“電路”與“振動力學”的類比教學方法研究

郭空明 徐亞蘭

摘要：“電路”和“振動力學”均為機械類專業的核心課程。這兩大類課程從數學概念上存在許多相似性。結合多年教學經驗，以課程中一些概念的數學相似性為例，對這兩門課的類比教學進行了探索，并在教學中采用類比教學方法，發現這種方法不但可以提升教學效果，而且可以使學生的理解提升到數學層面上，從而使其知識的深度和廣度都得到加強。

關鍵詞：教學方法;電路;振動力學;類比

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2014）33-0054-02

“電路”與“振動力學”是絕大多數機械類專業的核心課程。其中，“電路”課程包括靜態電路和動態電路兩部分，即狀態不隨時間變化的電路和狀態隨時間變化的電路。力學類課程也分為靜力學、動力學兩部分，即狀態不隨時間變化的力學系統和狀態隨時間變化的力學系統。與靜力學學科如“材料力學”相比，“振動力學”由于考慮了系統的慣性，系統的位移、速度等都是隨時間變化的，因而是一門動力學學科。

在動態電路和振動力學中，系統的數學模型都是以時間為變量的微分方程。對于離散系統（集總參數電路、單自由度及多自由度力學系統），方程為常微分方程或常微分方程組，對于連續系統（分布參數電路、連續介質力學系統），由于系統的狀態不僅與時間有關，還與空間有關，系統的數學模型滿足偏微分方程，即方程中既有對時間求導項，又有對空間求導項。所以，“電路”與“振動力學”的許多概念從數學原理上都是相通的，目前已有一些學者提出了這一點。[1，2]

由于機械類學生對微分方程的知識僅在“微積分”課程中有一些粗淺認識，因此這兩門課對其而言具有一定的難度。由于學生要先后學習這兩門課（一般是先學習“電路”，再學習“振動力學”），若在后一門課程的教學中使用前一門課程的概念進行類比，可以使學生觸類旁通，一方面更容易接受新課程的內容，另一方面也深化了對物理概念背后數學原理的認識。筆者在“振動力學”課程中將概念與“電路”進行類比顯著提升了教學效果。下面針對這兩門課的可類比性，試舉幾例。

一、回路電流法標準形式與剛度矩陣的類比

回路電流法是一種求解電阻電路的方法，這種方法雖然一般應用于靜態電路（如果引入阻抗的概念，也可以應用于動態電路穩態分析），但是由于“振動力學”中剛度矩陣的建立實際上也是基于靜力學原理的，所以從下文可以看出，這兩種方法有一定的相似性。

首先介紹回路電流法。對于具有n個獨立回路的“電路”，回路電流法的標準形式為[3]：

寫成矩陣形式則為：

其中：

（1）

式（1）中，對角線上的元素為各回路的自電阻，總為正值。自電阻的物理意義為：某一回路有單位電流流過時，單位電流在該回路產生的電壓。非對角元素為各回路之間的互電阻，若流過互電阻的兩個回路電流方向相同，則此互電阻為正，否則為負?；ル娮璧奈锢硪饬x為：某一回路流過單位電流時，該單位電流在另一回路產生的電壓。

而振動力學中，具有n個獨立自由度的力學系統，其剛度矩陣的標準形式為[4]：

（2）

式（2）中，對角線上的元素為在某一自由度施加單位力時該自由度產生的位移，顯然這個值總為正值。非對角元素為在某一自由度施加單位力時，另一自由度產生的位移，若位移與力的方向相同，則為正值，反之為負。

通過對公式（1）和（2）形式上的比較和物理意義的解釋，可以看出這兩個矩陣在數學形式上相同，物理概念上相似。顯然，此時電路中的獨立回路可以與力學中的獨立自由度進行類比，此時電流對應力學中的力，電壓對應力學中的位移。因此，在學生先修過“電路”的情況下，在“振動力學”的教學中可以通過類比的方法使學生迅速掌握剛度矩陣的建立方法以及理解其本質，這樣可以顯著提高教學效率。

二、二階電路零輸入響應與單自由度阻尼自由振動的類比

力學中的單自由度系統需要用二階微分方程描述，二階電路亦然。因此兩者具備可類比性。限于篇幅，這里只考慮系統模型為齊次微分方程的情況，也就是電路系統和力學系統都不存在激勵，分別對應二階電路的零輸入響應和單自由度系統的阻尼自由振動。

首先考慮電路系統。RLC串聯振蕩電路為典型二階電路，設回路中電流為i，為了更好地從形式上與振動力學系統進行比較，將電流寫成電量q對時間的一階導數，即以電量q為基本變量，則其滿足方程（3） [3]：

（3）

而對于有阻尼單自由度系統，其位移x滿足方程（4）：

（4）

顯然方程（3）和（4）具有數學形式上的相似性?？梢钥闯?，若分別以電路的電流和單自由度系統的為位移為變量，則電路的電感對應于力學系統的質量，電路的電阻對應于力學系統的阻尼器，電路電容的倒數對應于力學系統的剛度。

對于電路系統，振蕩的原因在于電感存儲的磁能與電容存儲的電能互相交換，而電阻起耗散能量的作用。對于力學系統，振動的原因在于質量擁有的動能與彈簧存儲的彈性勢能互相交換，而阻尼器起耗散能量的作用。從表1中可以清楚地看出兩種系統中存在的對應關系：

表1 二階電路與單自由度振動系統的各物理量類比

二階

電路 電量q 電流 磁能 電能 電阻功率

固有頻率

單自由度振動系統 位移x 速度 動能 勢能 阻尼單位時間內耗能 固有頻率

因此，在處理二階電路和單自由度振動時，有很多方法的本質都是相同的。如求解電路任意激勵下響應的卷積積分法和求解單自由度系統在任意激勵下響應的杜哈梅積分法、求解簡諧激勵下電路穩態響應的相量法以及求解簡諧激勵下單自由度系統穩態響應的復指數法，等等。在教學中，通過建立類比可以使學生迅速理解相關概念、掌握相關方法，從而達到事半功倍的教學效果。

三、均勻傳輸線與桿的縱向振動的類比

由于許多機械類學科并未開設“數學物理方程”課程，在“微積分”課程中也未有提及這部分內容，因此由偏微分方程描述的連續系統對于學生而言一直是最大的難點。電路中的均勻傳輸線和振動力學中連續介質的振動均由偏微分方程描述，其中，無損耗傳輸線和桿的縱向振動具有數學上的相似性，均為一維波動方程。

下面首先考慮無損耗均勻傳輸線。設無損耗均勻傳輸線單位長度電感、電容分別為L0和C0，則其電壓、電流的變化規律一般寫成如下的偏微分方程[3]：

（5）

（6）

式（5）和（6）可以整理為標準一維波動方程的形式。將式（5）對空間尺度x求偏導，可得：

（7）

式（6）對時間t求偏導并乘以L0，可得：

（8）

式（7）和（8）相減，可得：

（9）

而對于密度為ρ、彈性模量為E的等截面直桿，其縱向位移χ滿足偏微分方程：

（10）

對比（9）和（10）可以發現，無損耗均勻傳輸線和桿的縱向振動在數學模型上是一致的，均為一維波動方程。（9）和（10）右端項系數的平方根分別為電壓的相速度和縱波在桿內傳播的速度。這兩個方程均可以使用經典的分離變量法進行求解。在教學中，通過兩者的類比歸納總結出一維波動方程的普遍性質和求解方法不但可以使學生迅速掌握繁雜的數學公式，而且使學生對公式的認識提高到一個具有普遍意義的層面。

四、結論

本文針對“電路”和“振動力學”中數學原理的相似性，提出了類比教學方法的概念。通過在課堂上引入類比教學的方法，首先可以使學生基于舊知識迅速掌握新知識，其次可以使學生在學習新課程時對已修課程的知識進行鞏固和深化理解，最后還可以使學生對物理概念的認識升華到數學原理的層面。從宏觀層面，類比教學方法可以優化課程結構，避免相似數學原理在不同課程中的重復講解，可以使學生對廣泛知識的認知水平得到提高，也會提升工科類學生的數學修養。類比教學方法不僅適用于文中提到的兩門課程，也適用于所有具有相同或相似數學概念的課程，因此具有巨大的推廣價值。

參考文獻：

[1]梁立孚.飛行器結構動力學中的幾個問題[M].西安：西北工業大學出版社，2010.

[2]Preumont.Mechatronics：Dynamics of Electromechanical and Piezoelectric Systems[M].Springer，2006.

[3]邱關源.電路[M].第五版.北京：高等教育出版社，2005.

[4]劉延柱.振動力學[M].第二版.北京：高等教育出版社，2011.

（責任編輯：王祝萍）