形狀記憶合金對平板的剛度主動控制及優化布置研究

王明義，季宏麗，裘進浩，張 超

（南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016）

形狀記憶合金對平板的剛度主動控制及優化布置研究

王明義，季宏麗，裘進浩，張 超

（南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016）

研究了基于形狀記憶合金（Shape memory alloys，簡稱SMA）的平板結構剛度主動控制方法，提出了驅動器在平板上的布置形式。通過建立分析有限元模型并結合試驗驗證主動控制效果，結果表明利用形狀記憶合金產生的回復應力可以顯著地改變結構的剛度；通過調節形狀記憶合金的驅動溫度、含量和布置方式可以有效地控制結構剛度。在此基礎上進一步采用遺傳優化算法對驅動器布局方式進行優化，優化后的布置方案可實現利用較少的SMA驅動器提高剛度控制效果，為利用形狀記憶合金實現對結構的剛度控制提供參考和借鑒。

形狀記憶合金；剛度控制；回復應力；布局優化

伴隨著航空航天、微電子機械等新技術的發展，系統的動力學特性成為各種系統設計的重要問題。模態特性作為結構的固有屬性，關系著結構振動、噪聲等相關的動力學問題，通過某些方法調節結構的剛度特性來避開結構共振頻率是抑制共振的有效途徑。隨著智能材料的發展與應用，給實現對結構剛度控制帶來了新方向。其中，形狀記憶合金（Shape Memory Alloys，簡稱SMA）是一種特殊的合金材料，其主要的特性是形狀記憶效應、超彈性效應和高阻尼效應［1－2］。由于在溫度作用下，SMA材料可以發生相變和逆相變，兩種晶相表現出不同的物理性質，將其融入到結構材料中或與結構構件相結合形成智能結構可以實現控制材料的形狀、振動、屈曲等機械性能的目的［3－4］。

國內外對基于SMA的應用做了很多研究。Rogers等［5］最早提出把SMA纖維埋入復合材料結構中形成形狀記憶合金纖維增強復合材料，可以通過對SMA的驅動實現對結構修改和控制。徐曉明等［6］利用瑞利－里茲方法計算和分析了SMA纖維復合材料變截面板簧在升溫和降溫過程中固有頻率的變化規律，以及纖維鋪層角度、含量和布置位置的影響。針對SMA的數值分析，Tawfik等［7］利用層合板理論建立SMA纖維復合材料模型，根據Hamilton原理和有限元法建立動力學控制方程。劉芹等［8］基于Liang-Rogers模型編寫了ABAQUS中的相應UMAT用戶材料子程序，模擬了形狀記憶合金材料的超彈性行為和形狀記憶效應。

以上結果主要從理論上對布置有SMA的復合材料結構進行計算和分析，但由于采用SMA纖維編織及制造復合材料技術尚未成熟［9］很難在實際工程中應用。本文提出了在平板結構上布置SMA絲驅動器的型式，實現了基于SMA絲驅動器對常規結構的剛度控制，同時進一步與優化算法結合對驅動器的布置位置進行設計，獲得基于SMA的剛度主動控制策略。仿真過程中采用SMA一維Brinson本構模型引入“負熱膨脹系數”模擬形狀記憶效應建立有限元模型；通過對不同預應變的SMA回復應力進行測試，利用錘擊模態試驗獲得SMA絲對平板的前3階固有頻率的改變率，研究了回復應力的大小與控制效果的關系，獲得SMA的含量、驅動溫度對結構控制的影響；最后利用遺傳優化算法實現較高控制效果的驅動元件布置策略。這些結論對SMA智能結構設計和工程應用有一定參考價值。

1 基本理論和建模方法

1.1 SMA剛度控制原理

形狀記憶合金對結構進行剛度控制主要利用其兩個特性［10］：形狀記憶效應和彈性模量隨溫度變化效應。形狀記憶效應指的是把其拉伸至塑性變形，加熱到其相變溫度以上能恢復到原來形狀。如果把其埋入結構中，由于兩端被約束住，無法回到其原先的長度，將會產生很大的回復應力，利用這種回復應力作為驅動力可以實現對結構的控制，改變結構的內力分布和剛度特性。同時SMA本身的彈性模量在相變過程中也會發生很大變化，奧氏體狀態下的彈性模量可達馬氏體狀態下的2倍～3倍。這兩種SMA的特性形成了兩種控制方式，稱為主動應變能調整－Active Strain Energy Tuning（ASET）和主動性能調整－Active Property Tuning （APT）。

主動性能調整主要利用SMA的彈性模量變化特性，在實際控制結構中當SMA含量較少時控制效率不高，本文采用主動應變能調整來實現對結構的控制。SMA絲在驅動中產生回復力導致其處于受拉狀態，力學模型可以看作兩端固定的張緊弦，弦振動的i階固有頻率為：

從式（1）中可以看出，通過溫度驅動SMA絲產生回復力F可以有效地提高絲的固有頻率，當把SMA絲經過預拉伸后埋入結構中形成智能結構，未加熱驅動時，整體結構自由振動有限元模態分析如下：

式中：［K］和［M］為結構的總體剛度矩陣和質量矩陣，ω為結構的固有頻率。從可以看出，當質量不發生變化時，結構的模態頻率只與其剛度有關。

當加熱激活SMA絲時，SMA在結構中產生的回復應力直接影響平板的剛度，這種現象稱為應力剛化。此時總體剛度矩陣可以表示為［K］＝［KL］＋［KSMA］，［KL］為結構本身的剛度矩陣，［KSMA］為由SMA產生的回復應力作用引起的應力剛度矩陣，通過改變SMA產生的回復應力可以實現剛度控制來改變結構的固有頻率，所以對回復應力與模態頻率之間關系的研究是實現對結構剛度控制的關鍵。

1.2 SMA的一維本構模型

Brinson［11］通過熱力學原理建立了SMA的一維本構方程：

式中，E、Ω、Θ分別為SMA的彈性模量、相變系數、熱彈性模量；σ、ε、ξ和T表示應力、應變、馬氏體含量和溫度，下標0表示初始值。ξs為應力誘發的單晶馬氏體，ξt為溫度誘發的孿晶馬氏體含量，有ξ＝ξs＋ξt。其中SMA的彈性模量和相變系數與馬氏體含量有關，E和Ω可定義為：

式中，EA為100%奧氏體時的彈性模量，EM為100%馬氏體時的彈性模量，εL為SMA最大可回復應變。

材料的應力不僅與應變有關，還與溫度、馬氏體含量有關。馬氏體含量ξ決定SMA的相變過程，可以利用余弦馬氏體相變動力學模型模擬馬氏體含量與溫度、應力之間的關系。

當溫度大于奧氏體相變開始溫度，相變由馬氏體向奧氏體轉變，

當溫度小于馬氏體相變開始溫度，相變由奧氏體向馬氏體轉變

式中，AS和AF分別為SMA的奧氏體相變開始和結束溫度；MS和MF分別為SMA的馬氏體相變開始和結束溫度；CA和CM分別為奧氏體和馬氏體相變的應力與溫度等效傳熱系數。由于應力作用會導致相變溫度發生偏移，偏移后的溫度記為和。當溫度等于奧氏體相變開始溫度，此時的馬氏體含量為1，表明相變尚未開始；當溫度大于奧氏體相變結束溫度，此時的馬氏體含量為0，表明相變結束。為確定和，可由式（4）導出：

1.3 有限元建模方法

采用溫度驅動SMA絲，其材料參數與溫度有關，利用在驅動過程中會產生的回復應力對結構進行控制，以往在有限元軟件中直接通過力或位移邊界條件定義，沒有建立其與溫度的耦合關系。SMA絲受熱收縮產生的回復應力與普通材料受熱膨脹產生的熱應力相反，在實際仿真中可以等效為一個“負熱膨脹系數”，由公式（8）給出了回復應力與等效熱膨脹系數的關系，采用這個定義可以簡化記憶合金絲本構在仿真中的運用難度，直接通過熱膨脹系數建立其回復應力與溫度之間的非線性關系，在仿真時可以通過施加溫度邊界條件，真實地反映其驅動特性。在有限元軟件中定義材料“負熱膨脹系數”αr進行等效，當沒有初始應力和初始應變時，

圖1是回復應力和等效熱膨脹系數的計算流程，利用Brinson本構模型計算不同預應變的SMA絲彈性模量和回復應力與溫度之間的關系。在建模中SMA絲采用梁單元和施加預應力進行仿真，可以模擬其弦振動問題，同時這也考慮了SMA絲在不同溫度下的彈性模量變化對振動的影響。SMA絲驅動器的單元選為Bar元，通過對建立材料的“負熱膨脹系數”可以模擬在升溫中的收縮過程，即形狀記憶效應。

圖1 回復應力和等效熱膨脹系數計算流程Fig．1 Recovery stress processing flow

在對結構建模時，考慮到SMA絲與鋁板之間的連接用螺栓連接，在有限元模型中采用剛性連接RBAR單元來模擬。SMA回復應力對結構剛度的影響轉化為預應力對模態的影響，使用有限元軟件Nastran進行預應力模態分析（Preload for Modal analysis）。

2 實驗平臺搭建

2.1 實驗模型結構

實驗模型主要由SMA絲和鋁板組成。SMA絲在使用前需要預拉伸到一定長度，并以一定形式固定在鋁板表面。實驗過程中通過溫度驅動SMA絲對結構進行控制。

本文采用直徑為0．5 mm的Ni－Ti形狀記憶合金絲作剛度控制的驅動器。SMA絲使用前需要經過預拉伸以滿足其作為驅動器的使用要求，圖2是SMA絲預拉伸和回復應力測試裝置，主要由步進電機、滾珠絲桿滑臺、步進電機控制器、拉力傳感器、溫度采集卡、恒流電源和上位機組成。通過上位機控制步進電機運轉帶動滑臺對SMA絲進行預拉伸來制備預應變的試件；通過恒流源進行電流加熱，溫度采集卡和拉力傳感器獲得回復應力與溫度之間的關系。

圖2 SMA絲預拉伸、回復應力測試裝置Fig．2 A device for SMA prestretching and recovery stress measurements

圖3 螺栓連接示意圖Fig．3 Schematic diagram of bolt-joint connector

形狀記憶合金絲在鋁板表面的布置形式主要考慮兩方面：①由于加熱驅動SMA絲時，能產生很大的回復應力，在與鋁板的接觸部位需要完全約束??；②由于加熱形式采用電流加熱，SMA絲不能與鋁板直接接觸。綜合這兩個因素，SMA絲通過螺栓連接在鋁板表面，具體實驗模型見圖3。

2.2 實驗平臺構建

實驗平臺主要由實驗模型四邊固支框架、實驗模型對象、信號調理儀、力錘、PXI數據采集機箱、溫度傳感器和恒流源組成，具體組成方式如圖4。采用恒流源對SMA絲施加電流進行加熱驅動，溫度傳感器讀取不同電流下驅動器的作動溫度，在不同溫度下對結構進行錘擊模態試驗獲取其各階固有頻率值。

圖4 模態試驗平臺Fig．4 The modal experiment platform

3 結果討論與分析

3.1 回復應力的測試

SMA的材料參數見下表，通過圖2的裝置對試樣進行拉伸并進行回復應力的測試。圖5給出了預應變為1%、1．8%、4%、5．2%、6%的試件回復應力與溫度的關系曲線，并與利用Brinson一維本構的計算值進行對比。

表1 SMA材料參數Tab.1 SMA material properties

圖5 SMA回復應力隨溫度變化曲線Fig．5 The variation of the recovery stress of SMAs with temperature

從圖中可以發現，SMA在受限回復過程中由于回復應力的作用，其相變溫度被延后，如6%預應變的SMA在完全相變時能產生520 MPa的回復應力，此時使其完全相變溫度需要80℃。這是由于應力會導致馬氏體相變，只有當克服應力與溫度達到平衡點才會發生相變。從圖中的各條曲線也可以看出，相變結束溫度與預應變有關，初始預應變越大，產生回復應力越大，使得完全相變溫度提高。試驗值與理論有一定差距，這是因為在試驗過程中采用熱電偶采集溫度，由于與SMA絲的接觸面積很小、溫度的傳導很快，產生了一定誤差。

3.2 剛度主動控制

在鋁板上布置預應變為6%的SMA絲對其進行剛度控制，圖6給出了布置4根SMA絲的鋁板有限元模型，每根SMA絲通過5個螺栓連接在鋁板上。SMA絲和鋁板分別采用梁元和殼元進行模擬，螺栓連接采用剛性單元RBAR建模，對模型施加溫度邊界條件模擬驅動前后鋁板固有頻率變化，溫度范圍分別取28℃（相變前）、40℃、50℃、60℃、70℃、80℃（相變后），100℃，對實驗模型通過改變施加在SMA絲上的電流調節溫度，并進行錘擊模態試驗獲得相應驅動溫度下的固有頻率。圖7給出了不同溫度下模態試驗和有限元結果的一階固有頻率。

圖6 有限元模型Fig．6 The finite element model

圖7 結構一階固有頻率隨溫度變化曲線Fig．7 The variation of first natural frequency with temperature

圖7中可以發現，有限元結果與實驗結果符合的較好，利用Brinson一維本構，在仿真過程中通過“負熱膨脹系數”引入SMA的形狀記憶效應是切實可行的。通過驅動SMA可以控制結構剛度主要因為受限狀態下的SMA產生回復應力改變了結構中的內力分布，發生應力剛化現象，結構在拉應力狀態下提高結構剛度。為了進一步比較剛度控制效果，定義模態頻率改變率η為：

式中，η為無量綱因子，反映了SMA絲驅動后產生應力剛化對模態頻率的影響程度；fact為SMA驅動后結構的固有頻率；fnon為未驅動SMA絲時結構的固有頻率。圖8是在不同溫度下對上述布置4根SMA絲鋁板一階模態頻率改變率的實驗值與有限元結果對比圖?？梢园l現，通過改變驅動溫度能實現對結構剛度的主動控制；當到達SMA相變結束溫度，此時回復應力最大，所達到的控制效果也越大。從圖8與圖5比較也可以發現，模態頻率改變率與回復應力變化有相同的趨勢關系，進一步驗證了產生的回復應力是實現SMA對結構剛度控制的主要因素。

3.3 SMA布置方式對結構剛度的影響

考慮到SMA含量和布置方式對結構剛度的影響，本文針對上述結構分別均勻布置2根、4根和6根SMA絲在鋁板上，每根SMA絲分別以5個螺栓連接在鋁板上，布置方式見圖9。表2給出了不同數量SMA絲對結構前三階固有頻率的控制效果。

圖9 SMA在板上的三種布置方式Fig．9 The three configurations of SMA on the plate

表2 布置方式對控制效果的影響Tab.2 The control results under different configurations

從表2中可以看出，相對更容易發生的低階固有振動，由于其所需破壞的能量較小，SMA對低階頻率具有更明顯的調節作用；同時，可以發現通過改變SMA絲的含量和布置形式對結構的各階頻率具有不同的調節效果。這是由于SMA絲的布置方式和布置位置對各階模態頻率有不同程度的影響作用。從表2的結果中可以看出，布置有2根SMA絲的結構對1、2階頻率的控制效果較好，對第三階基本沒有控制效果；而布置有4根SMA絲的結構對2、3階的控制效果較好，但對第1階反而沒布置有2根SMA絲的效果好；布置有6 根SMA絲的結構對前三階都有較好的控制效果。對比圖9和表2可以猜測，在各階振型的峰值點布置SMA絲可以使得相應階的固有頻率取得較好的控制效果。

3.4 基于遺傳算法的布置優化

前面的分析可以看出SMA對結構的剛度控制效果與其產生的回復應力、含量和布置位置有密切關系，而改變其在結構中布置位置往往最容易實現，本文以遺傳算法為優化工具，以驅動器的布置位置為設計變量，分別以板的前三階固有頻率偏移量最大為適應度函數，將驅動器的位置坐標采用格雷碼編碼，利用遺傳算法尋找全局最優布局，實現對板的最大剛度控制。遺傳算法是模擬自然選擇和生物進化過程的計算模型，通過模擬自然進化過程搜索最優解的方法。由于遺傳算法從問題解的串集開始搜索，而不是從單個解開始，所以不容易誤入局部最優解，特別適用于這種驅動器位置的隨機布置優化。

本文的鋁板結構上布置有4個SMA絲驅動器進行剛度控制，每個SMA絲兩端通過2個螺栓連接在平板上，利用遺傳算法對它們的坐標位置進行優化，以驅動前后最大頻率偏移量為適應度函數，應用遺傳算法進行驅動元件的布置位置進行優化時，優化參數選擇如下：種群規模取為10，交叉概率取為0．6，變異概率取為0．01。通過有限元軟件Nastran計算每次坐標更新后SMA驅動前后固有頻率的改變量。對于每個驅動器確定其位置需要4個設計變量，設計變量的搜索范圍為板的結構邊界，即：

圖10是針對前三階固有頻率最大偏移量的優化結果和相應的驅動器布置形式。不難看出，采用遺傳算法針對本文的SMA驅動器布置位置優化取得較好的結果，搜索很快趨于收斂。從獲得的最優布置形式可以發現，根據各階頻率控制的不同，驅動器的布置位置也有很大區別，當驅動器的一端都集中在模態振型峰值點附近，控制效果越明顯，這與前面的結論相一致。表3給出了前三階頻率偏移量優化后的詳細對比，由于SMA產生的驅動能量很大，經過優化后，采用少量SMA就能對結構進行有效控制，而對整體結構產生的重量影響很小。

圖10 優化結果和布局Fig．10 Optimization results and layouts

表3 控制效果對比Tab.3 Control effect contrast

4 結 論

基于Brinson一維本構模型，引入“負熱膨脹系數”模擬形狀記憶效應，建立布置有SMA絲的平板有限元模型，通過回復應力和模態試驗驗證了有限元分析的正確性。結合有限元元仿真和模態試驗研究了基于形狀記憶合金的剛度主動控制，利用遺傳算法對驅動器布置位置進行優化，得到形狀記憶合金對平板結構剛度控制的一般策略。主要結論如下：

（1）結構的固有頻率隨SMA的驅動溫度的變化而變化，可以通過調節SMA的驅動溫度來實現對結構的剛度控制。

（2）預應變越大的SMA所能產生的回復應力也越大?；貜蛻κ墙Y構剛度控制的主要因素，回復應力越大所能產生的控制效果也越大。

（3）SMA絲在鋁板上的布置位置對結構剛度控制有很大影響。通過改變布置位置可以改善對不同階模態頻率的控制效果，在各階振型峰值點布置SMA絲可以使得相應階的固有頻率取得最好的控制效果。

（4）采用遺傳算法可以解決針對SMA驅動器的布局優化問題，經過優化后可以實現較少的驅動器對結構較高的剛度控制效果。

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Plate stiffness active control with shape memory alloys and layout optimization

WANG Ming-yi，JI Hong-li，QIU Jin-hao，ZHANG Chao
（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

The stiffness active control of a plate structure with shape memory alloys（SMA）was investigated and the layout optimization of actuators on the plate was presented．A FE model was established to analyze，together with some tests to validated by experimental results．The results indicated that the recovery stress produced by SMA is the main factor to change the structural stiffness．Meanwhile，it is effective to control the structure stiffness by adjusting temperature，volume and arrangement of SMA．Furthermore，the layout of SMA actuators was optimized by using a genetic algorithm．The results showed that the optimized layout is more effective with less SMA actuators．The results provide a reference for structure stiffness control．

shape memory alloys（SMA）；stiffness control；recovery stress；layout optimization

TH135．2

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．006

國家自然科學基金資助項目（11372133，51375228）；航空基金（20131552025）；江南高校優秀學科建設工程項目；中國博士后基金（2014T70514）

2013－09－12 修改稿收到日期：2013－12－12

王明義男，碩士生，1989年8月生

季宏麗女，副教授，碩士生導師，1983年2月生