基于線性協方差的月球上升器主動段誤差分析

王志文，張洪華

(北京控制工程研究所，北京100190)

0 引 言

月球上升段由3個階段構成，如圖1所示.第一階段是100m的垂直上升，該階段所用時間很短，主要目的是使探測器離開月面，達到動力上升所需要的條件.第二階段是單軸旋轉，該階段要求在盡量短的時間里調整上升器的姿態，使推力方向的指向從垂直方向轉為動力上升段開始時所要求的最優指向.第一和第二階段，一般采用開環制導律.第三階段是動力上升段，即主動段.以美國Altair月球著陸器為例，該階段要求上升器到達近月點約15km、遠月點約75km的橢圓軌道.該階段飛行時間較長，一般有300多秒，故需要設計閉環最優控制使得該段所消耗的燃料最少[1-3].

圖1 月球上升器3個階段[1]Fig.1 Three stages for lunar ascent

本文使用線性協方差的方法研究第三階段制導，即主動段制導，在存在初始狀態偏差和系統參數偏差的情況下，終端高度、速度大小以及飛行路徑角的偏差.其中，主動段制導采用的制導律為PEG+保持制導[4].在用線性協方差分析PEG制導性能之前，首先需要對PEG進行線性化.文獻[4]使用了一種數值方法實現了對PEG的線性化處理，但這種方法運算量大，需要時間較長，且面臨著步長選擇的問題.本文提出一種解析的方法，可以得到PEG3 個制導參數的線性化顯式表達，相比而言可以大幅減少運算量和仿真時間.通過對PEG線性化處理，可以考察主動段制導存在初始狀態偏差(位置偏差和速度偏差)、系統參數偏差(比沖偏差、質量偏差和質量流量偏差等)以及執行機構偏差的情況下，終端時刻的制導偏差.

1 制導律簡介

如引言所述，本文采用PEG+保持制導.PEG是一種預測校正的迭代制導律.

考慮運動方程

式中，F為推力，m為當前質量，g為當前位置月球重力加速度，uf為推力方向單位矢量，且具有如下形式:

式中，λv為速度增量方向上單位矢量垂直于表示推力方向的變化.tλ為制導時間，選擇合適的數值，可使得推力引起的速度變化沿著λv方向.uf，三者之間的關系如圖2所示.PEG制導的主要問題是得到這3個制導參數，然后按照式(2)就可以計算任意時刻推力方向的單位矢量.

圖2 制導參數之間的關系Fig.2 Relations of guidance parameters

關于PEG制導的詳細推導過程這里不再贅述，讀者可以參考相關文獻[4-6].需要說明的是，PEG以速度增量vgo作為其獨立變量，使用預測校正的迭代方法產生滿足終端要求的vgo，在此基礎上得到PEG制導律3個制導參數λv，，tλ的顯式表達.

2 線性協方差分析

線性協方差分析作為一種誤差分析方法已經被成功應用于交會對接、地月軌跡、行星任務的GNC系統和導航分析.和蒙特卡洛方法相比，線性協方差方法速度快，一次運行就可以得到誤差的分析結果，并且可以隨意選擇誤差組合，分析不同誤差帶來的影響.

將線性協方差用于主動段制導誤差分析，首先面臨的一個困難是將PEG制導律線性化.如前所述，PEG制導律復雜，高度非線性，并且包含預測校正的迭代求解過程，所以將其線性化比較困難.本文給出一種近似的PEG線性化解析方法，得到了PEG3 個制導參數的線性化顯式表達.

制導在tgo=tf時轉入保持模式，從蒙特卡洛仿真的角度來看，不同樣本從PEG轉入保持模式的時間都是不一樣的，所以針對這種基于事件觸發而不是時間觸發的制導模式轉換，線性協方差分析需要進行相應的修正，這也就是文獻[4]中提到的事件觸發的問題.

最后，當制導轉入保持模式后，推力單位矢量保持不變，但這個時候推力單位矢量的偏導并不為零，也并不等于從PEG轉入保持模式時刻的偏導值，即線性協方差分析還需要解決保持模式中推力方向偏導問題[4].

下面將根據這3個問題依次進行說明.

2.1 系統狀態定義

影響月球上升段主動段制導精度的有:初始位置偏差δr，初始速度偏差δv，比沖偏差δIsp，初始質量偏差δm，初始質量流量偏差δdm，推力大小偏差δF，以及執行機構偏差.其中執行機構參數偏差包括零偏誤差b，標度因數誤差f，失準誤差κ.此外對制導精度有影響的還有重力模型偏差εgrav，以及環境噪聲等.

設系統狀態為

2.2 PEG線性化

PEG制導律線性化中所有的偏差都是相對于標稱軌跡來說的.標稱軌跡是由理想初始條件并忽略所有中間過程誤差生成的.規定下面符號均表示x的標稱值.

PEG制導律線性化指的是線性化PEG制導律的3個制導參數由PEG的制導方程可知

線性化式(3)和(4)有

由上述J，L的定義可知，其偏差δJ，δL可以寫成關于的線性表達，如下所示:

綜上可以看出要得到δλv，δtλ，只需要得到δvgo就可以了.

線性化式(5)有

同理δS，δQ可寫為如下的線性表達:

式中，vd為期望的終端速度，為當前的速度.

線性化有

經過推導，δvgo可以寫為關于的線性表達

近似認為

結合式(8)、(11)、(12)可知，δvgo可以進一步寫為如下的線性表達:

至此，可以得到δvgo的最簡線性化表達

對于rgo的線性化δrgo，思路和上面類似.需要注意的是在PEG制導方程中，rgo的計算分兩步:第一步按著計算，然后利用約束修正rgo.所以在線性化rgo的時候也應該按著這樣的兩步線性化.最終，δrgo也可以寫為如下的最簡線性化表達:

得到了vgo，rgo的線性化表達，代入就可以得到PEG3個制導參數的線性化表達

2.3 事件觸發

如前所述，設定PEG轉出的時間閥值tf，當tgo=tf時制導轉入保持模式.由于這種模式轉換不是基于固定的時間，而是基于離散的事件(tgo=tf)，所以線性協方差需要進行相應的修正[4].

關于包含事件觸發的線性協方差分析，文獻[7]中給出了較為詳細的推導.本文將其原理應用于主動段模式轉換時線性協方差分析.對一般情況，事件觸發可以用數學表達式表示成如下關于狀態的函數[7]:

式中，x表示系統狀態，當等式滿足時意味著該事件在te時刻發生了.在本文中，該事件可以具體表示為

這里省略具體的推導過程，只給出最后的結論[7]

2.4 保持模式中單位推力的偏導

當tgo=tf時制導轉入保持模式，在這個階段，系統將保持PEG制導最后一步的推力方向不變，直到tf時間后主發動機關機，制導結束.

雖然在保持模式中推力方向保持不變，但推力方向的偏導并不是零.這是因為，從蒙特卡洛仿真的角度分析，不同的樣本在進入保持模式時推力方向不同，而線性協方差中推力方向的偏導統計的就是不同樣本相對于標稱軌跡的偏差.而且保持模式中推力方向的偏導也不等于PEG最后時刻(進入保持模式之前)的偏導，否則就意味著保持模式中推力方向的偏差是由該階段系統狀態的變化所導致的[4].

文獻[4]給出了一種解決方法，即引入一個虛擬狀態uf，uf表示推力單位矢量.這時系統的狀態重寫為

uf由PEG制導得到，每調用一次PEG，就更新一次uf，所以可以認為uf的動力學為[4]

uf的更新方程如下[4]:

于是可以得到更新后系統協方差矩陣

式(20)表示每調用一次PEG，系統協方差矩陣就更新一次，直到保持階段，不再調用PEG.

2.5 系統誤差源建模

本文將執行機構偏差中包含的f，κ，b以及重力模型偏差εgrav均視為一階馬爾科夫過程[8].

對每個執行機構參數pj，其狀態協方差為時間常數為τj，白噪聲方差如下:

其動力學方程可寫為

對重力模型偏差εgrav，其狀態協方差為相關距離為dk，白噪聲方差如下:

其動力學方程可寫成如下的分量形式:

系統參數認為保持不變，故

3 仿真及分析

上升器主動段終端關注高度，速度大小，以及飛行路徑角的大小.本文按著PEG+保持的制導模式(tf=8s)，用上述線性協方差方法分析在存在初始狀態偏差、系統參數偏差以及執行機構偏差的情況下，終端高度、速度大小、飛行路徑角的偏差.為了驗證上述線性協方差的有效性，引入了相同初始條件下的300次蒙特卡洛仿真.仿真中用到的執行機構參數偏差和噪聲如表1[9]所示.

表1 仿真參數Tab.1 Simulation parameters

按著初始仿真條件，分為如下兩種情況:

其中情況2相對于情況1，增加了參數vex，m，dm的偏差，以考察系統參數偏差對PEG制導性能的影響.

圖3和圖4給出了兩種不同初始條件下線性協方差(LC)和蒙特卡洛(MC)關于高度偏差δh，速度大小偏差δv，以及飛行路徑角偏差δγ的對比曲線.從圖中可以看出，在305s之前有一個突變，這是由蒙特卡洛在處理從PEG轉入保持模式的數據時重置不同樣本的仿真時間為一個共同的仿真時間e(e為標稱情況下從PEG轉入保持模式的時間)所造成的.這樣處理的結果方便MC與LC進行直接比較分析.同時從圖中還可以看出，經過8s的保持模式，在制導結束時刻，LC和MC的結果重合較好，且都趨向于零.說明在存在上述偏差的情況下，PEG+保持模式的制導模式能夠保證終端精度要求.

從圖中可以看出，LC和MC的仿真曲線在過程中間時刻有一些偏差，這主要是由于本文提出的線性協方差分析是一種近似的分析，本身PEG線性化存在誤差，但實際中更關注的是終端時刻的狀態偏差，從圖中兩種情況的仿真分析可以看出，終端時刻LC和MC兩條仿真曲線基本重合，表明上述的線性協方差方法可以較好地估計終端時刻的狀態偏差.

圖3 情況1仿真圖Fig.3 Simulation results in Condition one

在存在初始狀態偏差，系統參數偏差以及執行機構偏差的情況下，制導終端狀態偏差都趨于零，可以看出PEG具有較好的魯棒性.然而這種分析其實暗含了一個前提，就是系統的這些初始參數偏差，狀態偏差都必須是已知的，也就是“可觀的”.換句話說，制導計算機中存儲的初始狀態以及系統參數必須和實際上升器初始時刻的狀態和參數一致.在實際應用中，上述兩部分對應的參數通常不能保證一致，所以需要在線估計實際上升器的參數，并把辨識得到的參數傳給制導計算機來產生制導指令，這樣就可以保證制導計算機中的上升器參數和實際上升器的參數保持一致.

圖4 情況2仿真圖Fig.4 Simulation results in condition 2

4 結 論

本文提出了一種解析的PEG線性化方法，應用于月球上升器主動段誤差分析.研究了主動段在存在初始狀態偏差和系統參數偏差以及執行機構偏差的情況下，終端時刻的高度偏差、速度大小偏差、以及飛行路徑角偏差.最后通過和蒙特卡洛的仿真對比，驗證了本文提出的PEG線性化方法的有效性，可以看出在系統參數“可觀”的情況下，PEG具有較好的魯棒性.同時需要說明的是，本文提出的PEG線性化分析沒有考慮導航誤差以及姿態控制方面的影響，這也是后續研究中需要著重考慮的問題.

[1]KOS L D，POLSGROVE T T，SOSTARIC R R，et al.Altair descent and ascent reference trajectory design and initial dispersion analyes[R].20100035768，2010.

[2]SOSTARIC R R，MERRIAM R S.Lunar ascent and rendezvous trajectory design[R].20080009584，2008.

[3]BENNETT F V.Apollo experience reportmission planning for lunar module descent and ascent[R].19720018205，1972.

[4]ROSE M B，GELLER D.Linear covariance techniques for powered ascent[R].AIAA20108175，2010.

[5]MCHENRY R L， BRAND T J， LONG A D， et al， Space shuttle ascent guidance， navigation， and control[J].Journal of Astronautical Sciences， 1979，28(1):1-38.

[6]SPRINGMANN P，PROULX R，FILL T.Lunar descent using sequential engine shutdown[R].2006-6678，2006.

[7]GELLER D K，ROSE M B，WOFFINDEN D C.Event trigger in linear covariance analysis with application to orbital rendezvous[J].Journal of Guidance， Control，and Dynamics， 2009，32(1):102-111.

[8]GELLER D K，CHRISTENSEN D P.Linear covariance analysis for powered lunar descent and landing[J].Journal of Spacecraft and Rockets，2009，46(6):1231-1235.

[9]MOESSER T J.Guidance and navigation linear covariance analysis for lunar powered descent[D].Logan Utah State:Utah State University，2010.