淺談小學數學幾何公式的推導策略

徐慶義

（秦皇島市海港區和美實驗學校，河北 秦皇島066000）

小學數學教學中，許多公式的教學都有一定的推導過程。尤其是幾何圖形的面積、體積計算公式的推導過程一般都是化未知為已知，化陌生為熟悉，既使學生輕松地獲取新知，又培養了學生創新意識和實踐能力。

1 引導學生自主探究

《義務教育數學課程標準》指出：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。幫助學生真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想方法，獲得廣泛的數學活動經驗?！稗D化”是數學學習和研究的一種重要思想方法，對于幾何公式的推導，重在通過滲透轉化思想，啟發學生設法把所研究的圖形根據其特點轉化成已經學過的圖形，讓學生利用已有的知識，自主推導出所探究的公式，切忌由教師直接演示講給學生。如：教學“梯形的面積”公式推導時，首先在課前讓學生準備好一對完全一樣的梯形硬紙板，我讓學生大膽猜想：“梯形可以轉化成我們學過的什么圖形，推導出它的面積公式呢？”學生猜想到了可以轉化為平行四邊形、長方形、三角形等。然后放手讓學生自己去嘗試，我不作統一的操作要求，學生操作后通過觀察就會發現這是一個平行四邊形，而且清楚地知道：拼成后的平行四邊形的底等于梯形的上底加下底的和，這個平行四邊形的高等于梯形的高，每個梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半，所以，“梯形的面積=（上底+下底）×高÷2”。在平面圖形面積公式的推導中，從平行四邊形、三角形、到梯形的面積公式的推導都是以化歸的思想方法為核心，通過多次孕育、化隱為顯，讓學生在獲得結論的同時，感悟到數學思想方法的意義與作用。在教學平行四邊形面積的時候，基本上都有這樣幾個環節：一是讓學生利用手中的平行四邊形和剪刀，通過折一折、剪一剪、拼一拼，想辦法求出平行四邊形的面積。二是學生利用割補的方法，把平行四邊形轉化成長方形，求出長方形的面積也就求出了平行四邊形的面積。找出平行四邊形與長方形之間的關系，得出平行四邊形的面積=底×高。引導學生思考是怎樣求出這個平行四邊形的面積的？把平行四邊形運用割補的方法把它變成長方形，抓住長方形與平行四邊形之間的關系，通過求長方形的面積求出平行四邊形的面積。這時化歸的思想方法處于隱性階段，初步的孕育，并沒有進行提煉。讓學生在一步一步的反思過程中通過觀察、比較、感悟到化歸這一數學思想方法。在公式推導過程中，要充分給學生“說”的機會，把自己的“操作-轉化-推導”的過程敘述出來，發展學生的思維和表達能力。

2 巧用現代技術輔助教學

隨著素質教育和課程改革的深入推進，多媒體技術不斷地被引入課堂教學之中。比如在圖形的周長和面積、體積教學時，利用電腦演示圖形的割補、拼接，學生形象、直觀地看到拼接后是什么圖形，就能較快地找到解題方法。因周長、面積和體積公式推導過程較為抽象，故學生對計算公式的產生很難理解，若借助多媒體教學，設計一個具有動態畫面并配上音效的課件，形象地演示出轉化的過程，從而引導學生推導出公式。這樣誘導學生積極地進行由未知到已知，再由已知到未知的探索，促進思維步步深入的發展，加速知識的內化過程，使學生不僅知其然，而且知其所以然。在小學數學教學中，《課標》安排了“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”、“實踐與綜合應用”四個領域，其中“空間與圖形”在小學數學教學中占有非常重要的位置，而幾何圖形公式的推導的關鍵是理解算理，是學生能否正確應用公式進行解決問題的保證，因此讓學生理解并體會公式的由來特別重要。但是，由于小學生缺乏空間觀念，空間想象力較弱，單純靠教具和教師的說教學生難以展開正確、合理的想象，從而影響空間觀念的形成。如果這時能結合學生的動手操作，借助于學生從生活中獲取的大量感性材料，運用現代媒體手段，充分挖掘教材，引導學生充分地利用已學過的基礎知識，著眼于圖形內在聯系進行轉化，使學生自己推導各種公式，尋根問底，探究規律，為學生的創造性思維的發展提供了有利的條件。例如，教學“圓的面積計算公式”時，可將書中的圓形，由靜態變為動態，用微機先出示一個圓，以其中一條直徑為標準，將它分成紅藍色各一半，然后把它平均分成8份，展開拼成一個近似的長方形，再把它平均分成分16份、32份、64份……繼續拼成一個新圖形。借助微機動態的演示，隨著等分份數的增加，就把學生理解中的難點——近似長方形的長由曲線變成直線的過程動態呈現，從而為學生積累了豐富的感知材料，為大膽合理的想象提供了充實的基礎。這時教師引導學生觀察比較發現：平均分的份數越多，每一份就會越細，拼成的圖形就越接近于長方形，并且長方形的長就是圓周長的一半，長方形的寬就是圓的半徑，由長方形的面積公式，推出圓的面積公式。如在教學《平移與旋轉》這一課，平移距離是本課教學的一個難點，學生常常會認為兩個圖形中間空了幾格，就是平移了幾格。教學時我充分給學生提供自主探索與交流的空間，然后利用多媒體特有的動畫效果，從點到線再到形，讓學生在邊看邊數的過程中進行平移驗證，輕松地解決了教學的難點。最后指導學生在方格紙上畫出平移后的圖形，學生輕而易舉就完成了。這種用微機作為輔助手段的教學過程，不僅讓學生知道圓的面積公式的由來，而且培養了學生觀察能力、推理能力及邏輯思維能力。

3 正確處理學生的質疑

學生的質疑是開放性、多樣性、復雜性的，我們在處理時顯得更加困難。但只要我們把學生的質疑當成課堂教學的寶貴資源，認真對待，把它作為一個面向全體學生的課堂資源，使它成為豐富課堂教學的有效資源，成為學生展示學習和思維的過程與成果，就能提高課堂資源的有效性，促進課堂教學的有效性。例如在教學“圓柱的體積”后學生遇到一道求空心管的體積的題目，有學生就問“體積”就是指物體所占空間的大小，那么空心管究竟占不占空間？或者空心管所占空間是哪部分體積呢？怎樣計算空心管的體積呢？經過這一問，大家開始思索討論后，有學生認為：整個外形是圓柱體，中間的空心部分也是圓柱體，所以空心管的體積就是大圓柱的體積減去小圓柱的體積。也有學生認為：空心管內外兩個圓柱的高時一樣的，因為圓柱的體積=底面積×高，所以可以先求出底面的面積，也就是環形的面積，再乘以高。用學生的這種質疑加上小組討論這樣來處理教學，即培養了學生思維的深刻性與開放性，又能提高教學的有效性。

總之，幾何公式的推導應加強知識間的聯系，根據圖形面積計算之間的內在聯系，運用知識的遷移提高學生的學習能力。應體現動手操作、合作學習的學習方式，讓學生經歷自主探索的過程，采用多種策略，借助多媒體輔助教學，促進學生對幾何公式的理解和靈活運用，進而提高課堂教學效率。

［1］簡海榮.講究解題策略.敢于創新突破[J].中國校外教育,2011(1).