車輛傳動系統非線性平移扭轉耦合振動響應靈敏度研究

黃 毅，劉 輝，2，項昌樂，2，楊志剛

（1．北京理工大學機械與車輛學院，北京 100081；2．特種車輛研究所，北京 100081）

車輛傳動系統非線性平移扭轉耦合振動響應靈敏度研究

黃 毅1，劉 輝1，2，項昌樂1，2，楊志剛1

（1．北京理工大學機械與車輛學院，北京 100081；2．特種車輛研究所，北京 100081）

隨著對齒輪傳動系統動態品質要求的提高，僅固有特性及其靈敏度的分析已經無法滿足車輛傳動系統動態特性分析的要求，對強迫振動下響應特性的靈敏度研究可為減振設計提供進一步的指導。研究非線性動力學響應對軸段扭轉剛度、質量點慣量以及輪齒嚙合誤差的靈敏度。將某車輛傳動系統樣機作為研究對象，以發動機激勵作為輸入，建立平移扭轉耦合集中參數動力學模型。模型中考慮時變嚙合剛度、齒側間隙、輪齒制造、安裝誤差以及質量偏心等非線性因素，通過直接求導法建立靈敏度方程，利用數值求解的方法獲得動力學響應對設計參數的相對靈敏度并進一步將其轉化成工程中有實際意義的物理量的靈敏度結果，為齒輪傳動系統基于動態響應的參數修改、模型修正和參數優化等方面提供理論依據。

車輛傳動系統；集中參數法；平移扭轉耦合；非線性；響應靈敏度

機械結構的振動問題主要包括固有頻率問題、振型問題和動力響應振幅問題。相應的動力學特性對設計參數的靈敏度分析也在以上幾個情況下進行。

在齒輪系統固有特性靈敏度分析中，Chen等［1］采用線性模型在純扭轉振動模式和平移扭轉耦合振動模式下研究定軸齒輪固有頻率對嚙合剛度的靈敏度。Botman等［2－3］以單級行星排作為研究對象，用數值方法分析了固有頻率對行星和齒圈支承剛度的靈敏度；Lin等［4－5］則對單級行星排采用兩自由度模型用解析法研究其固有特性對設計參數的靈敏度。Guo等［6］以復合行星排為對象，將固有特性靈敏度的分析提升到系統級別，對調諧和失諧系統中固有特性對設計參數的靈敏度進行研究。

而齒輪系統動力學響應靈敏度的分析分別在線性和非線性的理論基礎上展開。以線性理論為基礎的響應靈敏度分析中，張義民等［7］針對直接法和攝動法進行靈敏度分析產生長期項的問題，通過對靈敏度方程的解耦并結合傅里葉級數有效消除了長期項，給出了消除長期項判斷法則。在車輛傳動系統中，劉輝等［8］建立線性純扭轉集中質量模型，用直接求導法推導了齒輪傳動系統扭振角位移和軸段附加扭振應力對軸系剛度的靈敏度計算公式。黃毅等［9］在進行線性系統響應靈敏度分析時考慮平移與扭轉方向坐標的耦合，并將靈敏度同振動能量聯系起來。指出了靈敏度分析在平移耦合系統和純扭轉系統中的不同。

除了線性建模之外，齒輪系統中還包含作為參數激勵的時變嚙合剛度、輪齒在制造和安裝過程中的位置偏離理想位置造成的周期性的位移激勵、齒側由于間隙的存在其嚙合線變形量和嚙合力為分段線性關系所表現出來的強非線性以及齒輪系統中各部件旋轉中心和質量中心不重合造成的質量偏心等非線性因素。而目前對車輛傳動系統響應靈敏度分析中，大多并未考慮上述各種非線性因素的影響。Zhao等［10］在蝸桿蝸輪嚙合的研究中加入了中心距誤差、軸角誤差以及蝸桿蝸輪軸向位置誤差的影響，用數值方法獲得蝸桿蝸輪嚙合力對以上因素的靈敏度。Athervale等［11］研究了系統振動對制造和裝配過程中的誤差的靈敏度。Petrov［12］在研究汽輪機葉片動力學特性時考慮了不同間隙的影響，推導了響應頻率和共振情況下的響應級對間隙的靈敏度。但以上并未對系統動力學響應對各種非線性因素進行詳細的靈敏度分析。故對車輛傳動系統進行包含多種非線性因素的響應靈敏度分析變得非常必要。

本文以某車輛傳動系統樣機作為研究對象，采用發動機激勵輸入，建立了平移扭轉耦合集中參數動力學模型。模型中考慮嚙合剛度的時變性、齒側間隙、輪齒在制造和安裝等過程中的誤差以及質量偏心等非線性因素的影響，通過理論推導和數值求解獲得了動態響應對設計參數的靈敏度，并進一步推導出有實際工程意義的物理量對扭轉剛度、慣量以及輪齒誤差的相對靈敏度結果，為動力學修改和動態優化等提供理論基礎。

1 響應靈敏度方程的建立

前面提到文獻［9］中建立線性平移扭轉耦合系統基于響應的靈敏度方程組。本文在此基礎上引入時變嚙合剛度、各點的質量偏心、輪齒嚙合的綜合傳動誤差和齒側間隙等非線性因素采用文獻［9］中的方法建立非線性系統基于響應的靈敏度方程組（1）。

式（1）中x，y平動位移坐標，θ為扭轉位移坐標；j為質量點編號；c表示設計參數；Fa／Ta表示慣性力／力矩；Fb表示同一軸上各質量點之間的相互作用力；Fe／Te表示質量偏心力／力矩；Tt表示兩質量點之間的扭轉力矩；Fn／Tn表示非軸上接觸力／力矩；?Fb／?c和?Tt／?c的表達式見文獻［9］，其它各量表達式如下面式（2）～式（6）所示。

式（2）中Fe／Te如式（2）以及Ta如式（3）中考慮了質量偏心的影響，m為質量，e為質量偏心距，ψ為質量偏心角，ω表示轉速。

不同部件承受的非軸上接觸力／力矩Fn和Tn對設計參數c的靈敏度?Fn／?c和?Tn／?c具有不同表達式，接下來以質量點j為對象分別進行說明。

（1）離合器

離合器有接合和斷開兩種狀態，斷開時對設計參數c的靈敏度表達式為式（4）上式，結合時為下式。其中i（i≠j）表示與離合器接合的質量點編號。

（2）軸承

軸承支反力／力矩Fn／Tn對設計參數c的靈敏度表達式如式（5）。

（3）齒輪

齒輪承受非軸上接觸力為輪齒的嚙合力，第k對齒輪嚙合主被動齒輪之間的嚙合線方向的時變嚙合剛度kmk（t）隨時間變化取矩形波，時變阻尼cmk（t）與嚙合剛度相關按公式（7）進行計算，考慮到傳動誤差ek（t）以及齒側間隙f（Δk）的作用。其嚙合力對設計參數a的靈敏度表達式如式（6）。

式中αk為主被動輪的位置角，βk為壓力角，R為基圓半徑，mp和mg為主被動齒輪的等效質量，ξ為齒輪嚙合的阻尼比。

采用多項式擬合的方式對分段間隙函數f（Δk）以及f（）進行擬合，擬合式以及由其推導的靈敏度公式如式（8）和式（9）。其中h＝1，3，5，…，n，由于h隨著次數的增大精度提高有限并耗費機時，當h＝3時就能對分段曲線做很好的近似，擬合曲線的系數取值為：α1＝1．945×10－2，α3＝1．222×107。間隙函數采用分段線性函數時的曲線和多項式擬合時的曲線如圖1。

式（9）中嚙合線變化量及其對時間導數Δk和對設計參數c的靈敏度表達式如式（10）。

圖1 間隙分段函數曲線與擬合曲線Fig．1 The comparison between piecewise curve and fitting curve of backlash function of spur gear pair

k對時間導數，表達式如式（11）；ekpE和ekpA分別為第k對嚙合齒輪副主動輪的制造和安裝誤差幅值，ωkp為其轉頻；ekgE和ekgA分別為第k對嚙合齒輪副被動輪的制造和安裝誤差幅值，ωkg為其轉頻；ekpg為第k對嚙合齒輪副主被動齒輪誤差干涉的的幅值，ωk為其嚙合頻率。

在進行靈敏度分析時，通常選取便于修改的變量進行計算。本文以系統中質量點j的動力學響應為對象研究其對質量點l的參數的靈敏度。質量點l的參數選取單對齒輪副動力學分析中的支承剛度kl、慣量Jl和傳動誤差el以及系統級別中的扭轉剛度ktl－1，l進行響應靈敏度分析。

（1）動力學響應對軸段扭轉剛度靈敏度

此種情況的討論見文獻［9］。

（2）動力學響應對各點轉動慣量靈敏度

當c＝Jl（l≠j）時靈敏度表達式如式（2）～式（10）所示；當c＝Jl（l＝j）時，以上其它式不變，式（3）變為式（2）。

（3）動力學響應對傳動誤差幅值靈敏度

計算動力學響應對傳動誤差幅值的靈敏度時表達式如式（2）～式（10）所示。c＝elpE當l≠j的情況如式（13）上式所示；當l＝j的情況如下式所示。

對于計算出的靈敏度結果，利用式（14）可以計算出相對靈敏度。其中φ和為質量點j在i（i＝x，y或ij

θ）方向上動力學響應動力學響應。

其數值仿真流程圖如圖2所示，其中動力學方程和靈敏度方程均采用定步長的四階龍格庫塔進行計算。

圖2 靈敏度結果計算流程圖Fig．2 The procedure flow chart of calculating sensitivity

2 系統參數

利用上述方法對某車輛傳動系統樣機模型進行響應靈敏度分析。該樣機能實現8個前進擋位和4個倒擋，CH、BL、BR、C1、C2、C3、C4為換擋離合器，本文進行計算的工況為離合器BL和C4接合，其它離合器分離。另外系統還包括一個輸入慣量盤、兩個輸出慣量盤、11個軸承、7個離合器、4對定軸齒輪副和兩個簡單行星排共計42個質量點，每個質量點包括x，y和θ三個方向自由度共計126自由度。其動力學模型圖如圖3所示，圖4為行星部分的運動簡圖。

圖3 某樣機平移－扭轉耦合動力學模型Fig．3 Dynamic model of lateral－torsional coupling system

圖4 行星部分運動簡圖Fig．4 Kinematic sketch of planetary gear

圖3所示的傳動系統采用發動機從質量點1處輸入，輸入轉矩如圖5所示。在質量點32和42之間加入等值負載，其和等于輸入轉矩乘以該工況傳動比。將分別計算8種轉速下的計算結果，輸入轉速從2800 r／min－4 200 r／min每200 r／min計算一組值。其中各軸段扭轉剛度和各質量點的慣量如表1和表2所示。

圖5 發動機輸入轉矩Fig．5 The input torque of engine

表1 軸段扭轉剛度列表Tab.1 Torsional shaft stiffness of the example system shown in Fig.2

表2 慣量列表Tab.2 Moment of inertia of the example system shown in Fig.2

3 數值仿真結果與分析

由于系統中各參數值大小各異，對不同大小的參數研究相同大小的數值攝動情況下靈敏度并無太大實際意義。在工程中往往更關心響應變化量占響應的百分比隨參數攝動百分比的變化情況，這就是相對靈敏度。接下來將采用式（14）定義的相對靈敏度公式進行響應靈敏度分析。

3.1 軸段附加扭轉力矩對各軸段扭轉剛度相對靈敏度

扭轉振動系統中振動能量在動能和彈性勢能之間轉化。各軸段的扭轉剛度為彈性儲能元件，研究動力學響應對其靈敏度有著重要的意義。圖6給出了從2 800 r／min到4 200 r／min共8種輸入轉速下系統中四段軸的附加扭轉力矩對各扭轉剛度的相對靈敏度結果。其中附加扭轉力矩的定義詳見文獻［9］。

圖6 各轉速下軸段附加扭轉力矩對各扭轉剛度相對靈敏度Fig．6 The relative sensitivity of additional torque of shaft segments with respect to shaft torsional stiffness in different speed

從圖6中可以看出軸段對各參數相對靈敏度結果隨轉速的變化而發生變化，并不是一個定值。對（b）圖中軸段21－22和（c）圖中軸段25－26而言，不同轉速下的各相對靈敏度數值在一定范圍內變化，并沒有數量級差異的情況出現。而對于（a）圖中軸段1－2和（d）圖中的軸段32－33，都出現對自身以及鄰近扭轉剛度的相對靈敏度數值明顯區別于其它值的情況。而軸段1－2和32－33分別為系統輸入輸出端，41－42同為雙輸出端之一但卻沒有出現對自身扭轉剛度的相對靈敏度較大的情況。從表1中可以看出軸段1－2 和32－33對應的扭轉剛度kt1－2和kt32－33數值較小而kt41－42數值較大，這說明在輸入輸出端附近較小的扭轉剛度是造成本身附加扭轉力矩對其相對靈敏度較大的原因。結合靠近該兩軸段的其它軸段的相對靈敏度結果發現kt1－2和kt32－33對鄰近幾個軸段附加扭轉力矩的影響都較大，特別是在三軸上各軸段的附加扭轉力矩對kt32－33和kt33－35的相對靈敏度都較大。

圖7 各轉速下軸段附加扭轉力矩對各點慣量相對靈敏度Fig．7 The relative sensitivity of additional torque of shaft segments with respect to inertia of mass points in different speed

而不同軸段的相對靈敏度數值進行比較時，從圖6各圖可以看出軸段21－22的相對靈敏度數值比其它軸段大。雖然其它參數的變化造成軸段21－22附加扭轉力矩以及振動能量變化數值較小，但由于該軸段不在動力的傳動路線上其本身振動能量較小，變化部分占原值百分比較大，于是造成了該軸段附加扭轉力矩對各扭轉剛度相對靈敏度較大。

結合上面的分析可以知道，非線性系統中響應靈敏度數值隨著轉速的變化而變化。由于系統是一個整體，系統中任何一個扭轉剛度發生變化時各軸段的附加扭轉力矩也隨之發生變化，在部分軸段中對各扭轉剛度的相對靈敏度在一個數量級上并沒有出現比其它相對靈敏度大很多的靈敏度。輸入輸出端附近有較小扭轉剛度時容易出現該軸段及附近軸段附加扭轉力矩對其有較大相對靈敏度；而較小扭轉剛度出現在系統中部時卻不一定出現其所在軸段以及鄰近軸段附加扭轉力矩對其較大相對靈敏度數值的出現。不在動力傳動路線上的軸段由于本身振動能量以及幅值較小，造成其附加扭轉力矩對其他扭轉剛度的相對靈敏度數值較大。

3.2 軸段附加扭轉力矩對各點慣量相對靈敏度

與扭轉剛度作為彈性儲能元件不同，扭轉振動系統中各質量點轉動慣量是振動能量的直接體現，動力響應進行靈敏度分析時對各點轉動慣量的靈敏度分析也是有實際意義的。圖7中給出了各轉速下系統中四段軸的附加扭轉力矩對各質量點慣量的相對靈敏度結果。

從圖7中可以看出軸段對各點慣量的相對靈敏度結果隨轉速的變化而發生變化，并不是一個定值。對（a）圖中軸段1－2、（b）圖中軸段21－22和（c）圖中軸段25－26而言，不同轉速下的各相對靈敏度數值在一定范圍內變化，并沒有數量級差異的情況出現。而（b）圖中軸段21－22的附加扭轉力矩對質量點22慣量的相對靈敏度在各轉速下都為正值，相同的情況也發生在軸段29－31的附加扭轉力矩對質量點31的相對靈敏度中。從圖3可以看出質量點22和31分別為一軸左側軸承和二軸右側軸承且都不在動力的傳動路線上，這說明為減小不在傳遞路線上的軸段振動能量和幅值應減小該軸段以及相關部件（如本文中質量點22 和31為軸承）的轉動慣量。對（d）圖中軸段32－33的結果分析發現其附加扭轉力矩對大部分質量點慣量的相對靈敏度都在一個數量級上，但對J32、J29和J35的相對靈敏度較大。根據表2中各點慣量和表1中各扭轉剛度的數據發現這幾個點為慣量較大的質量點且kt32－33和kt33－35較小，故可以認為軸段附加扭轉力矩對質量點慣量相對靈敏度較大是由較大的質量點和較小的扭轉剛度共同作用形成。J32、J29和J35這幾個慣量除了對軸段32－33和33－35的附加扭轉力矩影響較大之外，對三軸上各軸段的附加扭轉力矩影響也叫其它慣量大。相同的情況也發生在二軸上，由于kt25－26較小且J26較大，在動力傳遞路線上各軸段附加扭轉力矩對J26相對靈敏度大于對其它慣量。

而不同軸段的相對靈敏度數值進行比較時，情況和上一節對扭轉剛度的相對靈敏度分析類似，不在傳遞路線上的軸段21－22的附加扭轉力矩對各點慣量的相對靈敏度數值大于在傳遞路線上軸段對相同慣量的相對靈敏度。

根據上面的分析知道大部分軸段附加扭轉力矩對各點慣量的相對靈敏度在一個數量級上并隨轉速變化而變化，并且由于系統是一個整體，各部分之間互相影響造成同一軸段附加扭轉力矩對不同慣量的相對靈敏度有正有負，并且即使同一相對靈敏度在不同轉速下出現正值和負值都有可能。一個例外的情況出現于不在動力傳遞路線上軸段的附加扭轉力矩對同樣不在傳遞路線上的慣量的靈敏度始終是正值，這說明為減小該軸段的振動能量和幅值應減小相關的不在傳遞路線上部件的慣量。較大的相對靈敏度出現在附近扭轉剛度較小且本身數值較大的慣量上，這種慣量對鄰近且在動力傳遞路線上各軸段的附加扭轉力矩影響都較大。

3.3 軸段附加扭轉力矩對各齒輪副傳動誤差相對靈敏度

除了前面討論的扭轉剛度和慣量，研究動力學響應對輪齒嚙合本身相關參數的相對靈敏度對系統減振的修改和優化有著更為直接的意義。圖8中給出了各轉速下四段軸的附加扭轉力矩對系統中各齒輪副傳動誤差幅值的相對靈敏度。

通過對圖3所示系統中各軸段附加扭轉力矩對傳動誤差幅值的相對靈敏度圖比較可以發現相對靈敏度圖可以有五種形狀結構。輸入端所在軸段1－2、2－3 和3－4相對靈敏度圖結構形狀相同，如圖8中（a）圖所示；左輸出端附近的軸段32－33和33－35的相對靈敏度圖有相同結構形狀，如（d）圖所示；而右輸出端附近軸段40－41和41－42由于扭轉剛度比左輸出端軸段大，其相對靈敏度圖的結構與（d）圖并不相同；還有就是不在動力傳遞路線上的軸段21－22、23－24和29 －31由于本身振動能量較小，具有較大的相對靈敏度數值且各點分布比較均勻，這說明各齒輪副誤差對不在傳遞路線上軸段附加扭轉力矩的影響比較接近；剩下的就是在傳遞路線上且不在系統輸入輸出端的軸段4－s1、s1－s2、c2－20、20－21、24－25、25－26、26－27、27－29、35－37、37－38、38－39和39－40，這12段軸的相對靈敏度圖有相同結構形狀，如（c）圖所示。

圖8 各轉速下軸段附加扭轉力矩對傳動誤差幅值相對靈敏度Fig．8 The relative sensitivity of additional torque of shaft segments with respect to transmission error in different speed

對圖8中各圖進一步分析可以發現軸段附加扭轉力矩對傳力齒輪副誤差的靈敏度不一定大于空轉齒輪，在部分軸段上甚至小于對空轉齒輪傳動誤差的相對靈敏度。而且隨著轉速的變化靈敏度數值有正有負，因此并不能簡單的通過增加或減小齒輪精度的方法來達到減小軸段附加扭轉力矩的目的。

3.4 軸承支反力對各齒輪副傳動誤差相對靈敏度

除了扭轉方向上的附加扭轉力矩，彎曲方向上的力對于齒輪箱的減振設計同樣重要。其中，軸承支反力的大小直接決定了軸承座和箱體振動的動態特性。圖9給出了各轉速下系統中4處軸承支反力對各齒輪傳遞誤差的相對靈敏度結果。

對系統中各軸承支反力對傳動誤差幅值的相對靈敏度圖比較可以發現相對靈敏度圖可以有五種形狀結構。軸承1和軸承2的相對靈敏度結果圖雖然數值不同但有類似的結構形狀見圖9（a）圖所示，軸承2由于所受支反力較小，因此有較大的相對靈敏度數值，原因可以參見3．1節中對軸段21－22相對靈敏度的分析；軸承3、軸承4、軸承5、軸承7、軸承10和軸承11相對靈敏度結果圖有類似的形狀結構如（b）圖所示，從圖3中可以發現這6組軸承位于系統中定軸部分傳力齒輪的兩側承受著較大的支反力；軸承8（（d）圖）和軸承9位于三軸左側輸出端，它們相對靈敏度圖的結構并不相同但有著較大的相對靈敏度，這說明三軸上大部分軸承支反力都由右側的軸承10和11來承擔；另外一個承擔較大支反力的軸承是軸承6，其位于整個系統的中部，雖然承受較大的支反力但和其它6個位于傳力齒輪兩側的軸承的結果圖并不相同。

圖9 各轉速下軸承支反力對傳動誤差幅值相對靈敏度Fig．9 The relative sensitivity of support force of bearing with respect to transmission error in different speed

從上面的分析可以看出，軸承支反力對各傳動誤差的相對靈敏度圖形結構同軸承在系統中的位置以及所受支反力的大小有關；另外根據相對靈敏度數值的大小也可以得出該軸承受力的大小情況，通常受力大的軸承相對靈敏度較小，受力小的軸承則反之；非線性系統中是否傳力齒輪的傳動誤差對軸承支反力的影響并沒有簡單單一的規律，不能簡單的給出定性的結論。

4 結 論

本文研究了包含時變嚙合剛度、齒側間隙、質量偏心和輪齒嚙合誤差等非線性因素的齒輪系統的響應對設計參數的靈敏度，并將其轉化為工程中有實際意義物理量對設計參數的相對靈敏度結果，結論如下：

（1）非線性系統中響應對設計參數的靈敏度結果與轉速相關、所處位置以及響應本身相關，相同類型的力矩／力有著類似的相對靈敏度圖形結構，較大的響應對應著較大的響應靈敏度；

（2）不在動力傳遞路線上軸段的附加扭轉力矩對同樣不在傳遞路線上的慣量的靈敏度始終是正值，這表明為減小該軸段的振動能量和幅值應盡可能減小與其相鄰且不在傳遞路線上的慣量；

（3）較大的慣量以及鄰近軸段較小的扭轉剛度是造成軸段附加扭轉力矩對慣量相對靈敏度數值較大的原因。

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Response sensitivity of nonlinear translation-torsional vibration coupled model of a vehicle transmission system

HUANG Yi1，LIU Hui1，2，XIANG Chang-le1，2，YANG Zhi-gang1
（1．Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China；2．Vehicle Research Center，Beijing 100081，China）

With increase in requirements of dynamic quality of a transmission system，only the eigensensitivities analysis can not meet the requirements of dynamic characteristics of a vehicle transmission system．It's needed to do response sensitivity study to find a guideline to reduce vibration of a vehicle transmission system in designing stage．Here，the sensitivities of dynamic response with respect to design parameters such as，shaft torsional stiffness，moment of inertia，and transmission errors of gear pairs，et al．were investigated．The translation-torsional coupled dynamic model of a vehicle transmission system taking engine excitation as an input source was built up with the lumped parameter method．The sensitivity equations were derived from dynamic equations containing nonlinear terms，such as，time-varying mesh stiffness，backlash of gear pairs，mass eccentricity，transmission error et al．The relative sensitivities of dynamic response with respect to design parameters then turned into relative sensitivities of force／torque with respect to design parameters were acquired with the numerical simulation method．The results of the relative response sensitivities provided a theoretical basis for parameter modification，model updating and parameter optimization of vehicle transmission systems based on their dynamic responses．

vehicle transmission system；lumped parameter method；translation-torsional vibration coupled；nonlinear；response sensitivity

U461．1

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．017

國家自然科學基金（51375047）；教育部新世紀人才支持計劃（NCET－12－0043）

2014－01－28 修改稿收到日期：2014－07－29

黃毅男，博士生，1982年生

劉輝女，教授，博士生導師，1975年生