從兩個方向調整曲面形狀。

1 非齊次旋轉曲面細分

非齊次旋轉曲面細分方法實際上是文獻8 中提出的曲線細分向旋轉曲面的推廣，將簡要介紹這種曲線細分算法向張量積曲面的推廣，在此基礎上給出旋轉曲面細分初始控制網格的詳細構造方法。

1.1 基于推廣B樣條的張量積曲面細分

文獻8 中提出的基于推廣B樣條的曲線細分規則可描述如下:令為第k層細分時的控制頂點序列，那么對于d次細分而言，第k層細分新的控制頂點序列通過兩大步驟產生，即線性細分和d-2次平均細分，如:

式中，參數uk隨細分次數而變化，因此該細分方法為動態細分，其初始值u0預先給定，uk隨細分次數變化的迭代公式為當k→∞時，該細分方法收斂到d次帶張力參數u0的推廣B樣條光滑曲線(Cd-1階連續)，證明詳見文獻8。進一步將其推廣到張量積曲面，得到基于推廣B樣條的張量積曲面細分算法。

(1)初始化k=1，給定細分最大次數K;

(2)對當前細分控制網格Mk-1逐行實施du次帶張力參數uk-1的推廣B樣條曲線細分得到中間控制網格Qk;

(3)對中間控制網格Qk逐列實施dv次帶張力參數vk-1的推廣B樣條曲線細分，得到新控制網格Mk;

(5)若k≤K，轉k至第2步，否則細分結束，控制網格MK為最終細分結果，與曲線情形同理，當K 足夠大時，該細分方法逼近極限曲面，即du×dv次的推廣B樣條張量積曲面，且處處保持Cmin(du，dv)-1階連續。

1.2 旋轉曲面細分控制網格構造方法

旋轉曲面可看作張量積曲面的一種，典型的旋轉曲面是母線繞軸線旋轉一周形成，因此它們在其中一個參數方向上形狀為一個整圓，而整圓可用推廣B樣條精確表示，并可細分生成，最低采用二次推廣B樣條即可，具體方法詳見文獻8。若旋轉曲面的母線可用基于推廣B樣條細分方法生成，為保證另一方向為圓，按以下方法可構造出細分初始控制網格，從而可運用算法1 細分生成該旋轉曲面。

算法2 (旋轉曲面細分初始控制網格構造)令Cg為母線，可用推廣B樣條曲線表示，其控制多邊形為Pg，該母線繞軸線(不失一般性假設為z軸)旋轉而成的旋轉曲面為Sr，則可由算法1 細分生成，初始控制網格Mr按如下方法構造:

(1)若Cg是常用的解析曲線段(二次曲線、三角函數及雙曲函數曲線、螺旋線、懸鏈線等)，其對應的推廣B樣條次數dg、細分控制多邊形Pg及張力參數vg需根據文獻8的方法確定，若Cg是一般的推廣B樣條曲線，則這3 項均為已知，直接進入下一步;

(2)在旋轉方向采用2次的推廣B樣條表示圓，因此整圓用4 段曲線表示，控制多邊形為正方形，張力參數為cos(詳見文獻8)，計首末兩段重復的兩個頂點共6個控制頂點，因此首先將擴展為6列形成一個初始網格

(3)修改初始網格使得旋轉方向上的每一排控制頂點恰好定義一個圓，修改后的控制網格為Mr=，其中(:，:，3)=(Pg)z;

(4)以Mr為細分初始控制網格，母線方向的次數和張力參數分別取dg、vg，旋轉方向的次數和張力參數分別取2、cos運用算法1 即可細分生成旋轉曲面Sr。

2 實驗結果與分析

旋轉曲面構造實例，并與已有方法進行比較分析。由前所述，只要母線能用基于推廣B樣條細分曲線表示，則其繞軸線旋轉產生的旋轉曲面皆可由算法2 構造出初始網格，由算法1 細分生成。3組不同旋轉曲面生成圖如圖1-3所示:

圖1 基于推廣B樣條旋轉曲面細分生成示意圖

圖2 以常用曲線為母線的旋轉曲面細分造型

圖3 張力參數對4-2次花瓶造型旋轉曲面形狀的影響

圖1給出了以雙曲線為母線的旋轉曲面細分生成的示意圖，旋轉曲面為雙二次，由圖1(a)中初始網格細分5次即可得到圖1(c)所示的非常光滑的細分曲面結果。由于兩方向的張力參數分別為非均參，因此已有方法無法實現。

圖2給出了更多利用本文方法細分造型以常用曲線為母線的旋轉曲面的例子，其中圖2(a)中為雙二次圓錐曲面，圖2(b)中為雙二次圓環面，圖2(c)中為3-2次以正弦曲線為母線的旋轉曲面，由于該旋轉曲面是非齊次的，已有方法無法表示。

圖3為張力參數對4-2次的花瓶旋轉曲面造型，圖3(a)中vg=0.1，圖3(b)中vg=2，圖3(c)中vg=5。v方向次數高于3次，兩方向的張力參數也不相同，已有方法無法實現，可以保持初始控制網格及u方向參數不變，通過改變v方向參數精細地調整旋轉曲面的形狀，可以看到，v方向參數越大，結果曲面越靠近初始控制網格。

3 結束語

本文提出的旋轉曲面的細分生成方法一方面繼承了細分方法的造型優勢，另一方面又繼承了推廣B樣條能精確表示常用的二次曲面以及一些經典的有理曲線或三角雙曲曲線為母線的旋轉曲面的優點。常見的曲面細分方法有基于雙三次B-樣條的Catmull-Clark 細分、基于雙二次均勻B-樣條的Doo-Sabin 細分等。與已有方法相比，由于本文方法具有任意次、非齊次、非均參的優勢，而已有方法僅限于雙二次或雙三次，且兩個方向參數必須相同，因此本文方法能造型比已有方法豐富得多的旋轉曲面，并能方便直觀地調整旋轉曲面形狀。

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