淺談中考中常見的幾類最值問題的解決方法

劉曉霞

一、二次函數最值的求法

二、幾何形最值問題

例1（2013·新疆）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最??？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標。

分析：

（1）利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；

（2）利用待定系數法求出直線AC的解析式，然后根據軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點即為所求點D；

（3）根據直線AC的解析式，設出過點E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯立消掉y得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0時，△ACE的面積最大，然后求出此時與AC平行的直線，然后求出點E的坐標，并求出該直線與x軸的交點F的坐標，再求出AF，再根據直線l與x軸的夾角為45°求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解。

本題考查了二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式，亮點在第三問，解法一利用軸對稱確定最短路線問題，聯立兩函數解析式求交點坐標，利用平行線確定點到直線的最大距離問題.解法二構造二次函數表示出線段DE及的S△AEC函數關系式，利用二次函數頂點坐標公式求面積的最大值。

三、商品利潤最值問題

例2 （2010武漢）某賓館有50個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天180元時，房間會全部住滿。當每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑。賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用。根據規定，每個房間每天的房價不得高于340元。設每個房間的房價每天增加x元（x為10的正整數倍）。

（1） 設一天訂住的房間數為y，直接寫出y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；

（2） 設賓館一天的利潤為w元，求w與x的函數關系式；

（3） 一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？

答：一天訂住34個房間時，個房間時， 賓館每天利潤最大，最大利潤是10880元。

本題根據實際問題構造二次函數，并非僅通過二次函數的頂點坐標公式求最值，而是在給定自變量取值范圍內，根據二次函數的性質及圖像求二次函數的最值。