完整巖體對測井頻率應力波的濾波特性

王觀石，胡世麗，2，李志文，王星光

（1．江西理工大學，贛州 341000；2．中國地質大學，北京 10083）

完整巖體對測井頻率應力波的濾波特性

王觀石1，胡世麗1，2，李志文1，王星光1

（1．江西理工大學，贛州 341000；2．中國地質大學，北京 10083）

不同頻率范圍內的應力波在巖體的傳播過程中，衰減系數對頻率的依賴性具有顯著差異。通過現場試驗研究完整巖體對測井頻率范圍內應力波的濾波特性，針對常用黏彈性模型在描述衰減系數與頻率關系存在不足，在頻域上對黏性系數進行非定常處理，建立黏性系數非定常Maxwell模型，采用波形相關系數評價改進模型的濾波效果。研究結果表明，完整巖體總體上表現為低通濾波，在低通濾波范圍內具有非等間距帶通濾波特性，隨傳播距離增加，帶通數逐漸減??；在吸收頻率過渡帶，應力波衰減系數隨頻率變化非?？?，黏性系數非定常Maxwell模型能夠有效描述應力波在完整巖體中的衰減系數變化規律；吸收頻率過渡帶的邊界頻率與傳播距離成負指數關系，吸收頻率過渡帶的陡度參數可以近似認為是常數；隨傳播距離增加，黏性系數非定常Maxwell模型描述完整巖體的濾波效果明顯提高，當傳播距離為4．75 m時，波形相關系數達到0．89，表明采用改進模型描述完整巖體是有效的。

完整巖體；濾波特性；Maxwell模型；應力波；衰減系數

應力波在黏彈性介質的傳播過程中發生衰減，導致記錄的應力波信號頻帶變窄和主頻降低，嚴重影響應力波記錄的分辨能力。由于實際巖體是黏彈性的，所以應力波在其中傳播時引起速度頻散和衰減現象是普遍存在的，只是不同巖體速度頻散和衰減程度有所差異，因而，準確描述應力波衰減系數與頻率的關系是研究應力波傳播規律和地震勘探的重要工作。

巖體是由彈性固體骨架、剛性孔隙、柔性裂縫和黏性流體組成的多相黏彈性介質，介質的應力波傳播特性表現為速度和衰減對頻率具有不同程度的依賴關系。應力波在巖體的傳播過程中，總體上表現出衰減和速度隨著頻率增加而變大的特征，但不同頻帶范圍內，其變化特征不同［1］。對于P波而言，頻散最嚴重的頻段，衰減也趨于最強烈，頻散一般表現為速度隨頻率增加而增加，但是衰減不一定具有這種必然關系［2］。從定性的角度來講，一般可以劃分為低頻段（101～102Hz）的低頻散低衰減區、高頻段（＞105Hz）的低頻散低衰減區和中間過渡頻段（103～104Hz）的高頻散高衰減區。實驗觀測數據表明，在地震頻帶范圍內，巖體的品質因子隨波的頻率基本上沒有變化，因此通?？梢哉J為是常數。測井頻率（103～104Hz）和地面地震頻率（101～102Hz）存在不可忽略的速度頻散和衰減差異現象，因而導致兩個問題在提取子波、參數測試和合成記錄等工作中表現出無法完全匹配。在實際數據處理過程中，為達到合成記錄與原始地震資料一致的效果，需利用零偏移VPS資料對地面地震資料進行標定，但VPS測量的代價很高，因而僅在油田的重點區塊才能采用該方法，或者采取拉伸測井曲線的做法，但需對兩個頻率范圍的速度頻散和衰減差異開展進一步研究［3］。

標準Kelvin模型、Maxwell模型和三參數標準固體等黏彈性模型具有物理意義明確，并且能揭示介質的一些主要力學特性，因而得到廣泛應用，但是隨著人們對介質的力學特性的進一步認識，發現了標準黏彈性模型在描述介質品質因子對頻率的依賴關系方面存在不足，與實際觀測結果不符，特別是在測井頻率范圍內［4］。為此開展了大量的研究，對標準模型進行了改進，發展為相應的廣義模型［5－6］，提出了非線性黏彈塑性流變模型［7］，非定常Burgers模型［8］，分數Kelvin模型［9］，非定常參數的黏彈性模型［10］等。對于巖石，通?？梢悦枋鰹镵elvin介質模型［11］，而廣義Maxwell模型與廣義Kelvin模型具有等效性［12］。如果從應力波傳播規律角度考慮介質的黏彈性，目前主要關心的是黏性引起頻散和振幅衰減兩個方面，其本質是速度和衰減系數與頻率的依賴關系。由于存在頻散和振幅衰減，導致應力波在傳播過程中發生波形變化，聲時、波幅和頻率僅從某些方面揭示了應力波傳播規律，而波形能夠綜合反映應力波傳播規律［13］。理論和試驗研究表明子波波形變化比走時對斷層的反應更為敏感，充分反映了波形變化規律在巖體力學參數測試和巖體結構探測方面的優勢，因而開展應力波波形變化規律的研究具有廣闊的應用前景［14］。

概括地說，標準黏彈性模型在反映波速和振幅衰減系數與頻率的關系方面存在不足，需要對標準模型的參數進行非定?；蚍蔷€性改進，而波形變化能夠綜合反映應力波的傳播規律，本文通過對Maxwell模型進行黏性系數非定常改進，采用波形相關系數綜合量化應力波波形變化規律，現場試驗研究測井頻率范圍內完整巖體的濾波特性。

1 黏性系數非定常Maxwell模型

應力波在一維標準Maxwell介質中傳播時，其控制方程為［15］：

式中u，ρ，t，E，x和η分別為位移、密度、時間、彈性模量、傳播距離和黏性系數。標準Maxwell介質反映了黏性系數定常條件下介質的濾波特性，但試驗資料表明，不同頻段的應力波在巖體的傳播過程中表現出不同的頻散和衰減特性［16］，采用定常黏性系數難以反映這個特性?，F對黏性系數進行非定常處理，采用波形相關系數作為評價黏性系數非定常的濾波效果，假設非定常黏性系數的表達式為：

式中f，f0和η0分別為應力波頻率、邊界頻率和定常黏性系數，q為吸收頻率過渡帶陡度參數。

設式（1）的解為：

式中u，u0，i和k1分別為x處的位移、振源處的位移、虛單位和復數波數。

將式（3）代入式（1），求得

式中k為應力波實數波數，α為應力波振幅隨傳播距離的衰減系數，其計算公式為：

式（2）代入式（5）可求得應力波在改進Maxwell模型中傳播時的衰減系數。應力波在介質中傳播距離為x時的透過系數γ為：

設E＝20 GPa，η0＝0．8 MPa．s，ρ＝2 500 kg·m－3，f0＝2 000 Hz，x＝1，由式（6）計算改進Maxwell模型的標準透過系數，如圖1所示，圖中方框為q＝15時介質的吸收頻率過渡帶。圖1表明，陡度參數q對介質的濾波特性影響非常大，隨q值增加，吸收頻率過渡帶陡度增加，而當q無限增大時，則所有頻率低于f0的應力波均自由透過，而所有頻率高于f0的應力波均完全被吸收掉；當q＝0時，改進Maxwell模型退化為標準Maxwell模型，標準Maxwell模型只能描述透過系數在頻域緩變的黏彈性介質，改進Maxwell模型能夠克服這個缺點。

研究表明，大部分材料并不是理想的低通濾波材料［17］，在低通頻率范圍表現為帶通，本文假設低通范圍的帶通形式滿足正弦變化規律。設低通頻率范圍［0，f0］存在n個帶通，且每個帶通的頻帶寬度相同，由式（5）和式（6）可得帶通濾波函數為

式中n為頻帶范圍內的帶通數。式（7）為改進Maxwell模型的濾波函數。

圖1 改進Maxwell模型的濾波特性Fig．1 Filter property of improved Maxwell model

2 試驗方案

試驗地點選擇在德興銅礦露天采場邊坡面上，邊坡角約為65°，試驗點為表面平整且完整性好的巖體。如圖2所示，在巖體表面，沿應力波傳播方向布置5個電荷加速度傳感器，傳感器的參數為：電荷靈敏度10．427～14．091 PC／m·s－2；頻響0．2～5 kHz；諧振頻率15 kHz。用人工敲擊產生振動信號，振動信號經信號調理儀進行濾波處理后再采集，信號調理儀設置為低通3 kHz，總采樣率為200 kHz。按照應力波傳播方向，稱布設傳感器的位置為測點，并編號，測點1～測點5與載荷作用點分別為0．25 m、0．55 m、1．15 m、2．35 m和4．75 m。

在試驗區域進行巖石取樣，進行了四組室內試驗，測試得到巖石試樣的物理力學參數如表1所示。通過求平均值確定試驗區巖石的彈性模量為24．06 GPa，密度為2 543 kg·m－3。

表1 巖樣物理力學參數Tab.1 Physical and mechanics parameters of rock specimen

圖2 試驗現場Fig．2 Field testing procedure

3 完整巖體濾波特性分析

3.1 頻譜分析

按照上述試驗方案，采集得到完整巖體的測點振動時域波形。通過傅里葉變換得到相應波形的振幅譜，測點1、3和4的振幅譜如圖3所示。從圖3可以看出，測點1的應力波有三個峰值頻率，分別為400 Hz、1 015 Hz和2 530 Hz，應力波從測點1傳播至測點3后，高頻諧波分量發生了明顯的衰減，頻率為2 530 Hz的應力波被完全衰減了，相對高頻諧波分量而言，低頻諧波分量衰減明顯更弱；應力波從測點3傳播至測點4后，應力波振幅譜發生明顯改變，測點4的應力波只有一個峰值頻率460 Hz，760 Hz以上的應力波分量全部被衰減；在應力波傳播過程中發生的衰減，總體表現為低通濾波特性，同時也表現為多帶通現象。由于試驗區巖體的表面平整且沒有肉眼能夠觀察到的裂紋，因此可以認為在試驗區域內巖體的黏性系數沒有變化，由圖1可以知道，對于確定的黏性系數，標準Maxwell模型的透過系數在頻域內變化比較平緩，不能解釋經過短距離傳播后高頻諧波完全衰減的現象，因而難以采用標準Maxwell模型準確描述巖體的濾波特性，如果采用改進Maxwell模型，因引入了邊界頻率f0和反映介質濾波特性的參數q，黏性系數為非定常參數，因而能夠描述巖體對不同頻段應力波的濾波差異。

為進一步討論應力波傳播過程中參數f0和q的變化規律。對測點時域波形進行傅里葉變換得到相應的振幅譜，設測點1為振源，采用加速度振幅計算各測點透過系數γ：

式中γj為第j個測點的透過系數，aj（ω）和a1（ω）為第j測點和第一測點的加速度振幅譜。

圖3 完整巖體中應力波的振幅譜Fig．3 Amplitude spectrum of stress wave propagation in intact rock mass

圖4 完整巖體的濾波特性Fig．4 Filter property of intact rock mass

試驗區域表面平整，可以認為應力波在半無限體中傳播，設應力波為球面波，由式（8）計算得到完整巖體的濾波特性曲線，如圖4所示，圖4（a）為測點1傳播至測點2和測點3過程中的濾波特性，圖4（b）為測點1傳播至測點4和測點5過程中的濾波特性。從圖4可以看出，應力波透過系數在邊界頻率f0附件變化非?？?，即吸收頻率過渡帶非常陡；應力波在傳播過程中表現為頻帶非等間距的濾波特性，隨頻率增加，帶寬有所增加。

3.2 參數擬合

由于難以直接得到沖擊載荷形成的加載振幅譜，為此分析試驗數據時，以第一個傳感器記錄的振動波形為振源信號。由于本次試驗研究的應力波頻率范圍較小，為0～3 kHz，不考慮頻散效應，由式（4）得

式中αj1為第j個測點相對于第1個測點的衰減系數，uj為第j個測點的位移。

現根據α隨頻率f的變化規律反分析巖體的部分力學參數。將實測數據代入式（9）計算α隨頻率f的變化規律，其結果代入式（5）計算力學參數。實測數據是離散數據，將式（9）寫成離散形式

將圖4中吸收頻率過渡帶的數據代入式（10），計算得到第m個測點相對于第1個測點的衰減系數隨頻率的dαm1／df值。

由式（2）和式（5）求得

試驗區域為完整巖體，假設其物理力學參數與室內巖樣測試結果相同，并作為已知條件，本文通過巖樣試驗確定了密度、彈性模量，見表1。

采用參考文獻［18］的方法確定邊界頻率f0，在頻率吸收過渡帶中找出最大透過系數，當透過系數減小至最大透過系數1／e倍時，該透過系數對應頻率為邊界頻率f0。如測點3，由圖4（a）確定吸收頻率過渡帶為1 920～2 500 Hz，在該頻帶內的最大加速度比值為0．44，由此確定邊界頻率為2 100 Hz。

通過前兩個步驟確定了密度、彈性模量和邊界頻率三個參數，因而式（11）中未知參數為η0和q。試驗區巖性和巖體結構沒有發生變化，因而假設η0為一個未知的常數。將式（10）的計算結果代入式（11）的左邊，采用最小二乘法確定η0和q。以測點3為例，圖4（a）中的吸收頻率過渡帶1 920～2 500 Hz中有48個頻率及其對應的濾波系數，測點1至測點3的距離為1．15 m，將頻率、濾波系數和傳播距離代入式（10），計算得到48個dαm3／df值，并代入式（11）的左邊，將巖樣試驗確定的密度和彈性模量代入式（11）的右邊，采用最小二乘法確定η0和q的值。測點3的試驗數據擬合結果如圖5所示，圖中方框為吸收頻率過渡帶。所有測點擬合結果如表2所示，η0的擬合結果為0．8 MPa．s。擬合結果表明，隨傳播距離增加，邊界頻率f0快速減小，可以近似擬合成負指數關系，結果如圖6所示；q值減小幅度很小，可以近似認為q值隨傳播距離增加不發生變化。

表2 參數擬合結果Tab.2 Parameter fitting results

圖5 測點3的參數擬合Fig．5 Parameter fitting of measuring point 3

圖6 傳播距離與邊界頻率的關系Fig．6 Relationship between propagation distance and boundary frequency

3.3 帶通數與濾波效果分析

為評價改進濾波函數的濾波效果，引入波形相關系數，計算公式是

式中xNi和yNi分別為實測波形和經過濾波后波形的時域離散數據，N為離散數據的總數。

對測點1的實測時域波形進行傅里葉變換得到振幅譜，采用表2的擬合結果代入式（7）進行濾波，濾波后進行傅里葉逆變換分別得到測點2～測點5的計算時域波形。采用式（12）計算，得到不同帶通個數條件下的計算時域波形和實測時域波形的相關系數，結果如圖7所示。從圖7分析可以看出，距振源較近的區域，波形相關系數較小，說明濾波效果較差，其主要原因是采用改進Maxwell模型濾波，邊界頻率f0對濾波效果影響較大，進行高頻濾波時，所確定的邊界頻率f0具有較大誤差；隨傳播距離增加，濾波效果明顯提高，如測點5的實測波形和計算波形的相關系數達到0．89，如圖8所示；隨著帶通數增加，濾波效果先增加后減小，存在一個最優的帶通數，如測點2的最優帶通數為4，隨傳播距離增加，最優帶通數減小，如測點5的最優帶通數為2。

圖8 測點5的實測波形和計算波形（n＝2）Fig．8 Measured waveform and calculated waveform of measuring point 5（n＝2）

圖9 測點3的實測波形和計算波形（n＝1．5）Fig．9 Measured waveform and calculated waveform of measuring point 3（n＝1．5）

應力波在巖體中向前傳播，受到巖體的阻尼作用，導致應力波在傳播空間中發生衰減，本文提出的改進Maxwell模型描述了應力波在傳播空間中發生衰減，但是測點振動的持續時間內，振動受到阻尼作用發生振幅隨時間的衰減，衰減同樣表現為高頻諧波分量比低頻諧波分量衰減快，因而測點振動波形隨時間增加頻率減小，而這種衰減規律不能通過空間域的濾波函數反映，因而對波形相關系數影響較大，該現象在測點3表現最為顯著，如圖9所示，圖中帶通數n＝1．5，相關系數γ＝0．57，為便于比較，圖中將計算波形在時域上延遲了0．005 s。從圖9中可以看出，實測波形的初始段（方框中）明顯包含有高頻信息，隨時間增加，高頻諧波被濾除，因而尾波主要是相對低頻諧波分量，而采用反映隨傳播空間發生衰減的濾波函數，對該現象揭示的不夠理想。

4 結 論

通過應力波在完整巖體中傳播的現場試驗發現，經過短距離傳播后，應力波高頻分量被完全吸收，吸收程度在頻域內變化非?？?，表現出突變性，而常見的黏彈性模型能夠反映頻域內介質對應力波吸收的緩變性。為此改進Maxwell模型，用邊界頻率f0作為描述控制頻率吸收范圍的參數，用陡度參數q描述吸收頻率過渡帶內應力波振幅衰減快慢程度，提出了改進Maxwell模型的濾波函數，采用相關系數描述應力波波形的變化，研究了應力波在完整巖體中濾波特性。

（1）在吸收頻率過渡帶內，采用最小二乘法擬合確定黏性系數非定常Maxwell模型的邊界頻率f0和陡度參數q，擬合結果表明：對于完整巖體，陡度參數q是常數，邊界頻率f0與傳播距離近似成負指數關系。

（2）完整巖體總體上表現為低通濾波，在低通濾波范圍內具有非等間距帶通濾波特性。應力波在傳播過程中頻帶變窄和主頻降低，因而帶通數減小，濾波函數存在一個最優的帶通數，隨傳播距離增加，最優帶通數逐漸減小。

（3）測點的振動波形不僅反映了應力波在傳播過程中的濾波，也反映了測點振動在持時內的濾波。黏性系數非定常Maxwell模型的濾波函數只能反映應力波在傳播過程中的濾波特性，振源附近含有非常豐富的高頻信息，因而該模型的濾波效果較差，隨傳播距離增加，濾波效果明顯提高，當傳播距離為4．75 m時，波形相關系數達到0．89，表明黏性系數非定常Maxwell模型能夠有效描述完整巖體的濾波特性。選擇合適的帶通數，即使距測點1（本文假設為振源信號）距離為0．3 m的測點2，波形相關系數也達到0．69，表明巖體的濾波主要發生在傳播路徑，振動持時內的濾波是次要的。

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Filtering property of intact rock mass to stress wave within scope of log frequency

WANG Guan-shi1，HU Shi-li1，2，LI Zhi-wen1，WANG Xing-guang1
（1．Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou 341000，China；2．China University of Geosciences，Beijing 100083，China）

The effects of stress wave in different frequency ranges on attenuation coefficient are different．The filtering properties of stress wave propagating in intact rock mass within scope of log frequency were studied through field test．Based on the shortcoming of common viscoelastic model predicting the relationship between attenuation coefficient and frequency，Maxwell model for unsteady viscosity coefficient was established after the unsteady treatment of viscosity coefficient．The filtering effect of the improved model was evaluated using the waveform correlation coefficient．The study results indicated that intact rock mass has a low-pass filtering property and unequal interval band-pass property within scope of a low-pass filter，the number of band-pass decreases with increase in propagation distance；attenuation coefficients of stress wave with frequency change greatly in the transition zone of absorption frequency，the change rule of attenuation coefficient of stress wave propagation in intact rock mass is effectively described with the improved Maxwell model for unsteady viscosity coefficient；the boundary frequency of the transition zone of absorption frequency has a negative exponential relationship with propagation distance，the edge gradient parameter of the transition zone of absorption frequency is approximately constant．The filtering effect of intact rock mass improves obviously using the improved Maxwell model with increase in propagation distance；the waveform correlation coefficient reaches 0．89 when propagation distance of stress wave is 4．75m；the improved model is capable of describing the filtering properties of intact rock mass．

intact rock mass；filter property；Maxwell model；stress wave；attenuation coefficient

TU452

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．023

國家自然科學基金資助項目（51104069）；江西省自然科學基金項目（2010GQC0067）；江西省教育廳科技項目（GJJ12339，GJJ11130）

2014－01－27 修改稿收到日期：2014－03－19

王觀石男，博士，副教授，1977年生