有阻尼智能彈簧減振系統參數的一種設計方法

倪 德，朱如鵬，陸鳳霞，付秋菊，鮑和云

（南京航空航天大學機電學院江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室，南京 210016）

有阻尼智能彈簧減振系統參數的一種設計方法

倪 德，朱如鵬，陸鳳霞，付秋菊，鮑和云

（南京航空航天大學機電學院江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室，南京 210016）

研究簡諧激勵下有阻尼智能彈簧減振系統參數的一種設計方法，使系統能同時實現阻尼與剛度控制。首先，利用等效線性化方法得到系統頻響特性的的解析解。然后，分析了系統參數對幅頻特性的影響，得到如下結論：系統無粘性阻尼時，幅頻特性曲線簇有一個公共點，有阻尼時公共點消失；影響系統幅頻特性的主要參數為質量比、剛度比、阻尼比和控制參數；阻尼比和相對阻尼比影響系統實現完全耦合時所需作動力的大小。最后，根據參數分析的結論，確定系統參數的選用范圍，并給出系統參數設計的方法和步驟。

參數設計；減振；智能彈簧；壓電陶瓷；干摩擦；剛度；阻尼

主動減振技術依靠外部能量可調節系統參數，不僅對中高頻段有效，而且對被動減振技術無能為力的低頻段也有效［1－2］，從而受到人們的廣泛關注。由于適應系統變化的能力強，近幾十年來，基于壓電陶瓷等智能材料的主動減振技術倍受學者們的青睞［3－5］。然而絕大多數基于壓電陶瓷的主動減振技術是通過直接抑制激勵力的方式進行減振的，對壓電陶瓷作動器（PZTA）的驅動電壓和輸出位移要求較高。智能彈簧減振系統由兩個彈簧－質量系統并聯而成，通過PZTA動作產生的微位移將二者聯系在一起，以改變系統結構參數這樣一種間接的方式來減小系統振動的傳遞。與直接抑制激振力的方式相比，它不需要復雜的位移放大裝置和很高的驅動電壓，更易于實現［6－7］。因此，此類型的減振裝置具有很好的研究意義。

Wickramasinghe等［6－10］以直升機旋翼轉子的扭轉振動為應用對象，對智能彈簧減振技術的減振性能、控制策略與算法、臺架試驗和風洞試驗等方面做了較深入的研究。Afagh等［11］研究了裝有智能彈簧的直升機旋翼轉子的建模與穩定性分析方法。Coppotelli等［12］通過試驗研究了智能彈簧作動器的模態特性，通過模態參數的分析展示了智能彈簧改變直升機槳葉動態行為的能力。Cavalini等［13］提出使旋轉機械能安全跨越臨界轉速的智能彈簧半主動減振技術。范天宇等［14］提出的彈性支承干摩擦阻尼器利用動靜摩擦片之間的摩擦為轉子系統提供阻尼，降低通過臨界轉速時的轉子振動。王四季等［15－16］在此基礎上發展了主動式彈支干摩擦阻尼器，利用電磁鐵控制動、靜摩片之間的接觸、分離和壓力，主動控制阻尼器附加到轉子系統的阻尼和支承剛度，減振效果良好，原理與智能彈簧概念有些相似。

智能彈簧減振系統采用PZTA作為控制元件，應用時PZTA的尺寸受到限制，控制電壓施加范圍有限，只有對系統參數進行合理設計和選用后，才能達到較好的減振效果，而目前鮮見相關文獻報道。所以，本文針對簡諧激勵下的單級有阻尼智能彈簧減振系統，在充分分析系統參數與響應之間關系的基礎上，提出了一種智能彈簧系統參數的設計方法。研究結果為智能彈簧減振系統的分析與設計提供了理論參考。

1 智能彈簧減振系統的頻響特性

圖1 智能彈簧減振系統模型Fig．1 Model of Smart Spring vibration suppression system

1.1 系統的模型與運動方程

智能彈簧減振系統由基本彈簧k1、主動彈簧k2和PZTA等組成，其物理模型如圖1所示，結構下端固定于基礎之上，上端承受外部激勵F（t）?；緩椈膳c主動彈簧平行布置，其內部阻尼系數分別為c1和c2。m1為與基本彈簧相聯的振動結構的等效質量，m2為與主動彈簧相聯的PZTA的集中質量?；緩椈桑|量系統為主系統，主動彈簧－質量系統為輔助系統。PZTA與主系統之間有一初始間隙δ，PZTA不工作時，輔助系統與主系統分離，不參與振動。給PZTA施加控制電壓后，PZTA產生微位移s，當s＞δ時，PZTA將在主系統上產生作動力N（t），隨主、輔系統之間的相對運動形成滑動摩擦力Fd，輔助系統為主系統提供振動阻尼，稱為阻尼控制。由于干摩擦的粘滯效應，主、輔系統隨控制電壓的增大而逐步耦合到一起。當控制電壓足夠大時，二者完全耦合，若耦合系統的固有頻率遠大于主系統固有頻率稱為剛度控制；若耦合系統的固有頻率遠小于主系統固有頻率稱為質量控制［6］。

智能彈簧減振系統的振動微分方程可表示為

rds質量控制方式在實際系統中難以實現，因此智能彈簧減振系統采用阻尼和剛度控制方式。當vr≠0時為阻尼控制，當vr＝0時為剛度控制。

由式（1）可知，智能彈簧減振系統中含有表征為分段函數的干摩擦環節，為強非線性系統，很難直接獲得系統響應的解析解［17］。已有很多學者對干摩擦系統的計算與分析問題作了研究［18－19］。然而本文的目的不在于研究系統精確的動力學行為，所以采用線性模型對其進行逼近，以便于解析研究，即采用等效粘性阻尼表征干摩擦的非粘性阻尼效應［20］。

假設系統受簡諧激勵F（t）＝f0sinωt，則

等效粘性阻尼系數Ceq為

1.2 阻尼控制時系統的頻響特性

對式（5）進行求解，得到系統的的頻響特性為

由式（2）可知，輔助系統的穩態響應為

1.3 剛度控制時系統的頻響特性

當ζeq為虛數時，表示輔助系統的反作用力不能克服靜摩擦力，輔助系統隨主系統一起運動，成為單自由度系統，即剛度控制方式下系統的運動微分方程為

2 系統參數對幅頻特性的影響

由上節的分析可知，影響智能彈簧系統幅頻特性的量綱一系統參數如下（具體定義參見1．1節）：

首先，取系統參數為：α＝0．1，β＝1．5，ζ1，γ＝0，得到不同控制參數η下系統的幅頻特性曲線如圖2（文中所有圖形直接用X1表示）。圖2中，幅頻特性曲線組成的曲線簇通過一個公共點p，對應的頻率比為Ωp＝1．291；存在一最優控制參數ηopt＝1．084，使系統幅頻特性曲線取得最小峰值（X1，max＝1．5），且峰值點對應頻率比恰好在公共點p位置；在達到ηopt之前，系統幅頻特性曲線峰值隨控制參數η的增大而減小，體現為等效阻尼比ζeq在增大；而達到ηopt之后，系統幅頻特性曲線峰值反而隨著控制參數η的增大而增大，體現為等效阻尼比ζeq在減小。若η＜π／4，在共振頻率Ω＝1位置，幅頻特性曲線峰值趨向于無窮大，原因是干摩擦阻尼消耗的能量遠小于系統輸入的能量。所以，為使智能彈簧裝置能有效控制系統共振峰值，需保證η＞π／4。圖2表明，隨控制參數η的增大，系統出現粘滯的頻率區間變大（即主、輔系統逐漸耦合在一起）；虛線部分表示控制參數η大到足以使輔助系統與主系統間不存在相對滑動而完全耦合成一單自由度系統?？梢?，剛度控制方式可以避開主系統共振頻率，使主系統的共振幅值急劇下降，但同時會出現新的共振點。

表1 影響智能彈簧系統頻響特性的系統參數Tab.1 System parameters which affect the frequency response characteristics of smart spring system

圖2 控制參數η對系統幅頻特性的影響Fig．2 Influence of control parameter η on the amplitude frequency characteristics of system

增大質量比α為0．4，其他參數不變，其幅頻特性曲線如圖3。圖3表明，增大質量比α，幅頻特性曲線簇的公共點向左移（Ωp＝1．208）；系統的最佳η值減?。é莖pt＝1．01），而最小峰值增大（X1，max＝2．181 9）；剛度控制下的耦合系統與主系統的固有頻率更加靠近，耦合系統的共振區變窄，共振峰陡峭，且當η＞π／4后，幅頻特性曲線的峰值都有所增大。取質量比α為橫坐標，對應的幅頻特性曲線峰值為縱坐標，可得圖4。圖4表明，質量比α與剛度比β的取值相差越大，幅頻特性曲線峰值越小，而當α＝β時，輔助系統的固有頻率與主系統相等，使得幅頻特性曲線峰值趨向于無窮大?？梢?，為獲得較好的減振效果，質量比α的取值要求比剛度比β的取值大得多或小得多。然而質量比α取值大于剛度比β時，會使得耦合系統的固有頻率小于主系統的固有頻率，不符合實際需求，所以未給出α＞β的情況的圖形（關于直線α＝β對稱）。

圖5表明，系統無粘性阻尼時（ζ1＝0，γ＝0），增大剛度比β，幅頻特性曲線簇的公共點向右移（Ωp＝1．35）；通過大量數值計算發現，剛度比β的變化不會改變ηopt值的大小，但會減小最小峰值（X1，max＝1．235 3）；剛度控制下耦合系統與主系統的固有頻率變得遠離，耦合系統的共振區變寬，共振峰平坦，且當η ＞π／4后，幅頻特性曲線峰值降低。如圖6，剛度比β與質量比α相差越大，系統幅頻特性曲線峰值越小，且當二者的差距達到一定程度時，峰值基本保持不變，與圖4類似。

圖3 質量比α＝0．4時系統的幅頻特性曲線Fig．3 Amplitude frequency characteristic curves of system while mass ratio α＝0．4

圖4 質量比α對系統幅頻特性峰值的影響（β＝1．5）Fig．4 Influence of mass ratio α on the peak value of amplitude frequency characteristics of system when β＝1．5

圖5 剛度比β＝1．8時系統的幅頻特性曲線（α＝0．1）Fig．5 Amplitude frequency characteristic curves of system when stiffness ratio β＝1．8 and α＝0．1

圖6 剛度比β對系統幅頻特性峰值的影響（α＝0．1）Fig．6 Influence of stiffness ratio β on the peak value of amplitude frequency characteristics of system when α＝0．1

圖8 相對阻尼比γ對系統幅頻特性的影響Fig．8 Influence of relative damping ratio γ on the amplitude frequency characteristics of system

如圖7，增大阻尼比ζ1，ηopt值減小，圖7（a）為ηopt＝0．93，圖7（b）為ηopt＝0．81，同時系統實現完全耦合時所需的η值減??；當主系統含有粘性阻尼時，幅頻特性曲線組成的曲線簇不再存在公共點，主系統的共振峰值得到有效控制，共振區變寬，且對最佳η值之前的幅頻曲線影響較大，峰值下降明顯，對最佳η值之后的幅頻曲線影響微弱；隨阻尼比ζ1的增大，控制參數η對系統減振過程的影響變弱。

圖8表明，增大相對阻尼比γ，可以減小系統實現完全耦合時所需的η值，但是基本不影響系統未完全耦合前的幅頻特性曲線，對最佳η值的影響也非常小，圖8（a）為ηopt＝1．05，圖8（b）為ηopt＝1．06。

3 智能彈簧減振系統參數的設計方法

根據上節的參數分析可知，無粘性阻尼的智能彈簧減振系統的幅頻特性曲線匯交于公共點p，可根據公共點的性質，求得公共點p所對應的頻率比Ωp為

利用可導函數取極值的必要條件，再用式（15）確定的頻率比Ωp替代其中的Ω，即可求出使幅頻特性曲線的峰值正好位于p點時的最佳控制參數ηopt為

式（16）說明當α＞2時，會出現ηopt＜π／4的情況，使系統不能抑制主系統的共振。當Ω＝Ωp且η＝ηopt時，幅頻特性曲線X1取得最小峰值，稱其為最優峰值，即

式（15）～（17）的解析結果與上節通過數值分析計算出來的結果十分吻合，微小的誤差來源于數值分析的計算精度和截斷誤差。因此，本節關于公共點的分析方法和結果是正確可靠的。

結合上節數值分析的結論與式（17）可知，當剛度比β的取值較大，且質量比α的取值偏離剛度比β越遠時（要求α＜β）減振效果越好。根據上節的分析與式（15）可知，質量比α取小值時，耦合系統與主系統的固有頻率相隔較遠，公共頻率比Ωp與二者之間的間隔較遠，安全裕度高；但由式（16）可知，質量比α取大值時，最佳控制參數ηopt較小，說明所需壓電陶瓷作動力較小，更易于實現。綜合考慮，本文取0＜α＜1且β＞1，在滿足系統要求和實際情況下，質量比α盡可能取大值。

對于無粘性阻尼的智能彈簧減振系統，由于0＜α ＜1，則0．91＜ηopt＜1．111。Ωp的取值要大于主系統的固有頻率，同時要小于耦合系統的固有頻率，所以有1當α＜1且β＞1時能滿足此要求，說明本文取值的正確性。

進行智能彈簧減振系統參數設計時，應考慮PZTA控制電壓的施加范圍，一般應保證在PZTA產生最大作動力Nmax前，可實現智能彈簧裝置的完全耦合［6］，即阻尼控制和剛度控制均可實現。式（15）～（17）中三個與公共點相關的信息是系統參數設計的重要依據。系統加入粘性阻尼后，雖然公共點不再存在，但幅頻特性曲線仍在此點位置交錯在一起，且阻尼的存在使系統完全耦合時所需的作動力N減小，阻尼比ζ1還能限制η ＜π／4時主系統的共振振幅。因此，可以先根據公共點的相關信息確定系統的質量比α和剛度比β，然后根據系統完全耦合的條件確定系統的阻尼比。根據常用的實際系統［20］，本文取阻尼比0．2。

圖1所示智能彈簧減振系統中，振動結構的等效質量m1和允許的最大振幅X1，max為已知參數，外部激勵F（t）的幅值f0和頻率ω均可通過試驗測定。智能彈簧減振系統參數設計可按照如下步驟進行：

（1）根據PZTA控制電壓的施加范圍，求出其產生的作動力范圍，結合系統要求確定合適的η值作為最佳控制參數ηopt值，利用式（16）求得質量比α。

（2）根據系統工作轉速區的安全裕度要求（一般偏離主系統固有頻率20%以上），選擇一個合適的最小頻率比Ω（Ω＞1．2）值作為Ωp的初始值。

（3）利用式（15）可求出剛度比β的初始值。由定義Ω＝ω／ω1，求得ω1以及基本彈簧剛度k1的初始值，則有＝X1，maxk1／f0。若基本彈簧剛度k1（設定最小值）和剛度比β（設定最大值）在允許的取值范圍內，進入第（4）步，否則取二者的最值，直接進入第（5）步。

（5）若從第（3）步進入此步，說明最大振幅要求可能尚未滿足，首先取γ＝0，若能求出使系統滿足最大振幅要求的阻尼比ζ1，進入下一步；若在ζ1的取值范圍內無法找到合適的值，則取ζ1的最大值，并加入相對阻尼比γ，假定滿足條件的相對阻尼比為γtest。若從第（4）步進入此步，說明滿足最大振幅要求，在不考慮輔助系統的情況下，根據系統對自由振動的衰減速度要求選擇合適的阻尼比ζ1。

（6）根據η＝μdN／f0，計算出PZTA控制電壓最大時的控制參數ηmax值。在式（14）中，令η＝ηmax，并代入前面求得的α、β與ζ1值，即可確定相對阻尼比γ的取值范圍。若γ在許可值范圍內，根據實際情況選?。é茫睛胻est），并進入下一步，否則返回第（1）步并增大ηopt值。

（7）系統加入阻尼后，ηopt及對應的最小振幅可能會減小，可通過計算確定其最終大小。利用質量比α的定義m2＝αm1，可求得主動彈簧質量m2。根據定義k2＝βk1，可求得主動彈簧剛度k2。根據定義c1＝2ζ1m1ω1，可求得c1。然后按照定義c2＝γc1，可求得c2。

本課題組與哈爾濱溶智納芯科技有限公司合作開發的雙向輸出型壓電陶瓷作動器，其控制電壓范圍為－20～150 V，單向最大輸出力為500 N，雙向輸出力為1 000 N。根據文獻［21］，將偏心量e減小一半，取如下已知設計參數：m1＝3．5 kg，ω＝471．24 rad／s，f0＝33．31 N，Nmax＝1 000 N，μd＝0．1，μs＝0．15。設計要求為：系統的最大振幅X1，max≤0．8×10－4m，k1＞1．5× 105N／m，β＜4。根據前面的分析可求得：α＝0．16，β＝2．66，ζ1＝0．11，γ≥1．12，Ωp＝1．47。圖9為所設計系統的幅頻特性曲線圖（γ＝1．13），工作頻率位置，系統量綱一最大振幅為0．829 8，對應原始坐標的振幅為0．77×10－4m；最佳控制參數為ηopt＝0．88，對應作動力為N＝293．13 N；當作動力N≥732．82 N時（η≥2．2），系統可實現完全耦合。因此，所選系統參數滿足設計要求，從而確定系統的最終參數為：m2＝0．56 kg，k1＝3．6×105N／m，c1＝246．84 Ns／m，k2＝9．57×105N／m，c2＝278．93 Ns／m。

圖9 系統幅頻特性曲線圖Fig．9 The amplitude frequency characteristics of system

4 結 論

本文研究了阻尼與剛度控制下智能彈簧減振系統的頻響特性，分析了系統參數對系統幅頻特性的影響。根據分析結論發現進行智能彈簧減振系統參數設計時，可以先利用無阻尼系統幅頻特性曲線簇的公共點求得系統的剛度和質量，然后根據系統要求選擇合適的基本彈簧阻尼，最后利用系統實現完全耦合的條件確定主動彈簧的阻尼大小，從而使系統能實現阻尼和剛度兩種控制方式。

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A parametric design method for a smart damped spring vibration reduction system

NI De，ZHU Ru-peng，LU Feng-xia，FU Qiu-ju，BAO He-yun
（Jiangsu Key Laboratory of Precision and Micro-Manufacturing Technology，College of Mechanical and Electrical Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

A design method for system parameters of a smart spring system with linear viscous damping under harmonic excitation was presented，it could make the smart spring system implement both stiffness and damping control．Firstly，the analytical solutions to the frequency response characteristics of the smart spring system were deduced with the equivalent linearization method．Then，the influence of the system parameters on the amplitude frequency characteristics of the system was analyzed．The results showed that the amplitude frequency characteristic curve cluster has a common point for the smart spring system without viscous damping，but the common point disappears for the system with damping；the main parameters affecting the amplitude frequency characteristics of the system are mass ratio，stiffness ratio，damping ratio and control parameter；the system parameters affecting the magnitude of required actuator force to make two massspring systems become fully coupled are damping ratio and relative damping ratio．Based on the conclusions of the above parametric analysis，the selection scopes of the system parameters of the smart spring system were determined and the steps of parametric design were proposed．

parametric design；vibration suppression；smart spring；piezoceramics；dry friction；stiffness；damping

TH113．2；TH113．1

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．021

國家自然科學基金（51375226）；高等學校博士學科點專項科研基金資助課題（20113218110017）；江蘇省高校優勢學科建設工程資助；江蘇省普通高校研究生科研創新計劃資助項目（CXZZ11＿0199）；中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助

2013－07－02 修改稿收到日期：2013－12－04

倪德男，博士生，1986年11月生

朱如鵬男，博士，教授，1959年9月生