星敏感器低頻誤差在軌校準方法研究*

熊 凱，宗 紅，湯 亮

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術重點實驗室，北京100190)

0 引 言

高分辨率對地觀測要求對星上有效載荷進行精確的指向控制，或通過衛星姿態確定系統獲取有效載荷光軸指向信息.在星上姿態確定系統中，由星敏感器和陀螺構成的星光慣性姿態確定(SIAD，stellar intertial attitude determination)系統精度較高.是眾多航天任務的首選[1].

星光慣性姿態確定系統的性能依賴于星敏感器的精度，而星敏感器觀測量中通常包含低頻誤差.星敏感器低頻誤差主要是由于太陽照射角度變化產生的冷熱交變的熱環境，使得星敏感器本體及其安裝結構形變造成的.由于太陽照射角度依軌道周期變化，星敏感器低頻誤差可視為周期信號，其變化周期近似等于衛星軌道周期.據報導，在多個航天器上都發現了周期性的星敏感器低頻誤差的影響，如PROBA衛星、CHAMP衛星和ALOS衛星等[2-4].傳統的姿態確定卡爾曼濾波算法未考慮星敏感器低頻誤差的影響，很難直接利用卡爾曼濾波消除星敏感器低頻誤差.存在星敏感器低頻誤差的情況下，將會導致衛星姿態確定精度降低.

文獻[5]中給出了一種星敏感器低頻誤差校準方法.該方法中，將低頻誤差建模為一階高斯-馬爾可夫過程，并將其于衛星姿態和陀螺漂移一起進行估計.該方法的不足之處在于對陀螺測量精度的要求非常高.在以往工作中，曾提出一種基于多模型自適應估計(MMAE，multiple model adaptive estimation)的星敏感器低頻誤差校準方法，其基本思路是采用MMAE算法，利用陀螺漂移估計值的頻譜對低頻誤差參數進行估計[6]，該方法的局限性在于MMAE算法復雜，計算量較大，不利于在軌應用.

本文研究一種適合工程應用的星敏感器低頻誤差在軌校準方法，基本思路是將星敏感器低頻誤差參數擴充為狀態，將衛星姿態運動學模型和低頻誤差數學模型相結合，用于建立誤差校準模型，在此基礎上設計擴維卡爾曼濾波(A-KF)，同時對衛星姿態、陀螺漂移和星敏感器低頻誤差參數進行估計.與文獻[5]中的方法不同，星敏感器低頻誤差被建模為傅里葉級數，而不是高斯-馬爾可夫過程，通過AKF估計傅里葉級數的系數，而不是低頻誤差本身.與文獻[6]中給出的基于MMAE的方法相比，基于A-KF的校準方法的優勢在于計算量小，原理直觀，更易于在軌實現.此外，本文分析了基于A-KF的校準方法的性能，指出低頻誤差校準方法的有效性與低頻誤差的幅度大小有關，相關內容在以往的工作中并未揭示出來.

1 低頻誤差校準方法

KF(Kalman filter)是基于系統模型設計的.對于衛星姿態確定系統模型而言，狀態量由誤差四元數和陀螺漂移誤差構成，其表達式如下:

基于前面所定義的狀態，離散形式的狀態方程可以寫為如下所示的線性形式:

式中

式中，wk是系統噪聲向量，通常假定為0均值隨機變量，其方差為

式中，Qk是已知正定矩陣.在狀態轉移矩陣Fk中，τ表示時間步長，In×n表示n×n階單位陣，0m×n表示m×n階0矩陣，是星體角速率

衛星姿態確定系統的測量方程形式為

vk是測量噪聲向量，通常假定為0均值隨機變量，其方差陣為

式中，Rk是已知正定矩陣.表示星敏感器低頻誤差對觀測量的影響.考慮到星敏感器低頻誤差可視為周期信號，并且其信號周期近似等于軌道周期，Δk的3個分量可建模為傅里葉級數的形式

式中，T為衛星軌道周期，M為正常數，axj、bxj、ayj、byj、azj和bzj為未知的低頻誤差系數.

基于前述系統模型和觀測模型，可以設計KF算法，用于處理觀測量yk，獲取狀態量的最優估計.KF的標準形式如下所示:

傳統KF是在假設模型與實際系統相一致的情況下推導得到的，在模型與實際系統不一致，即存在模型不確定性的情況下，通過KF得到的狀態估計不是最優的.這會導致估計得到的衛星姿態信息不準確.

為了削弱星敏感器低頻誤差的影響，提出一種基于A-KF低頻誤差校準方法.基本思路為:將低頻誤差參數擴充為狀態，使得A-KF算法能夠同時對衛星姿態和低頻誤差參數axj、bxj、ayj、byj、azj和bzj進行估計.本文僅考慮傅里葉級數的一階項，也就是說，令M=1.此時，Δk可簡寫為

對于所設計的A-KF，擴維的狀態中包括誤差四元數、陀螺漂移誤差和低頻誤差參數.此時，狀態向量寫為xk和θk的組合，即，其中，向量θk=[ax1bx1ay1by1az1bz1]T由低頻誤差校準參數組成.相應的，可構造得到如下形式的狀態方程:

考慮到低頻誤差參數θk的變化非常緩慢，在幾個軌道周期的校準過程中可以忽略不計向量θk的狀態轉移矩陣為6×6階單位陣，相應的系統噪聲設為0.

基于擴維的狀態量，相應的觀測方程可寫為

其中，

針對如式(16)～(17)所示的系統，A-KF算法可寫為

2 校準方法效能評估

本節通過理論推導分析低頻誤差校準對衛星姿態確定精度的影響，并對校準方法的應用提出一些建議.對于傳統的姿態確定KF算法，估計誤差定義為真實狀態和估計狀態之差，即

低頻誤差校準基于A-KF進行，A-KF的估計誤差定義為

審計方式應當隨著新型的神經網絡技術的運用而作出一些調整，可以通過搭建審計數據的綜合分析平臺，從而建設和完善有關國家與人民的重點領域聯網審計系統，對于一些半結構化、非結構化數據，我們可以通過一些專業工具的使用來對其進行處理，從而能夠對一些規模較為龐大的數據信息進行高效地匯合和處理。如：在地稅審計過程中，可通過地稅聯網審計系統，對全省得地稅數據進行集中地整理分析，走出一條“數據集中采集、集中統一分析、疑點分布落實、資源充分共享”的大數據審計模式，使全省的地稅聯動審計得以實現。

定理1 推導了傳統KF和A-KF的狀態估計誤差方差陣.

定理1.考慮如式(16)和式(17)所示的動態系統，濾波算法如式(13)、(14)、(19)和(20)所示，令

如果低頻誤差校準參數的估計誤差滿足如下條件:

那么狀態估計誤差滿足如下不等式:

限于篇幅，略去定理的證明過程.

定理2給出了定理1中條件(25)成立的充分條件.

定理2.考慮如式(16)和式(17)所示的動態系統，利用如式(19)和式(20)所示的A-KF算法估計低頻誤差參數θk，如果參數θk滿足如下不等式:

定理的證明過程略.由定理2可知，在低頻誤差參數足夠小的情況下，校準誤差會大于低頻誤差參數真值.結合定理1和定理2，得到如下論斷:星敏感器低頻誤差校準對衛星姿態確定精度的影響取決于校準誤差和實際低頻誤差參數的大小對比.如果校準誤差大于低頻誤差參數，那么校準誤差將會影響狀態估計，導致姿態確定精度下降，此時，不宜進行校準.相反，如果低頻誤差參數大于校準誤差，那么通過校準將消弱低頻誤差的影響，從而提高衛星姿態確定精度.本文指出了低頻誤差大小和校準方法使用效果之間的關系，說明同一種誤差校準方法應用于不同對象時，可能會得到截然不同的效果，這一結果在以往低頻誤差校準研究中并未涉及.基于A-KF的低頻誤差校準方法適合應用于低頻誤差幅度較大的場合.實際工作中，建議事先對校準誤差和低頻誤差進行對比，其中，校準誤差的大小可通過數學仿真確定，低頻誤差的幅度可基于星上遙測數據進行分析.

3 校準方法性能分析

本節通過計算CRLB(Cramer-Rao lower bound)分析本文所給出的校準方法理論上所能達到的估計精度.CRLB是一種經典的性能評估工具，能夠針對特定系統，給出狀態估計所能達到的理論下界，或極限精度.CRLB通過系統模型、觀測模型，以及相應的噪聲方差陣計算得到，其取值反映了系統的本質屬性，與具體的濾波方法無關，分析過程中不需要進行濾波解算.

下面簡要說明CRLB的計算方法.對于如式(2)和式(6)所示的系統模型，可以得到矩陣Jk，使得

CRLB定義為Fisher信息矩陣的逆.一般來說，較小的CRLB說明所研究的方法是可行的，能夠取得較高精度，相反，較大的CRLB說明所研究的方法估計誤差較大或不收斂.

計算CRLB的典型仿真條件如下:假定對地指向衛星在周期100min，傾角98°的近圓軌道上運行.星上安裝3個陀螺和2個星敏感器，陀螺的角度隨機游走和角速率隨機游走系數分別為4×10-4(°)/h0.5和5×10-3(°)/h1.5.假定星敏感器光軸指向測量隨機噪聲標準差為1″.

首先，基于典型仿真條件，通過CRLB分析低頻誤差校準方法的性能.對應低頻誤差校準參數ax1、ay1和az1的CRLB的平方根曲線如圖1(a)所示.圖中，實線表示典型仿真條件下計算得到的估計誤差下界.bx1、by1和bz1的曲線與之類似，不再贅述.

不難看出，對于典型仿真條件，本文所給出的低頻誤差校準方法是有效的.為了分析測量噪聲對誤差校準的影響，將測量噪聲取為典型值的10倍和100倍，并計算CRLB，相應的CRLB平方根曲線如圖1(a)所示.在一定的誤差水平內，測量噪聲對誤差校準性能的影響較小.

接下來，分析系統噪聲對校準精度的影響.基于不同的系統噪聲方差陣，進行3組仿真，系統噪聲先取為典型值，再放大10倍和100倍.對于不同的系統噪聲水平，對應各個校準參數的CRLB的平方根如圖1(b)所示.圖形顯示，計算得到的CRLB的取值隨系統噪聲的增大而增大.對于所研究的系統，系統噪聲主要由陀螺噪聲引起，校準精度與陀螺精度有關.

4 仿真結果

通過仿真分析星敏感器低頻誤差校準方法的性能.利用通過靜態試驗得到的三浮陀螺實測數據仿真產生陀螺觀測量，低頻誤差輪廓基于星敏感器遙測數據建立.

低頻誤差參數通過對2個星敏感器輸出的姿態四元數之差進行傅里葉級數擬合得到，表1中給出了仿真中所用的典型低頻誤差參數.

通過對比誤差校準前后的衛星姿態確定精度來說明校準方法的有效性.首先，采用傳統姿態確定KF算法處理仿真得到的星敏感器和陀螺觀測數據，獲得衛星姿態估計值.傳統KF的姿態誤差曲線如圖2(a)所示.

圖1 低頻誤差參數ax1、ay1、az1的CRLB曲線Fig.1 CRLB for low frequency error parameters ax1，ay1 and az1

表1 低頻誤差參數Tab.1 Low frequency error parameters

其次，利用第3節給出的低頻誤差校準方法，得到的姿態估計誤差曲線如圖2(b)所示.與傳統KF的估計結果進行對比，可以看出，KF不能有效消除星敏感器低頻誤差的影響，應用低頻誤差校準方法后，姿態確定誤差顯著減小.

接下來，分析低頻誤差的幅度較小時，誤差校準對姿態確定精度的影響.將低頻誤差參數設置為表1中所示數據的1%時，通過傳統KF和A-KF得到的衛星姿態估計誤差曲線如圖3所示.

正如本文所分析的，在低頻誤差較小的情況下，通過A-KF校準后，相對于不進行校準的情況，姿態確定精度有所降低.此時，不宜進行誤差校準.

圖2 低頻誤差取典型值情況下的衛星姿態確定誤差曲線Fig.2 Satellite attitude determination error with typical low frequency error

對于不同的低頻誤差參數取值，通過傳統KF和A-KF得到的衛星姿態估計誤差均方根(RMS)如表2所示，表中最后一列為均方根誤差的范數.

表2 校準前后姿態估計誤差對比Tab.2 Comparison between attitude estimation errors before calibration and after calibration

不難看出，低頻誤差幅度較大的情況下，A-KF的估計精度優于傳統KF;低頻誤差幅度較小的情況下，傳統KF的估計精度優于A-KF.

為了更清楚的說明低頻誤差校準方法的有效性與低頻誤差幅度大小的關系，設置低頻誤差參數為多個不同值，測試傳統KF和A-KF的性能.低頻誤差參數分別設置為表1中數值的10%、20%、30%、50%、100%、200%和300%，仿真得到的三軸姿態估計誤差均方根的范數如圖4所示.

圖3 低頻誤差縮小情況下的衛星姿態確定誤差曲線Fig.3 Satellite attitude determination error with decreased low frequency error

圖4 姿態確定精度和低頻誤差的關系Fig.4 Relation between attitude determination accuracy and low frequency error

顯然，隨著低頻誤差的增大，傳統KF的估計精度顯著降低，而A-KF估計精度降低的程度相對較小，逐漸體現出相對傳統KF的優勢.對于典型低頻誤差參數量級和現有陀螺精度水平，通過校準有利于提高衛星定姿精度.

5 結 論

針對星敏感器低頻誤差影響衛星姿態確定精度的問題，提出了將星敏感器低頻誤差建模為傅里葉級數，并通過A-KF估計低頻誤差參數的方法，通過理論推導和數學仿真詳細分析了低頻誤差校準方法的性能.為了保證仿真的可信度，采用根據星敏感器遙測數據建立的低頻誤差模型，并將實測陀螺數據用于數學仿真.研究表明，當校準誤差小于低頻誤差參數真值時，通過低頻誤差校準能夠提高衛星姿態確定精度，相關分析結果能夠為低頻誤差校準方法的設計和選用提供參考.

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