置信度條件下軸承壽命的可靠度分析

余挺

(上海通用軸承有限公司，上海 200240)

1 可靠度和置信度的關系

汽車制造商對軸承壽命一般會提出以給定的置信度CY達到可靠度RX的要求，記為RX/CY。例如R90/C90，表示軸承壽命的要求是在90%的置信度下達到90%可靠度。這種要求比普通的不帶置信度的可靠度要求更為嚴格。

可靠度是零件滿足確定的壽命要求的可靠程度，而置信度是零件試驗樣本試驗結果的可信程度。例如，對20個一組的樣本試驗，具有90%置信度和90%可靠度的試驗結果，表示每組試驗后將有2個零件失效，如果進行10組這樣的試驗，則有9組樣本試驗后失效零件不超過2個。

可靠度R在單側置信度為1-α置信區間[RL,1]內的概率滿足

P(RL≤R≤1)=1-α，

(1)

式中:RL為可靠度的下限值，即零件的最低可靠度。壽命的RX/CY要求，相當于對一個特定的壽命L，要求在置信度CY=(1-α)100%下滿足可靠度RX=RL。

文獻中已有采用Bayes方法進行可靠度和置信度分析的論述[1]。假設θ服從先驗分布π(θ)，θ的取值范圍為Θ，通過隨機抽樣得到一組數據x，其分布函數為f(x|θ)，根據Bayes公式可得到參數θ的后驗分布為[2]

(2)

假設軸承達到規定壽命L的可靠度R的先驗分布服從[0，1]均勻分布，則N個相同軸承如果在L時間內全部沒有失效，按N重伯努利試驗理論，x服從二項分布,根據(2)式，已知抽樣數據x=N,R的后驗分布為

(3)

因此，

(4)

式中：C為可靠度介于RL和1之間的置信度，以下簡記RL為R。由(4)式可以看出，如果試驗次數較少，即使可靠度很高，相應置信度也并不高。例如，N=1，R=0.9時，C=0.19。只有當N增加到一定值時，才會使C明顯增加,例如，N=21，R=0.9時，C=0.90。

另一方面，R雖然服從[0，1]均勻分布，似乎為很寬松的假設，與軸承預計的計算額定壽命(R=0.90)存在差異。但從R的Bayes估計[3]

2 基于RX/CY的設計

給定軸承目標壽命L1的RX/CY要求，軸承設計任務之一是要計算軸承的額定壽命。已知壽命L1的可靠度為RX，即可按標準ISO 281：2007由下式求出所需的額定壽命LRX,

L1=a1LRX，

式中：a1為可靠度修正系數。

在額定壽命LRX基礎上，進一步確定滿足置信度要求的額定壽命。假設壽命L滿足二參數Weibull分布(三參數Weibull分布可類似討論)，其可靠度可表示為

(5)

式中：b為Weibull分布斜率；V為Weibull分布的特征壽命。由(4)和(5)式得

上式可變為

(6)

一般而言，置信度與試驗的結果有關。RX/CY的可靠度要求是基于樣本試驗結果的一種判斷，要求樣本統計意義的可靠度應落于置信度為CY的[RX,1]置信區間內。一組樣本的試驗結果滿足Weibull分布時，可在相應的Weibull分布概率紙上用點表達試驗結果，按試驗壽命的大小排序編號，第j號樣本所在點的縱坐標為第j順序秩的中間秩[4]。中間秩是置信度為50%的順序秩的估計值。所有中間秩確定的試驗結果點擬合出來的曲線就是通常的試驗產品的Weibull分布曲線，體現了產品內在固有的壽命分布，而正常情況下設計結果應該反映產品內在固有的壽命分布。因此，對以上基于RX設計的額定壽命LRX,其置信度可假定為50%。

如果確定LRX的置信度為50%，則(6)式變為

(7)

為進一步獲得滿足RX/CY要求的額定壽命LRX/CY，設新的壽命分布可靠度為

(8)

一般總有CY>C50,故LRX/CY>LRX,進而易知，V1>V,但LRX/CY是待定的，另設N不變，故下式仍能類似(7)式成立

(9)

從(7)和(9)式可得

(10)

3 RX/CY試驗方案的確定

(11)

表1 置信度壽命系數

(12)

注意，(11)式中N1為正整數，RX和CY為(0，1)間實數(可有無限組合)，實際的N1，RX和CY應取盡量接近RX/CY要求并相對保守的組合。另對任意試驗壽命L2，使

(13)

則存在N2滿足

(14)

將(13)式代入(14)式，得

(15)

由(11)和(15)式得

(16)

4 結束語

根據軸承壽命的RX/CY要求，利用Bayes理論分析確定了可靠度和置信度的關系，確定了軸承額定壽命的置信度壽命修正系數，并且給出了相應產品設計和制造的驗證試驗的計算依據，依據給出的驗證置信度和可靠度的壽命試驗制定方法制定試驗方案，可減少試驗樣本數和試驗累積時間，節約試驗成本。