諧波齒輪傳動的含間隙機構的動力學分析

孫東陽，陳國平，王鐵成

（南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016）

諧波齒輪傳動的含間隙機構的動力學分析

孫東陽，陳國平，王鐵成

（南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016）

在考慮諧波齒輪柔性的基礎上，研究了諧波齒輪傳動對間隙機構動力學特性的影響。首先，利用非線性彈簧阻尼模型建立了諧波齒輪傳動的含間隙機構的接觸碰撞動力學模型。然后，對含間隙曲柄滑塊機構進行仿真分析，結果表明諧波齒輪傳動和機械部件柔性對間隙碰撞都有緩沖效果，只是機械部件剛度較大時，部件柔性的緩沖效果不明顯，而降低機械部件剛度又將導致機械部件在運動過程中產生大變形，影響其機械性能。為諧波齒輪傳動在含間隙機構中的應用，提供了理論依據。

諧波齒輪傳動；間隙；磨損；曲柄滑塊機構

由于設計公差、加工和裝配誤差、磨損，機械系統的運動副中廣泛的存在間隙。間隙會使機械系統發生沖擊和碰撞，加劇運動副的磨損，產生噪聲和振動，影響機械的工作性能，因此，含間隙機構的研究，引起了國內外眾多學者的關注。Flores［1］對含間隙的平面多體系統進行了比較系統的研究，并且通過比較有無間隙的曲柄滑塊機構的系統響應得到間隙對系統的影響。隨后，Flores［2］對含間隙的多體系統進行了更深入的研究，在考慮油膜潤滑效果的基礎上，建立了混合純擠壓油膜潤滑模型，并且建立了含間隙的球關節和空間轉動關節模型。Machado［3］對幾種基于Hertz碰撞模型建立的碰撞力模型進行了比較，以評價這幾種模型的優缺點和適用范圍。Zhao［4］討論了間隙大小對空間機器人機構動力學性能的影響。郝雪清［5］對四桿機構進行了研究，以分析不同運動副材料對間隙機構動力學特性的影響。

以上研究都是建立在剛體假設的基礎上，研究發現：隨著間隙增大，間隙對機構動力學特性的影響將更加顯著［6］。為了減小間隙對機構動力學特性的影響，需要將機構設計得比較柔軟或引入緩沖器。Bauchau等［7－8］對含間隙的柔性多體系統進行了研究，可以發現：系統的柔性會對含間隙機構的動力學響應有明顯的影響。

諧波齒輪傳動以其體積小、重量輕、噪聲小、精度高、速比高和抗沖擊等優點，已經被廣泛的應用于機器人關節中［9－10］。然而，諧波齒輪傳動的含間隙機構的研究卻未見相關報道。本文對諧波齒輪傳動的含間隙機構進行了動力學建模，并且以曲柄滑塊機構為研究對象，在分析過程中分別考慮了諧波齒輪傳動和連桿柔性，以分析諧波齒輪傳動和連桿柔性對間隙碰撞的緩沖效果。

1 諧波齒輪傳動多體系統動力學建模

1.1 諧波齒輪傳動建模

由于諧波齒輪傳動的柔性部件在機械系統的運行過程中將表現出扭轉彈性。因此，具有諧波齒輪傳動的機械系統，在建模時需要將剛性關節考慮為柔性關節。Spong［14］首先建立了柔性關節模型，其在建模過程中，基于以下兩點假設：

（1）電機轉子關于轉子轉軸對稱，因此，轉子質心的速度與轉子的轉動相互獨立。

（2）關節的柔性被描述成線性彈簧，其彈性系數由關節的柔性特征決定。

基于以上兩點假設其將關節柔性等效為線性彈簧，得到全局線性反饋的柔性關節模型。如果彈簧剛度趨近無窮大，則可以退化為標準的剛性關節模型。由于諧波齒輪傳動過程中存在能量損耗，因此，在用Spong模型進行建模時，需要引入阻尼器以描述能量耗散，如圖1所示。

圖1 單關節簡化模型Fig．1 The simple model of single joint

具有n個自由度的柔性關節機器人模型表述為

式中Jm、Km、Cm分別代表電機轉動慣量矩陣、柔性關節等效彈簧剛度和等效阻尼；qm、q分別代表電機角度向量和關節角度向量；M（q）、M（q）、g（q）分別代表連桿轉動慣量矩陣、離心力與哥氏力項矩陣和重力向量。

1.2 多體系統動力學建模

采用拉格朗日方法建立含約束的多體系統動力學方程為

式中M為系統質量矩陣，Φq為約束方程對廣義坐標的偏導數矩陣為加速度矢量，Q為系統廣義外力，λ為拉格朗日乘子

等式（2）是微分－代數方程，通過迭代可以得到每個時刻點的加速度。但是，等式中卻不顯含位移和速度約束方程，這將導致計算結果不能滿足系統約束。為防止數值求解過程中違約，引入Baumgarte違約修正法［12］，則式（2）修改為

式中，α，β為穩定性系數

2 間隙鉸接副建模

2.1 旋轉鉸間隙數學模型

由于磨損導致兩個部件的連接不再是理想旋轉鉸，需要在旋轉鉸中引入間隙，同時將軸和軸承考慮為兩個碰撞體［13］，如圖2。在建模過程中，利用其力學關系將位移約束替換為力約束來建立間隙鉸接副力學模型。

圖2 含間隙的旋轉鉸模型Fig．2 Revolute clearance joint modeled as colliding bodies

注意單位向量n與軸和軸承中心連線有相同的方向。

圖3 多體系統中旋轉鉸間隙模型［13］Fig．3 General revolute clearance joint in a multibody system

如圖4，當軸和軸承碰撞時，嵌入深度為

式中c為間隙大小其值等于軸承半徑Ri與軸半徑Rj之差。

于是，體i和體j的接觸點Qi和Qj的全局位置為

將式（10）對時間求導得到接觸點Qi和Qj的全局速度矢量

將接觸點速度向法向和切向進行投影得到法向速度vN和切向速度vT為

式中切向量t是通過向量n逆時針旋轉90°得到。

圖4 軸和軸承碰撞時的穿透深度［13］Fig．4 Penetration depth due to the impact between the journal and the bearing

碰撞點處的法向力和切向力分別為fN和fT。將法向和切向接觸力分別向X軸和Y軸投影，同時將接觸力作用到體i和體j的質心Qi和Qj。如圖5，作用在體i質心上的力和力矩分別為

作用在體j質心上的力和力矩分別為

圖5 碰撞點的力矢量［13］Fig．5 Force vectors that working at the points of contact

2.2 接觸碰撞力模型

用于計算軸和軸承間碰撞力的接觸碰撞力模型對存在間隙的機械系統的動力學仿真起著關鍵作用。接觸碰撞力模型必須考慮接碰撞體的材料屬性、幾何特性、碰撞速度等信息。除此之外，模型還應該有利于機構動力學方程的穩定求解。研究者們認為，對于靜態接觸和低速碰撞情況，Hertz接觸力模型比較適用。但是Hertz接觸力模型不包含能量耗散項，因此不能描述接觸碰撞過程中的能量損失行為。為了描述接觸碰撞過程中的能量損耗，Hunt等［14］提出了非線性彈簧阻尼模型。隨后，Lankarani等［15］在Hunt和Crossley的基礎上，在Hertz接觸模型中引入與恢復系數有關的虛阻尼項，提出了連續碰撞模型。這種碰撞力模型可以表示為

式中參數hi和hj為

式中vk為泊松比，Ek為彈性模量。

因此法向碰撞力為

3 算例：含間隙的曲柄滑塊機構

本文以含間隙鉸接副的曲柄滑塊機構為研究對象，在分析過程中分別考慮了諧波齒輪傳動和連桿柔性，以分析諧波齒輪傳動和連桿柔性對間隙碰撞的緩沖作用。因此，本文基于三種情況對含間隙鉸接副的曲柄滑塊機構進行研究。首先對完全作剛性考慮的含間隙鉸接副的曲柄滑塊機構進行了研究。如圖6所示曲柄滑塊機構由地面1，曲柄，2，連桿3和滑塊4組成。參考文獻［2］，該機構的結構參數如表1所示，材料屬性及動力學分析相關參數如表2所示。曲柄在驅動力作用下以5 000 r／min的恒定角速度運動。在初始情況下，曲柄和連桿都在水平位置，軸和軸承中心重合。

圖6 含間隙的柔性關節曲柄滑塊機構Fig．6 Flexible joint slider-crank mechanism with joint clearance

表2 曲柄滑塊機構仿真參數Tab.2 Parameters used in the dynamic simulation of the slider-crank mechanism

隨后，將連桿作為柔性體，用絕對節點坐標法［16－17］對其進行建模，將柔性連桿等分為4個單元，彈性模量為207 GPa，截面積為2．243 6×10－4m2，密度為7 800 kg／m3，截面慣量矩為4．194 7×10－9m4。間隙碰撞參數不變，以分析連桿柔性對響應的影響。

最后，對諧波齒輪傳動的含間隙鉸接副的曲柄滑塊機構進行了研究。如圖6所示，在上述模型的基礎上增加了諧波齒輪傳動5。本文基于Spong模型將諧波齒輪傳動簡化為線性彈簧－阻尼，驅動力作用于轉子，使其以5 000 r／min的恒定角速度運動，再通過扭簧的變形帶動曲柄一起運動。簡化模型的等效扭簧剛度為2 000 Nm／rad，等效阻尼10 Nm／（rad·s），轉子轉動慣量0．000 005 kg·m2．分別取間隙c＝0．01 mm，c＝0．2 mm和c＝0．5 mm，其對應的接觸剛度系數分別為1．52×107N·mm－3／2，3．42×106N·mm－3／2和2．20× 106N·mm－3／2。將上述三種間隙情況計算得到的響應結果與理想鉸接副的響應結果進行比較。圖7和圖8分別為間隙c＝0．01 mm時，驅動力矩圖和碰撞力圖。由圖7和圖8可知：小間隙情況下三種間隙情況得到的驅動力矩和碰撞力與理想鉸接情況的結果都比較接近，只是在考慮連桿柔性時，機構運動過程中，會激發出高頻振動，導致驅動力矩圖和碰撞力圖出現很多毛刺。圖9和圖10分別為間隙c＝0．2 mm時，驅動力矩圖和碰撞力圖。圖11和圖12分別為間隙c＝0．5 mm時，驅動力矩圖和碰撞力圖。由圖9－圖12可知：當間隙變大時，間隙對系統響應有很明顯的影響；當連桿剛度較大時，連桿柔性對間隙碰撞的緩沖效果不是很明顯，反而會激發出柔性連桿的高頻振動，使間隙碰撞更加頻繁，從而使碰撞力和驅動力矩振蕩比較劇烈；考慮關節柔性時，能夠對間隙碰撞有很好的緩沖作用，并且能夠抑制間隙碰撞中的高頻振蕩。

圖7 理想和非理想鉸接副驅動力矩（c＝0．01 mm）Fig．7 Comparison of driving moment between the ideal and the non-ideal joints with a 0．01 mm clearance

圖8 理想和非理想鉸接副間隙碰撞力（c＝0．01 mm）Fig．8 Comparison of contact force between the ideal and the non-ideal joints with a 0．01 mm clearance

圖9 理想和非理想鉸接副驅動力矩（c＝0．2 mm）Fig．9 Comparison of driving moment between the ideal and the non-ideal joints with a 0．2 mm clearance

圖10 理想和非理想鉸接副間隙碰撞力（c＝0．2 mm）Fig．10 Comparison of contact force between the ideal and the non-ideal joints with a 0．2 mm clearance

圖11 理想和非理想鉸接副驅動力矩（c＝0．5 mm）Fig．11 Comparison of driving moment between the ideal and the non-ideal joints with a 0．5 mm clearance

圖12 理想和非理想鉸接副間隙碰撞力（c＝0．5 mm）Fig．12 Comparison of contact force between the ideal and the non-ideal joints with a 0．5 mm clearance

為了研究連桿剛度下降時，連桿柔性對間隙碰撞的影響，在保持其它參數不變情況下，取連桿楊氏模量為2．07 GPa和20．7 GPa，分析間隙為0．5 mm的情況下三種間隙情況機構的驅動力矩和碰撞力，結果如圖13和圖14所示。

圖13 非理想鉸接副驅動力矩（c＝0．5 mm）Fig．13 Driving moment of non-ideal joints with a 0．5 mm clearance

圖14 非理想鉸接副間隙碰撞力（c＝0．5 mm）Fig．14 Contact force of non-ideal joints with a 0．5 mm clearance

由圖13和圖14可知：當連桿剛度下降時，柔性連桿對間隙碰撞也有很好的緩沖效果。只是當連桿很柔軟時，連桿在運動過程中將產生大變形，影響機構的機械性能，且不便于控制。

4 結 論

本文考慮到傳統齒輪傳動的含間隙機構碰撞比較劇烈，改用諧波齒輪傳動以減緩間隙碰撞，提高機械性能。在建模過程中，考慮了諧波齒輪的柔性，建立了含間隙運動副的接觸動力學模型。再通過對含間隙曲柄滑塊機構進行分析，可以發現：諧波齒輪傳動和連桿柔性對間隙碰撞都有一定的緩沖作用，只是連桿剛度較大時，連桿柔性的緩沖效果不是很明顯，而降低連桿剛度又將導致連桿在運動過程中產生大變形，影響機構的機械性能。因此，在間隙機構中采用諧波齒輪傳動，能夠更好的改善機構的機械性能。

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Dynamic analysis of a mechanism with clearances and harmonic gear transmission

SUN Dong-yang，CHEN Guo-ping，WANG Tie-cheng
（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

Here，the effects of harmonic gear transmission on dynamic characteristics of a mechanism with clearances，considering flexibility of harmonic gear were investigated．Firstly，the contact and impact dynamic model of a mechanism with clearances and harmonic gear transmission was established by using the nonlinear spring-damping model．Then，a slider-crank mechanism with clearances was simulated．The result showed that harmonic gear transmission and flexibility of mechanical parts have a cushioning effect on clearance impact；the cushioning effect is not obvious when the stiffness of mechanical parts is higher；while reducing stiffness of mechanical parts leads to larger deformation influencing the mechanical performances of the mechanism．The study results provided a theoretical foundation for the use of harmonic gear transmission in mechanisms with clearances．

harmonic gear transmission；clearance；wear；slider-crank mechanism

O313．7

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．029

江蘇高校優勢學科建設工程資助項目

2013－09－23 修改稿收到日期：2013－12－19

孫東陽男，博士生，1985年6月生

陳國平男，博士，教授，博士生導師，1956年生