雙重非對稱轉子支承系統實體有限元動力分析

馬威猛，王建軍

（北京航空航天大學能源與動力工程學院，北京 100191）

雙重非對稱轉子支承系統實體有限元動力分析

馬威猛，王建軍

（北京航空航天大學能源與動力工程學院，北京 100191）

研究了同時考慮轉子和支承非對稱特征的轉子支承系統3D有限元建模和振動特性分析方法。首先用ANSYS得到轉子在旋轉坐標系下的整體質量、剛度和科氏力矩陣；其次利用動靜坐標變換關系得到旋轉坐標系下的時變支承剛度；最后利用節點編號與矩陣行號的對應關系在整體矩陣中施加約束和時變支承剛度，得到系統的時變系數運動微分方程?；诟ヂ鍎P理論和赫爾無窮行列式方法對方程求解得到系統的頻率特性和穩定性。利用文獻算例模型對該方法的有效性進行了驗證，并對實際工程轉子在考慮雙重非對稱特征時的振動特性進行了分析。

非對稱；轉子支承系統；3D有限元；時變系統；穩定性

轉子支承系統是旋轉機械的核心部件，其振動特性對旋轉機械的工作性能和可靠性具有重要的影響。轉子支承系統振動特性研究對旋轉機械的結構設計、維修保養、振動控制、故障診斷等方面工作都具有重要的意義。

根據轉子與支承的軸對稱特征，轉子支承系統可以分為：軸對稱（axisymmetric）、支承非對稱（anisotropic）、轉子非對稱（asymmetric）和雙重非對稱（anisotropic asymmetric）轉子支承系統，其中雙重非對稱系統又稱為一般（general）轉子支承系統［1］。人們對軸對稱轉子支承系統開展了充分的研究工作，基于3D實體有限元的分析模型可以精確描述復雜截面轉子的振動特性［2－4］。而在工程實際中，因加工、設計或故障破壞等原因，轉子或支承部件通常會包含一些非對稱特征，典型的如發電機轉子、裂紋轉子等。轉靜子上存在的非對稱特征使得轉子表現出獨特的振動特性，需要進行專門的研究，如參數振動特性是雙重非對稱轉子支承系統的主要特征［5］。

20世紀60年代以來，國外學者針對雙重非對稱轉子支承系統的振動特性開展了廣泛的定性［6－8］、定量研究［9－12］。在建模分析方法方面，Nandi［12－14］在不同的框架下提出并開展了基于3D實體有限元的非對稱轉子系統動力特性分析工作，Kim［15］仍在1D有限元的框架下考慮非對稱轉子支承系統的部件耦合問題。沈松等［16－19］在非對稱轉子系統的振動分析方面也做了出色的工作，但主要集中在非線性分析領域，對線性領域內雙重非對稱轉子支承系統的建模和振動特性分析方法沒有加以關注。

3D實體單元建模不需對轉靜子結構進行過多簡化，可以真實反映轉靜子的結構特征，并且能夠準確考慮轉靜子各部件之間的耦合效應，是轉子動力學建模方法的發展趨勢。目前，多數商用有限元分析軟件已支持基于3D實體單元建模的轉子動力學分析，但其分析功能僅能考慮軸對稱或單一非對稱轉子支承系統，而不能進行雙重非對稱轉子支承系統的振動特性計算。

本文利用商用有限元軟件ANSYS的前處理功能，得到轉子3D有限元模型的質量、剛度和科氏力矩陣，通過矩陣處理加入支承結構在旋轉坐標描述下的時變剛度，得到轉子支承系統的時變運動微分方程，然后基于時變系統分析的弗洛凱理論和無窮行列式方法將時變方程轉化為一定截斷階次的時不變線性方程組，求解得到系統的頻率特性和穩定性，實現雙重非對稱轉子支承系統的3D有限元振動特性分析功能。文中首先介紹相關的分析理論，包括坐標系的選擇，運動微分方程的建立以及基于弗洛凱理論的時變參數系統的求解方法；然后以兩個算例對文中雙重非對稱轉子振動特性分析方法的有效性和工程應用價值進行驗證和說明。

1 坐標系選擇

工程實際中，裂紋、鍵槽、非圓截面等非對稱轉子特征及各種形式的支承非對稱特征可以抽象為圖1所示的典型雙重非對稱轉子支承系統［20］。圖1中的非圓截面軸代表前述多種因素引起的轉子剛度非對稱特征，非圓截面盤代表轉子的非對稱轉動慣量特征，正交方向上不同的支承剛度和阻尼則表示支承系統的非對稱特征。

圖1 雙重非對稱轉子支承系統示意圖Fig．1 Simple analysis model of anisotropic asymmetric rotor bearing system

對雙重非對稱轉子支承系統而言，采用旋轉或者固定坐標系描述系統運動不像單一非對稱轉子支承系統那樣具有特殊的意義－選用合適的坐標系可以把時變微分方程轉化為時不變微分方程的求解問題。雙重非對稱轉子系統在固定或轉動坐標系下描述均不能得到具有固定系數的運動微分方程。雙重非對稱轉子支承系統在選取分析坐標系時，考慮到：①目前ANSYS等商用有限元分析軟件僅支持非對稱轉子在旋轉坐標系下的3D實體有限元分析；②若將靜子系統的支承剛度以參數形式給出，在旋轉坐標系下表達的時變剛度系數僅涉及支承點附近的幾個相關自由度，表達形式簡單。因此，一般選用隨轉子同速旋轉的旋轉坐標系對雙重非對稱轉子支承系統的運動進行描述。

2 旋轉坐標系下的運動微分方程

在旋轉坐標系下，采用3D實體單元對非對稱轉子進行建模能夠準確反映非對稱幾何特征或材料特征對轉子截面彎曲剛度或轉動慣量的影響。實體非對稱轉子在邊界節點附近由剛度單元支承，剛度單元在各個支承方向的剛度差異反映支承系統的非對稱特征。為方便描述，以下標nb標示轉子的支承節點。在固定坐標系下，這些支點的剛度可以表示為［13］

轉子支點在旋轉坐標系下的支承剛度可由式（1）經坐標變換得到

旋轉坐標系下，無阻尼轉子支承系統在外力作用下的運動微分方程可以寫為

式中［Kr］是轉子支承系統的剛度矩陣，由轉子自身剛度和支承剛度組成，［Mr］是轉子系統在旋轉坐標系下的質量矩陣，［Cr］被稱為科氏力矩陣，是反對稱矩陣，｛U｝是轉子系統在旋轉坐標系下的位移向量，｛f｝則是在旋轉坐標系下表示的外部載荷向量。

在ANSYS前處理模塊中完成轉子結構建模后，若不考慮支承的非對稱特征，利用ANSYS的轉子動力學分析模塊可以直接得到方程（3）中各矩陣的元素數值；而考慮支承非對稱時，剛度矩陣是時變的，需要進一步編程處理才能得到相應的矩陣。

考慮到支承剛度在旋轉坐標系下的時變特征，方程（3）可以改寫為

式中［Kr］nb是不考慮支承剛度時，轉子系統在旋轉坐標系下的剛度矩陣，可由ANSYS前處理模塊直接得到；［K0］b是支承剛度的非時變項，而［Kc］b和［Ks］b則是支承剛度時變項中的余弦和正弦分量，支承剛度各矩陣由式（2）經坐標變換得到。

考慮到三角函數與復數的變換關系，方程（4）可寫成復數形式，

3 時變參數系統的求解方法

時變參數系統的求解方法與一般時不變系統不同。弗洛凱理論和赫爾無窮行列式方法是分析時變參數系統常用的分析理論。

基于方程（5）的齊次方程，可對轉子支承系統的自由振動特性進行分析。根據弗洛凱理論，假設方程解的形式為

其中，Λ是系統的基礎特征頻率，Φ是與Λ相對應的類模態矩陣。之所以稱Φ為類模態，是因為其形式雖然與時不變系統的模態矩陣相似，但Φ具有時變的性質，其時變周期與運動微分方程中時變系統的周期一致。

其中，lj為Φ的第j階階次展開模態。

將式（6）和式（7）代入方程（5）的齊次方程中，并整理可以得到

方程（8）中，令指數項對應各階次系數等于零可以得到

式（9）在截斷階次j＝∞時，與原時變微分方程是等價的，但在實際的計算中，需要進行適當階次的截斷，得到原時變微分方程解的近似值。求解得到各展開階次的頻率及特征向量后，根據式（7）可得到原時變微分運動方程的近似特征值Λ和類模態Φ。

式（9）可寫成特征值求解問題的一般形式

上述特征值問題一般轉換到狀態空間進行求解。式（10）在狀態空間中可以寫為

在狀態空間中求解式（11）的特征值問題，可得到相應的特征頻率λ和特征向量Ψ，進而得到轉子支承系統的近似特征頻率Λ和特征向量Φ。

根據式（7）的階次展開形式，可知每階類模態Φp對應（2j＋1）個模態頻率，考慮到雙重非對稱轉子支承系統時變剛度的變化圓頻率是2Ω，類模態Φp對應的模態頻率中各階次頻率與基礎頻率的關系為

式中，ωj為第j階階次頻率，ω0為基礎頻率，等于j＝0時的階次頻率。

根據式（12）對計算得到的特征頻率按照基礎頻率分簇，并計算得到該基礎頻率簇對應的類模態。類模態各階次頻率的實部作為判斷該階類模態穩定性的依據。

4 算 例

這里用兩個算例對文中分析方法的有效性及工程實際應用進行說明。

算例一中的分析模型來源于一篇參考文獻［22］，文獻作者基于1D有限元方法對模型的振動特性進行了分析。通過將本文基于3D有限元方法得到的結果與參考文獻結果進行對比，對文中分析方法的有效性進行驗證。

算例二的分析模型是某型航空發動機的低壓轉子。該轉子由三級風扇、兩級渦輪及連接軸組成，由三個支點進行支撐，支點剛度包含機匣剛度和軸承剛度。分析模型中考慮了中間支點機匣支承剛度在水平和豎直方向上的差異以及轉子連接軸因裝配誤差引起的彎曲剛度差異?；谖闹械姆治龇椒?，對上述非對稱特征對轉子振動特性的影響進行分析。

4.1 算例一

根據參考文獻中提供的結構數據，建立的轉子分析模型如圖2所示。

圖2 非對稱轉子的有限元模型Fig．2 Finite element model of asymmetric rotor

實體單元模型在支承結構處存在多個節點，不便于施加支承剛度約束，通常的做法是將支承位置的整圈實體單元節點剛化到圓心節點上，對圓心節點施加相應的約束［23］，文中沿用這種“剛化”處理方法。

利用商用有限元軟件ANSYS的矩陣生成及組集功能，可以得到轉子結構模型的質量、剛度和科氏力矩陣以及反映節點編號與矩陣行號對應關系的mapping文件。利用這些矩陣及對應關系，在MATLAB中對支承節點所對應的矩陣位置添加時變支承剛度，形成整個系統的時變運動微分方程。需要注意的是，在ANSYS中生成矩陣時，需要施加除徑向支承剛度之外的其它約束條件，如軸向約束，轉速等。

4．1．1 剛性支承下的結構驗證

是基于1D框架給出的轉子模型描述數據，如盤的極轉動慣量、直徑轉動慣量等，而沒有轉子結構的3D幾何信息。因此需對本文模型的結構特征進行驗證。在轉子兩端支點處施加剛化約束，計算零轉速下該非對稱轉子的模態頻率，與文獻算例模型在相同邊界條件下的計算結果比較，可驗證轉子結構模型的正確性。本文模型與文獻模型的零轉速一階彎曲模態頻率列于表1中，兩者誤差較小，說明本文模型與文獻模型具有一致的結構特征。

表1 本文與文獻模型在零轉速下的一階彎曲頻率Tab.1 First bending frequencies of the model for zero speed

4．1．2 彈性支承下的計算結果

在模型結構一致的基礎上，考慮非對稱支承剛度對轉子振動特性的影響，分析該轉子在旋轉坐標系下的固有頻率隨轉速變化的情況。

圖3和圖4分別給出了解的傅里葉展開指數為p＝0和p＝1時，轉子在旋轉坐標系下的頻率轉速變化曲線。

圖3中，截斷階次p＝0，系統運動微分方程的等效線性方程組（9）僅包含A0項，不包含因支承剛度非對稱引起的時變系數Δ項，此時求解得到的結果是轉子在平均支承剛度下的基礎振動頻率w0。a0表示的是轉子的一階彎曲基礎頻率的正進動曲線。在轉速范圍820～950 r／min內，a0頻率等于零，相應的特征根實部大于零，與參考文獻中給出的轉速不穩定區范圍829～976 r／min一致。

圖4中，截斷階次p＝1，計算得到的特征頻率除包含基礎振動頻率w0外，還包含第一階階次振動頻率w－1和w＋1。理論上，階次頻率與基礎頻率的相互關系由式（12）給出。圖4中，a0，a＋1和a－1分別是實際計算得到的基礎振動頻率和＋1、－1階階次振動頻率隨轉速的變化曲線。從圖4中可以看出，a0曲線始終位于a＋1和a－1中間，并與它們的頻率相差2Ω，與式（12）中給出的關系完全一致，并且，階次頻率變化曲線a＋1和a－1隨著轉速的變化發生耦合，產生新的轉速不穩定區。上述結論與參考文獻一致，通過對簡單轉子振動特性的分析，文中分析方法的有效性得到驗證。

圖3 p＝0時旋轉坐標系下的頻率轉速圖Fig．3 Evolution of frequencies in the rotating coordinate system for p＝0

圖4 p＝1時旋轉坐標系下的頻率轉速圖Fig．4 Evolution of frequencies in the rotating coordinate system for p＝1

4.2 算例二

圖5所示為某型航空發動機低壓轉子的三維有限元模型。模型通過改變連接軸的部分單元材料參數模擬轉子在裝配過程中可能產生的在正交方向上的彎曲剛度差異，材料參數改變區域在圖5的局部放大圖中以紫色標示。

圖5 某型航空發動機轉子有限元模型Fig．5 Finite element rotor model of an aero-engine

該轉子采用1－1－1型支承方案，各支點位置如圖5中標號1、2、3所示，其中2號支點在水平和豎直方向上具有不同的支承剛度，各支點的支承剛度列于表2中。

表2 某型發動機低壓轉子各支點支承剛度Tab.2 Bearing stiffnesses of the low pressure rotor of the aero-engine

采用文中的雙重非對稱轉子支承系統振動特性分析方法，對該低壓轉子實體有限元模型在旋轉坐標系下進行模態特性分析，得到轉子模態頻率隨轉速的變化曲線。

圖6和圖7分別是考慮方程解的傅里葉展開階次p＝0和p＝1時的模態頻率隨轉速的變化曲線。

圖6中，截斷階次p＝0，得到非對稱轉子在對稱支承剛度下的頻率轉速變化曲線。當各階振型的正進動頻率（圖中a0，c0和e0）為0時，轉子進入不穩定區。需要說明的是，在轉速為0時，轉子僅在第四階振型上表現出明顯的頻率分離，前三階振型在該轉速下對轉子連接軸段的局部彎曲剛度變化不敏感。

圖6 p＝0時低壓轉子的頻率轉速變化曲線Fig．6 Evolution of nature frequencies of the low pressure rotor for p＝0

圖7 p＝1時低壓轉子的頻率轉速變化曲線Fig．7 Evolution of nature frequencies of the low pressure rotor for p＝1

圖7中，截斷階次p＝1，除得到轉子的基礎頻率外，還得到轉子振動類模態的一階階次頻率。從圖7中可以看出，考慮轉子的一階階次頻率后，轉子的頻率轉速變換曲線變得更加復雜。圖6中的每條基礎頻率w0，n曲線均擴展為w－1，n，w0，n，w＋1，n三條曲線，并且不是簡單的擴展，從圖7中可以看到，階次頻率與基礎頻率以及階次頻率之間出現多處的耦合和頻率轉向現象。階次頻率的耦合增加了轉子的不穩定區范圍。因此，與僅考慮單一非對稱的轉子不同，考慮轉子的雙重非對稱特征時，轉子的不穩定區區間增多，轉子的安全工作轉速范圍變小。

另外需要說明的是，由于頻率轉向與階次頻率耦合，各階頻率與振型的對應關系非常復雜，并且分析人員更加關注的是不穩定區的范圍，進行詳細的振型區分也沒有重要的意義，因此在圖7中用相同的符號標示各階頻率變化曲線。

5 結 論

本文提出了基于3D實體有限單元建模的雙重非對稱轉子支承系統的振動特性分析方法，詳細給出了系統時變運動微分方程的組集推導過程以及頻域特性的分析求解方法。文中以一個具有簡單結構的雙重非對稱轉子支承模型為例說明了方法的分析流程，對ANSYS模型分析矩陣的輸出和MATLAB中支承剛度及約束施加的方法進行了必要的說明。對某型航空發動機低壓轉子的振動特性分析進一步說明的文中所提方法的工程實用價值。

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Dynamic analysis method of an anisotropic and asymmetric rotor-bearing system based on 3D FEM

MA Wei-meng，WANG Jian-jun
（School of Energy and Power Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

Dynamic analysis method of an anisotropic and asymmetric rotor-bearing system based on 3D finite element method was presented．The system mass，stiffness and Coriolis force matrices expressed with respect to a rotating coordinate system were generated with ANSYS．Time-varying bearing stiffness matrix with respect to the rotating coordinates was then obtained with a coordinate transformation．The differential equations of motion of the system were generated by applying constraints and time-varying bearing stiffness to the system matrices using the corresponding relationships between node number and row index of the matrices．Floquet theory and Hill infinite determinant method were adopted to solve the differential equations，frequency characteristics and stability of the system were obtained．The proposed method was validated based on a model in literature，and the proposed method was applied to analyze the dynamic behavior of an industrial rotor considering anisotropic and asymmetric characters．

asymmetric；rotor-bearing system；3D finite element；time-varying system；stability

V 231．96

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．002

2013－07－16 修改稿收到日期：2014－01－02

馬威猛男，博士生，1987年1月生

王建軍男，教授，博士生導師，1956年生